程 靜,周菊玲

(新疆師范大學 數(shù)學科學學院,新疆 烏魯木齊 830017)

0 引言

Weibull分布是一種常見的壽命分布,經常用于可靠性工程、生存分析、電力工程、管理科學等眾多領域許多學者[1-5]在雙邊定數(shù)截尾下,基于不同損失函數(shù)分別研究了廣義指數(shù)分布、Pareto分布、Burr Ⅻ分布、指數(shù)-威布爾分布和Topp-Leone分布參數(shù)的Bayes估計,且都利用隨機模擬對所得的估計結果進行了進一步的分析;其中鄧嚴林[5]還算出了未知參數(shù)的估計及預測值和預測區(qū)間;魏艷華[6]等在定數(shù)截尾樣本下利用混合Gibbs算法研究了逆威布爾分布參數(shù)的Bayes估計并進行了數(shù)值模擬,最終結果表明該算法是可行的;龍兵[7]在定數(shù)截尾樣本下研究了艾拉姆咖分布參數(shù)在不同損失函數(shù)下的Bayes估計,并利用數(shù)值模擬對各個估計結果優(yōu)良性進行了分析;成軍祥[8]在不同的截尾數(shù)據(jù)下,研究了Weibull分布參數(shù)的極大似然估計.

假設X是服從兩參數(shù)Weibull分布的隨機變量,其分布函數(shù)為

密度函數(shù)為

故可靠度以及失效率分別為

其中η為尺度參數(shù),β為形狀參數(shù),且尺度參數(shù)η是未知的記為Weib(η,β).

在某些場合中,可以令α=η-β,則分布函數(shù)及密度函數(shù)如下

F(X)=1-e-αxβ,α>0,β>0

(1)

f(x)=βαxβ-1e-αxβ,α>0,β>0

(2)

可靠度為

R(X)=e-αxβ,α>0,β>0.

上述α為尺度參數(shù),β為形狀參數(shù),記為Weib(α,β).

1 極大似然估計

在雙邊定數(shù)截尾樣本下進行壽命試驗,具體方案:假設有一批產品的壽命服從Weibull分布(1),從中隨機抽取n個產品進行試驗,規(guī)定到r個( 0 ≤r≤n) 產品失效時該試驗終止,即定數(shù)截尾試驗,把觀察到的次序失效數(shù)據(jù)設為x1≤x2≤ … ≤xr.但因為一些外部及實驗手段等原因,導致現(xiàn)實操作過程中會有部分數(shù)據(jù)未被觀察到,假設前s-1個數(shù)據(jù)丟失,此時把觀測到的次序統(tǒng)計量為:xs≤x(s+1)≤…≤xr,1≤s≤r≤n記為雙邊定數(shù)截尾樣本在雙邊定數(shù)截尾樣本下,當產品服從Weibull分布時,記x=(xs,xs+1,…,xr-1,xr),可得樣本(xs,xs+1,…,xr-1,xr)的聯(lián)合分布密度函數(shù)為

(3)

將式(1)和式(2)代入式(3),可得

(4)

(5)

2 Bayes估計

2.1 無信息先驗下參數(shù)α的Bayes估計

把參數(shù)α當作隨機變量,當先驗分布選為無信息先驗分布時,分布密度為

(6)

由式(4)和式(6)得α的后驗密度為

2.1.1 刻度平方誤差損失函數(shù)下的Bayes估計

在刻度平方誤差損失函數(shù)下,Weibull分布參數(shù)α的Bayes估計為

證明利用α的后驗分布有

同理可得

從而得到

證畢.

2.1.2 Linex損失函數(shù)下的Bayes估計

Linex損失函數(shù)的表達式為

關于等式兩邊對參數(shù)α同時求后驗期望得

(7)

在Linex損失函數(shù)下Weibull分布尺度參數(shù)α的Bayes估計為

證明由式(7)可得

2.2 共軛先驗下參數(shù)α的Bayes估計

把參數(shù)α當作隨機變量,先驗分布選為共軛先驗Γ-分布族Γ(a,b),分布密度為

(8)

聯(lián)合式(4)和式(8),α的后驗密度為

2.2.1 刻度平方誤差損失函數(shù)下的Bayes估計

在刻度平方誤差損失函數(shù)下,對于給定的先驗分布式(8),Weibull分布參數(shù)α的Bayes估計為

證明利用α的后驗分布(h1(α|x)有

同理可得

從而得到

證畢.

2.2.2 Linex損失函數(shù)下的Bayes估計

在Linex損失函數(shù)下Weibull分布尺度參數(shù)α的Bayes估計為

證明由式(7)可得

3 多層Bayes估計

從上述內容易知,α的Bayes估計仍有超參數(shù)a,b,因為需要進一步討論θ的多層Bayes估計.所以此時把超參數(shù)看成相互獨立的隨機變量,再給出一個先驗,稱為超先驗,進而求得α的多層Bayes估計.當Γ(a,b)分布的超參數(shù)00時,a,b先驗分布分別為均勻分布,即

π2(a)=U(0,1),π2(b)=U(0,g).

上式的g是一個常數(shù)且不適合過大,因為當先驗分布的尾部越窄,所對應的Bayes估計的穩(wěn)健性越差.

α的多層先驗密度函數(shù)為

(9)

定理1 基于Weibull分布,把式(9)作為α的先驗分布,則在刻度平方誤差損失、Linex損失函數(shù)下,α的多層Bayes估計分別為

證明先證刻度平方誤差損失函數(shù)下α的多層Bayes估計為

首先α的后驗密度是

其次α的多層Bayes估計為

接著證明Linex損失函數(shù)下α的多層Bayes估計為

4 隨機模擬

表1 不同損失函數(shù)下參數(shù)α的Bayes估計

由表1可見,無論在刻度平方誤差損失下還是Linex損失下Γ先驗分布都比無先驗分布下的Bayes估計好.但是當在刻度平方誤差損失下,選用Γ先驗分布時,參數(shù)α的估計結果更接近真實值.

5 結論

基于雙邊定數(shù)截尾Weibull分布壽命試驗數(shù)據(jù),結果表明在刻度平方誤差損失函數(shù)下得到的Bayes估計比Linex損失下更接近真值.