江 浩

(江蘇省沭陽如東中學(xué),江蘇 沭陽 223600)

《中國高考評價體系》指出“四翼”的高考考查要求[1],其中對綜合性的考查,要求學(xué)生對同一層面的知識、能力、素養(yǎng)能夠橫向融會貫通,形成完整的知識結(jié)構(gòu)、能力結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò);對不同層面的知識、能力、素養(yǎng)能夠縱向融會貫通.對于創(chuàng)新性的考查要求,指出具備良好創(chuàng)新思維的學(xué)生能夠擺脫思維定勢的束縛,善于獨(dú)立思考,大膽創(chuàng)新.具備探索新方法、積極主動解決問題的能力.一題多解的解題教學(xué)能夠很好地引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問題,通過知識的多元化運(yùn)用,加深知識之間的縱深聯(lián)系,更加深刻地理解知識的交匯點(diǎn)與思路的整合點(diǎn),既能拓廣學(xué)生視野,也能提升學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識創(chuàng)造性地解決問題的能力,完全符合高考評價體系中“四翼”的考查要求.本文以一道向量的最值問題為例,從不同視角探究其解決方法.

1 問題呈現(xiàn)

2 解法探究

解法1 因?yàn)?c=2a+b,

所以2a=3c-b.

即4a2=9c2-6b·c+b2.

點(diǎn)評向量的兩個重要特征是大小和方向,可以通過“數(shù)”與“形”兩個角度研究向量問題.解法1通過對題設(shè)兩個條件的整合,消去a,更加側(cè)重于“數(shù)”的運(yùn)算.

解法2 設(shè)a與b夾角為θ,由a·b=a2,得

|b|cosθ=|a|.

解法3 由a·b=a2,得

a·(a-b)=0.

圖1 構(gòu)造平面幾何圖形

tan∠BAD=tan(∠BAC-∠DAC)

點(diǎn)評根據(jù)向量加法、減法、數(shù)乘與數(shù)量積運(yùn)算的幾何意義,研究兩個條件對應(yīng)的幾何圖形,從“形”的角度將問題直觀化進(jìn)行解決.

解法4 由解法3,構(gòu)造如圖1所示的Rt△ABC.在△ABD中,由正弦定理,知

①

代入①式,得

sin∠BAD=2sinBcos∠ADC

=2sinBcos(∠BAD+B).

即sin∠BAD=2sinB(cos∠BADcosB-sin∠BADsinB).

所以tan∠BAD=2sinBcosB-2tan∠BADsin2B.

點(diǎn)評向量與解三角形有著千絲萬縷的聯(lián)系,向量背景下表示的幾何圖形為三角形,從解三角形的視角探究本題,將正弦定理與三角恒等變換等知識綜合運(yùn)用,能非常巧妙地解決問題.

解法5 由解法3構(gòu)造的幾何圖形,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AC所在直線為x軸,過點(diǎn)A垂直于AC的直線為y軸,建立如圖2所示的直角坐標(biāo)系xOy.

圖2 建立平面直角坐標(biāo)系

當(dāng)且僅當(dāng)tan2θ=3時取到等號.

點(diǎn)評向量的坐標(biāo)表示是研究向量問題的重要手段[3],本題通過建立平面直角坐標(biāo)系亦可解決.

解法6 由解法3構(gòu)造的幾何圖形,以邊AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,邊AB的垂直平分線為y軸,建立如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系xOy.

圖3 點(diǎn)C,D的軌跡

設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)(r,0),其中r>0,于是由題意可知,點(diǎn)C的軌跡方程為x2+y2=r2,這里不妨設(shè)y>0,進(jìn)一步可求得點(diǎn)D的軌跡方程為

可見,當(dāng)AD與其相切時,∠DAB最大.

點(diǎn)評本題構(gòu)造了一個Rt△ABC,即直角頂點(diǎn)C的軌跡是一個以AB為直徑的圓,根據(jù)相關(guān)點(diǎn)法,可知點(diǎn)D的軌跡也為一個圓,當(dāng)過點(diǎn)A的直線與該圓相切時,張角最大,即向量夾角余弦值最小.

教學(xué)過程中,鼓勵學(xué)生從不同視角探究問題的解決方法,可以增強(qiáng)學(xué)生的求異思維,增進(jìn)數(shù)學(xué)思維的深刻性,開拓多維創(chuàng)新的能力.通過數(shù)學(xué)知識與思想方法的綜合運(yùn)用,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).