張俊暢 楊柳忠

(廣東省梅州市虎山中學(xué),廣東 梅州 514299)

楊柳忠(1977.7-),女,廣東省大埔人,本科,中學(xué)一級(jí)教師,從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

數(shù)學(xué)運(yùn)算是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要部分,如何提高學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng),一直是從事教學(xué)一線的教師必須面對(duì)但也比較頭痛的問題.本文對(duì)一道數(shù)列題的求解進(jìn)行分析,以期提高學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1 問題呈現(xiàn)

一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為100,前100項(xiàng)和為10,求前110項(xiàng)的和.

2 問題的分析與求解

解法1 由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可知:

評(píng)注這種直接套公式硬算的辦法,雖說思維成本較低,但計(jì)算量大,不易算對(duì),它唯一的優(yōu)點(diǎn)是鞏固一下公式,訓(xùn)練一下四則運(yùn)算的基本功,顯然這種費(fèi)事費(fèi)力的做法是要盡量?jī)?yōu)化的.

計(jì)算量大的問題,同學(xué)們?nèi)菀姿沐e(cuò),這是再正常不過的一件事情,但是很多老師總是埋怨現(xiàn)在的學(xué)生計(jì)算能力差、不愿動(dòng)筆等等.難道這些只是學(xué)生自身的問題嗎?試想,如果一個(gè)老師一直反復(fù)強(qiáng)調(diào),用死算的辦法來解決問題,那又有幾人能愿意算呢?如此這般,對(duì)學(xué)生思維的培養(yǎng),能力的發(fā)展又有何幫助呢?就算培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力,靠死算的辦法,真的好嗎?筆者認(rèn)為不好,否則每個(gè)小學(xué)生都已經(jīng)是運(yùn)算高手.那么,有哪些辦法可以有效提升同學(xué)們的運(yùn)算能力呢?看完方法2后,就會(huì)有所感悟了.

我們有意識(shí)地教會(huì)他們這些東西,那么孩子們計(jì)算能力低下的問題,就會(huì)比較容易解決了.在平時(shí)的教學(xué)中,我們最不愿意看到的一種現(xiàn)象就是題目都沒有看清,就盲目亂算,看上去很用功,但效果很差.但真正要他們認(rèn)真計(jì)算時(shí),又舍不得花時(shí)間,結(jié)果一急就亂,一亂就錯(cuò).

我們基本可以形成幾個(gè)共識(shí):死算硬算提不高運(yùn)算能力;硬算也要用巧勁;越急越容易算錯(cuò);不思考就會(huì)算死;平時(shí)多想,考時(shí)少算[1].

3 關(guān)于數(shù)學(xué)運(yùn)算建模

通過對(duì)上面數(shù)列問題多種解法的詳細(xì)闡述,不難發(fā)現(xiàn),在數(shù)學(xué)教學(xué)中就提高學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng),應(yīng)該從下面的六點(diǎn)入手,我們這里概括為運(yùn)算建模六步法.

3.1 創(chuàng)造良好的數(shù)學(xué)運(yùn)算情境,培養(yǎng)堅(jiān)定的心理品質(zhì)

波利亞說過:認(rèn)為解題純粹是智力活動(dòng)是錯(cuò)誤的,決心與情緒所起到的作用很重要.我們可以創(chuàng)設(shè)這樣的數(shù)學(xué)運(yùn)算活動(dòng):學(xué)生對(duì)自己的運(yùn)算作品冠以自己喜歡的名字,給自己精心制作的運(yùn)算模型繪上精美的圖案,給自己的活動(dòng)小組標(biāo)上令人難忘的稱謂,給學(xué)生向大家展現(xiàn)自己全部才華的舞臺(tái)……通過適當(dāng)?shù)幕顒?dòng)有效克服運(yùn)算畏懼,克服急躁,拖沓,丟三落四等一些負(fù)面的情緒,激發(fā)學(xué)生的好奇心,增強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的信心,培養(yǎng)堅(jiān)韌不拔的毅力,體驗(yàn)成功的喜悅.

3.2 重視“數(shù)學(xué)理解”,促成“運(yùn)算生成”

我們知道理解的前提是閱讀,就是讀懂題意,數(shù)學(xué)運(yùn)算的首要一點(diǎn)就是“理解運(yùn)算對(duì)象”,而我們的學(xué)生恰恰在閱讀理解上存在著一定的問題.下面是幫助學(xué)生進(jìn)行“數(shù)學(xué)理解”的一個(gè)課堂片段.

師:式子Sn=3an+1是什么概念?

生:是個(gè)等式.

師:這個(gè)等式包含什么?

生:這個(gè)等式包含通項(xiàng)an及前和Sn.

師:an與Sn的意義是什么?

生:an表示數(shù)列的通項(xiàng),Sn表示該數(shù)列的前項(xiàng).

師:an與Sn有什么關(guān)系呢?

師:求S5可以怎么辦呢?

生:把等式化為僅含有an的表達(dá)式,求an,再求Sn,從而求得S5.

師:對(duì)比一下這個(gè)遞推式子an+1=pan+q,你們有何發(fā)現(xiàn)?

生:哦,可以把Sn當(dāng)做遞推式,由待定系數(shù)法可求Sn,從而算出S5.

師:大家再思考一下,是否有更加直接的辦法?

生:哦,項(xiàng)數(shù)不多可以逐項(xiàng)計(jì)算.

對(duì)于理解運(yùn)算對(duì)象,掌握運(yùn)算法則,不能單靠知識(shí)講解,更應(yīng)該讓學(xué)生去實(shí)操,去研討,去試錯(cuò),教師不要包辦,要評(píng)到學(xué)生的“痛”處.華羅庚說:“學(xué)數(shù)學(xué),善于‘退’,足夠地‘退’,退到最原始而不失去重要的地方是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅[2].”

3.3 加強(qiáng)運(yùn)算知識(shí)的學(xué)習(xí)

我們深切體會(huì)到影響學(xué)生運(yùn)算能力提高的一大原因是運(yùn)算知識(shí)的缺失.初中數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)生的運(yùn)算要求比較低,到了高中,數(shù)學(xué)運(yùn)算要求一下提高好幾個(gè)臺(tái)階,初中不要求掌握或要求很低的內(nèi)容,上了高中要求學(xué)生必須掌握,這給很多同學(xué)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中帶來困難和障礙.比如立方和與立方差公式,十字相乘法,分子分母有理化,二次函數(shù)、一元二次不等式與二次方程的聯(lián)系,根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定理),等等.學(xué)生運(yùn)算能力差的根源就是學(xué)生的運(yùn)算知識(shí)有缺失的問題,所以在初高中的知識(shí)銜接上一定要下足功夫.

3.4 加強(qiáng)運(yùn)算思維的訓(xùn)練

3.5 加強(qiáng)運(yùn)算范式訓(xùn)練

3.5.1養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣

章建躍博士說過,推理是數(shù)學(xué)的命根子,運(yùn)算是數(shù)學(xué)的童子功.數(shù)學(xué)運(yùn)算貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)中的全過程,學(xué)生計(jì)算能力直接影響學(xué)習(xí)質(zhì)量,而良好的計(jì)算習(xí)慣是提高學(xué)生計(jì)算能力的保障,要幫助學(xué)生養(yǎng)成“一看、二想、三算、四驗(yàn)”的習(xí)慣.

3.5.2給足練習(xí)時(shí)間

在教學(xué)實(shí)踐中,經(jīng)常出現(xiàn)一種現(xiàn)象:同類型的數(shù)學(xué)題,學(xué)生在做課后作業(yè)時(shí)可以做得非常好,但在考試中解答得卻一言難盡.此類學(xué)生就是因?yàn)樵诜潘蔂顟B(tài)或是與多名學(xué)生共同努力時(shí)結(jié)果正確,而在精神緊張或者自己?jiǎn)为?dú)解題時(shí)運(yùn)算自然就不準(zhǔn)確.因此,教師應(yīng)該多給予學(xué)生一些課堂運(yùn)算時(shí)間,獨(dú)立完成運(yùn)算題目,自行發(fā)現(xiàn)運(yùn)算技巧,以防學(xué)生在考試氛圍里出現(xiàn)運(yùn)算慢和不自信的結(jié)果,讓學(xué)生無論在什么場(chǎng)合做題都能夠從容應(yīng)對(duì),幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

3.6 加強(qiáng)運(yùn)算問題的歸類總結(jié)和運(yùn)算技能方法的提煉與積累

數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的高低體現(xiàn)在對(duì)一個(gè)問題的處理不單又快又好,同時(shí)處理手段靈活多樣.要實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)顯然與長(zhǎng)期的運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)和運(yùn)算技能方法的提煉積累有著密切的關(guān)系.對(duì)于一些繞不開的、特別復(fù)雜的純計(jì)算問題,我們要善于分步算,分塊算,豎式算.這里的分步算,就是粗略地看一下,解決這個(gè)問題,可以分成幾步;分塊算,把每一步要解決的問題,一塊一塊解決,就如同小孩玩的積木一樣,一塊一塊解決后,代入總式,再運(yùn)算化簡(jiǎn);豎式算,對(duì)于一些關(guān)于多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)問題,把每一項(xiàng)的化簡(jiǎn)結(jié)果,寫成豎式同類合并,不易出錯(cuò).