江 浩

(江蘇省沭陽如東中學,江蘇 沭陽 223600)

《中國高考評價體系》指出“四翼”的高考考查要求[1],其中對綜合性的考查,要求學生對同一層面的知識、能力、素養(yǎng)能夠橫向融會貫通,形成完整的知識結(jié)構(gòu)、能力結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡;對不同層面的知識、能力、素養(yǎng)能夠縱向融會貫通.對于創(chuàng)新性的考查要求,指出具備良好創(chuàng)新思維的學生能夠擺脫思維定勢的束縛,善于獨立思考,大膽創(chuàng)新.具備探索新方法、積極主動解決問題的能力.一題多解的解題教學能夠很好地引導學生多角度思考問題,通過知識的多元化運用,加深知識之間的縱深聯(lián)系,更加深刻地理解知識的交匯點與思路的整合點,既能拓廣學生視野,也能提升學生綜合運用所學知識創(chuàng)造性地解決問題的能力,完全符合高考評價體系中“四翼”的考查要求.本文以一道向量的最值問題為例,從不同視角探究其解決方法.

1 問題呈現(xiàn)

2 解法探究

解法1 因為3c=2a+b,

所以2a=3c-b.

即4a2=9c2-6b·c+b2.

點評向量的兩個重要特征是大小和方向,可以通過“數(shù)”與“形”兩個角度研究向量問題.解法1通過對題設兩個條件的整合,消去a,更加側(cè)重于“數(shù)”的運算.

解法2 設a與b夾角為θ,由a·b=a2,得

|b|cosθ=|a|.

解法3 由a·b=a2,得

a·(a-b)=0.

圖1 構(gòu)造平面幾何圖形

tan∠BAD=tan(∠BAC-∠DAC)

點評根據(jù)向量加法、減法、數(shù)乘與數(shù)量積運算的幾何意義,研究兩個條件對應的幾何圖形,從“形”的角度將問題直觀化進行解決.

解法4 由解法3,構(gòu)造如圖1所示的Rt△ABC.在△ABD中,由正弦定理,知

①

代入①式,得

sin∠BAD=2sinBcos∠ADC

=2sinBcos(∠BAD+B).

即sin∠BAD=2sinB(cos∠BADcosB-sin∠BADsinB).

所以tan∠BAD=2sinBcosB-2tan∠BADsin2B.

點評向量與解三角形有著千絲萬縷的聯(lián)系,向量背景下表示的幾何圖形為三角形,從解三角形的視角探究本題,將正弦定理與三角恒等變換等知識綜合運用,能非常巧妙地解決問題.

解法5 由解法3構(gòu)造的幾何圖形,以A為坐標原點,AC所在直線為x軸,過點A垂直于AC的直線為y軸,建立如圖2所示的直角坐標系xOy.

圖2 建立平面直角坐標系

當且僅當tan2θ=3時取到等號.

點評向量的坐標表示是研究向量問題的重要手段[3],本題通過建立平面直角坐標系亦可解決.

解法6 由解法3構(gòu)造的幾何圖形,以邊AB中點為坐標原點,AB所在直線為x軸,邊AB的垂直平分線為y軸,建立如圖3所示的平面直角坐標系xOy.

圖3 點C,D的軌跡

設點B坐標(r,0),其中r>0,于是由題意可知,點C的軌跡方程為x2+y2=r2,這里不妨設y>0,進一步可求得點D的軌跡方程為

可見,當AD與其相切時,∠DAB最大.

點評本題構(gòu)造了一個Rt△ABC,即直角頂點C的軌跡是一個以AB為直徑的圓,根據(jù)相關(guān)點法,可知點D的軌跡也為一個圓,當過點A的直線與該圓相切時,張角最大,即向量夾角余弦值最小.

教學過程中,鼓勵學生從不同視角探究問題的解決方法,可以增強學生的求異思維,增進數(shù)學思維的深刻性,開拓多維創(chuàng)新的能力.通過數(shù)學知識與思想方法的綜合運用,培養(yǎng)學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng).