秦浩然，寇君龍，朱家榮，周子昕，王軍轉(zhuǎn)，陳召憲，陸延青

（1 四川大學(xué) 物理學(xué)院，成都 610065）

（2 南京大學(xué) 集成電路學(xué)院，蘇州 215163）

（3 南京大學(xué) 電子科學(xué)與工程學(xué)院，南京 210093）

（4 蘇州大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘇州 215021）

（5 南京大學(xué) 現(xiàn)代工程與應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，南京 210093）

0 引言

微分器可以視為高通濾波器，能夠?yàn)V除信號(hào)中的直流分量與低次諧波分量，提取并增強(qiáng)其中的高次諧波分量。空間微分器提取和增強(qiáng)的信息對(duì)應(yīng)的是入射圖像的邊緣［1］。邊緣提取與增強(qiáng)技術(shù)在數(shù)據(jù)壓縮、缺陷檢測(cè)等應(yīng)用中有著不可或缺的作用［2］，在過(guò)去幾十年，一直是熱門的研究課題［1-6］。

與電路相比，用光作為傳輸載體的空間微分器在速度、功耗與可靠性方面具有很大的優(yōu)勢(shì)［7］。然而，用傳統(tǒng)的光學(xué)介電透鏡構(gòu)成的空間微分器在準(zhǔn)確性與邊緣識(shí)別效果方面仍然不盡如意，歸根到底是因?yàn)樗鼈凖嫶蟮捏w型使得光在反射過(guò)程中產(chǎn)生的損耗和球型表面引起的像差不可忽略，此外，光還存在著衍射極限［8］。亞波長(zhǎng)尺度的光學(xué)超表面能夠突破傳統(tǒng)光學(xué)透鏡的上述限制。通過(guò)定制光在傳播過(guò)程中的路徑與振幅和相位等參數(shù)的變化［9］，研究人員設(shè)計(jì)了大量能夠精確實(shí)現(xiàn)空間微分運(yùn)算的結(jié)構(gòu)［1-6，10-13］。通過(guò)有意地?cái)_動(dòng)一個(gè)過(guò)調(diào)制的隨機(jī)散射系統(tǒng)，SOL J 等［4］設(shè)計(jì)了一種超表面解碼矩陣來(lái)執(zhí)行可編程的高階微分，該系統(tǒng)表現(xiàn)出高保真度和靈活性。此外，ZHOU J 等［13］提出了一種基于幾何相位超表面實(shí)現(xiàn)空間微分的機(jī)制，通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的高光學(xué)效率和高帶寬。

上述成果具有開創(chuàng)性，特別是在一些性能指標(biāo)上令人振奮。但這些設(shè)計(jì)策略往往只關(guān)注于某個(gè)特定的應(yīng)用場(chǎng)景，而忽略了其通用性。為了彌補(bǔ)這一缺點(diǎn)，我們將優(yōu)化算法與光學(xué)非局域超表面的逆向設(shè)計(jì)相結(jié)合［14-16］。通過(guò)確認(rèn)目標(biāo)、優(yōu)化結(jié)構(gòu)、驗(yàn)證功能等設(shè)計(jì)步驟［17］，充分利用超表面各個(gè)像素間的相互作用［16］，可以實(shí)現(xiàn)各種運(yùn)算邏輯［16，18-23］。EGOROV V 等［19］利用遺傳算法優(yōu)化圓柱體磁盤的半徑，實(shí)現(xiàn)了一個(gè)帶寬大，效率高的光偏轉(zhuǎn)器。此外，CAI H 等［16］利用遺傳算法，優(yōu)化圓柱體元透鏡的半徑分布使其相互耦合，擬合對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)的相位輪廓，實(shí)現(xiàn)了一個(gè)效果好且厚度薄的非局域聚焦透鏡。

受以上研究的啟發(fā)，本文利用遺傳算法完成了兩個(gè)超表面光學(xué)器件的逆向設(shè)計(jì)，使其分別能夠?qū)崿F(xiàn)一維二階空間微分和拉普拉斯變換。設(shè)計(jì)中，對(duì)非局域超表面的材料分布進(jìn)行優(yōu)化，使其傳遞函數(shù)接近設(shè)計(jì)目標(biāo)，即入射角和透過(guò)率之間滿足二次函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)二維空間微分運(yùn)算［8］。

一維二階微分器的優(yōu)化效果很顯著，最優(yōu)解與理論解傳遞函數(shù)之間的誤差隨著迭代的進(jìn)行逐漸下降（從1.16×10-1下降到6.18×10-5）。當(dāng)入射角小于10°時(shí)，兩者高度吻合。在拉普拉斯變換器優(yōu)化過(guò)程中，最優(yōu)解的傳遞函數(shù)與理論解之間存在一定的差距。由于算法本身收斂速度快，得到的解可能是局部的最優(yōu)解。驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)該結(jié)構(gòu)仍具有空間微分與邊緣識(shí)別的功能，因此，本文提出的逆向設(shè)計(jì)方法具有很強(qiáng)的通用性與容錯(cuò)率。

1 一維二階微分器

1.1 基本原理

在一維情況下，假設(shè)光沿x方向進(jìn)行空間微分運(yùn)算，f（x）表示入射波沿x軸的電場(chǎng)分布，g（x）表示光通過(guò)超表面后透射波的電場(chǎng)分布。g（x）與f（x）之間的關(guān)系為

式中，（I）FT 代表（逆）傅里葉變換，H（kx）代表超表面的傳遞函數(shù)，即以波矢量（kx）為自變量的透過(guò)率。當(dāng)H（kx）與kx2成正比時(shí)，根據(jù)式（1）可知g（x）等于f（x）的二階導(dǎo)數(shù)乘以一個(gè)負(fù)系數(shù)?？紤]到入射角和波矢量在數(shù)值上相等，傳遞函數(shù)等價(jià)于入射角和透過(guò)率之間的關(guān)系。因此當(dāng)傳遞函數(shù)接近二次函數(shù)時(shí)，就可以實(shí)現(xiàn)二階微分運(yùn)算［8］。由于此時(shí)透過(guò)率與波矢有關(guān)，該結(jié)構(gòu)必然要利用超表面各像素間的電磁耦合，因而是非局域超表面［24］。

1.2 建模

整個(gè)微分器模型由方形排列的周期性晶胞單元組成，每個(gè)晶胞單元如圖1（a）所示，其中藍(lán)色代表二氧化硅，紅色代表硅，灰色代表空氣，周期D=400 nm。晶胞單元包括二氧化硅襯底和其上厚度h=160 nm 的超表面。每個(gè)超表面包含10×10 個(gè)獨(dú)立像素，其中每個(gè)像素都由空氣或硅構(gòu)成。為提高優(yōu)化效率，我們將超表面的材料分布設(shè)置為關(guān)于y軸對(duì)稱，在這樣的約束下得到的傳遞函數(shù)也是對(duì)稱的。值得注意的是，仿真時(shí)為提高運(yùn)算速度，將x和y方向的網(wǎng)格尺寸都設(shè)置為10 nm，小于像素的邊長(zhǎng)（40 nm）。因此，實(shí)際的材料分布需由折射率檢測(cè)器確認(rèn)。將波長(zhǎng)為730 nm 的平面波入射到超表面上，功率探測(cè)器放置在超表面下方以監(jiān)測(cè)透射率。

圖1 不同運(yùn)算狀態(tài)下的模型Fig.1 Models in different operating states

在初始狀態(tài)下，入射波的偏振方向沿x軸，入射方向沿z軸反方向。然后在xoz平面上以入射波中央為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ，使入射角等于θ，如圖1（b）所示，其中θ等于15°。此外，對(duì)于在y方向上進(jìn)行微分的場(chǎng)景，我們只需要將入射平面波的初始偏振方向更改為沿y軸，旋轉(zhuǎn)平面更改為yoz平面，如圖1（c）所示。為了實(shí)現(xiàn)二階微分，傳遞函數(shù)應(yīng)接近二次函數(shù)。為了在保證優(yōu)化效果的同時(shí)盡可能減少計(jì)算時(shí)間，我們將目標(biāo)函數(shù)（用FOM 表示）設(shè)置為

式中，T（θ）是當(dāng)入射角等于θ時(shí)的透過(guò)率。FOM 的設(shè)置在簡(jiǎn)便性與準(zhǔn)確性之間取得了平衡：首先，模型只會(huì)有三種狀態(tài)（對(duì)應(yīng)θ等于0、5°和10°），相當(dāng)于在所優(yōu)化的結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)和理論曲線上擬合了三個(gè)點(diǎn)；其次，為了讓T（0），即垂直入射時(shí)的透過(guò)率優(yōu)先趨近于0，將其乘以10 作為權(quán)重。只要入射角不是太大，就可以滿足入射角與透過(guò)率之間的二次函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)入射波和透射波場(chǎng)強(qiáng)分布之間的二階微分關(guān)系。對(duì)于入射角超過(guò)10°的情況，由于其不滿足傍軸近似的條件，通常不予考慮。此外，改變式（2）中0.1 和0.4 的值，可以擬合出具有不同前置系數(shù)的二次函數(shù)。

1.3 算法與迭代

為了減少迭代次數(shù)，本文選擇收斂速度更快的遺傳算法［25］。其基本流程［17］包括：1）編碼并生成初始種群：每個(gè)個(gè)體的超表面材料選擇對(duì)應(yīng)10×10 的二值化矩陣（其中0 代表空氣，1 代表硅），隨機(jī)生成10×10×20 的二值化矩陣作為初始種群（即第一次迭代的父代，其中20 為個(gè)體數(shù)）；2）交配：將20 個(gè)父代個(gè)體兩兩配對(duì)，交換其部分取值，生成子代；3）淘汰：計(jì)算每個(gè)個(gè)體的FOM，記錄其中的最小值，將父代和子代中一半適應(yīng)性更強(qiáng)（即FOM 更小）的個(gè)體篩選出來(lái)，作為下一次迭代的父代。4）結(jié)束：重復(fù)2）和3）兩步，直到迭代次數(shù)達(dá)到預(yù)設(shè)值或最優(yōu)解的FOM 小于FOM 的預(yù)設(shè)值。

該算法連續(xù)性好，但多樣性較差，也就是說(shuō)容易算出局部最優(yōu)解。為了加快迭代速度，這樣的犧牲是值得的。事實(shí)上，入射角和透過(guò)率之間并不一定要嚴(yán)格滿足二次函數(shù)關(guān)系，只要垂直入射時(shí)的透過(guò)率小于10-2，得到的器件結(jié)構(gòu)就具有一定的微分功能。由于該方法的高容錯(cuò)率，并不需要算法本身具有很高的智能性。

使用此算法迭代至多50 代，每代包含20 個(gè)父代和20 個(gè)子代（通過(guò)代碼可以記錄下已經(jīng)計(jì)算過(guò)的結(jié)構(gòu)，避免沒(méi)有必要的重復(fù)運(yùn)算）。每個(gè)個(gè)體的FOM 是使用時(shí)域有限差分法計(jì)算得到的。隨著迭代的進(jìn)行，每個(gè)個(gè)體的FOM（以10 為底取對(duì)數(shù)以提高對(duì)比度，用lg（FOM）表示）及每次迭代的最優(yōu)個(gè)體的FOM（以10 為底取對(duì)數(shù)，用min［lg（FOM）］表示）分別如圖2（a）和圖2（b）所示，其中圖2（a）中每個(gè)色塊代表一個(gè)個(gè)體。

圖2 最優(yōu)解的折射率分布及其傳遞函數(shù)隨迭代次數(shù)增加的演化Fig.2 Evolution of refractive index distribution and transfer function of optimal solution as the iterations increase

在優(yōu)化過(guò)程中，某一次優(yōu)化所得最優(yōu)解的FOM 及其對(duì)應(yīng)的折射率分布如圖2（c）～（f）和表1 所示?？梢钥吹剑S著迭代的進(jìn)行，最優(yōu)解的FOM 從1.16×10-1逐漸下降到6.18×10-5。特別是入射角小于10°時(shí)，優(yōu)化后的傳遞函數(shù)更接近理論上的二次函數(shù)。

表1 最優(yōu)解隨迭代次數(shù)增加的演化Table 1 Evolution of optimal solution as the iterations increase

1.4 可靠性評(píng)估

實(shí)際制造中的誤差不可避免，特別是在周圍材料均與之不同的像素（又稱孤立像素）上，因此可靠性評(píng)估是必要的。在進(jìn)行可靠性評(píng)估時(shí)，對(duì)上節(jié)中迭代次數(shù)為30 次時(shí)得到的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的材料分布進(jìn)行適當(dāng)更改后計(jì)算其目標(biāo)函數(shù)或傳遞函數(shù)，并比較更改前后的結(jié)果。

設(shè)計(jì)了兩個(gè)可靠性評(píng)估。更改后的材料分布（其中更改的部分用紅框標(biāo)出）及其對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)如圖3所示。從中可以推斷出，在第一種更改下，傳遞函數(shù)仍然有二次函數(shù)的形狀，F(xiàn)OM 上升到了5.29×10-3；在第二種更改下，F(xiàn)OM 上升到了3.23×10-2，此時(shí)仍可以實(shí)現(xiàn)邊緣檢測(cè)的功能。

圖3 一維二階微分器的可靠性評(píng)估結(jié)果Fig.3 Reliability assessment of one-dimensional second-order differentiator

圖3（d）是超表面的切換圖分析結(jié)果［20］，其中每個(gè)色塊代表對(duì)應(yīng)像素單獨(dú)發(fā)生轉(zhuǎn)換（從空氣變成硅或反之）時(shí)，用轉(zhuǎn)換后的目標(biāo)函數(shù)（用FOM_tog 表示）減去最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的FOM（均以10 為底的對(duì)數(shù)）。從中可以看出所得結(jié)果均為正數(shù)，這說(shuō)明轉(zhuǎn)換后的結(jié)構(gòu)均不如本文方法得出的最優(yōu)解。

1.5 功能驗(yàn)證

為驗(yàn)證得到的最優(yōu)解能否實(shí)現(xiàn)一維二階的空間微分，首先周期性地排列30×30個(gè)晶胞單元，并入射沿x方向偏振、沿z軸反方向入射的高斯波。圖4（a）和圖4（b）分別是入射波與透射波電場(chǎng)x分量的分布，圖4（c）是圖4（b）在y=0 處的截線。作為第二個(gè)驗(yàn)證示例，用平面波替換高斯波，入射到30×15 個(gè)晶胞單元周期排列的器件結(jié)構(gòu)中間（四周沒(méi)有光波入射）。所得透射波的電場(chǎng)x分量分布如圖4（d）所示。

圖4 一維二階微分器的功能驗(yàn)證Fig.4 Functional verification of one-dimensional second-order differentiator

從圖4（c）中可以看出，仿真得到的實(shí)際波形與理論波形，即高斯波的二階導(dǎo)數(shù)乘以一個(gè)負(fù)系數(shù)（-0.166 3）相似?？梢酝茢喑觯摮砻娴哪芰哭D(zhuǎn)換率略小于16.63%。此外，從圖4（d）可以看出，透射波在x方向上反映了入射波的輪廓，且一個(gè)輪廓對(duì)應(yīng)兩個(gè)峰值。因此，該結(jié)構(gòu)在x方向上實(shí)現(xiàn)了二階空間微分。

2 拉普拉斯變換器

為了證明本文提出的方法具有很強(qiáng)的通用性，本節(jié)采用類似的方式設(shè)計(jì)了一個(gè)拉普拉斯變換器。迭代時(shí)，需要計(jì)算入射波沿x軸和y軸極化時(shí)的透過(guò)率，分別對(duì)應(yīng)圖1（b）和圖1（c）中的模型。為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，將超表面的材料分布設(shè)置為同時(shí)相對(duì)于x軸和y軸對(duì)稱。與式（2）類似，此時(shí)的目標(biāo)函數(shù)（用FOM_xy表示）設(shè)置為

式中，Ti（θ）表示入射波的偏振方向沿i軸（i=x或y）且入射角等于θ時(shí)的透過(guò)率。在確定FOM_xy時(shí)，我們提高了垂直入射時(shí)透過(guò)率的優(yōu)先級(jí)，同時(shí)降低非垂直入射時(shí)透過(guò)率的目標(biāo)取值以提高目標(biāo)曲線的平滑度。我們使用與先前設(shè)計(jì)一維二階空間微分器相同的算法和參數(shù)來(lái)進(jìn)行優(yōu)化。所得最優(yōu)解的材料折射率分布和傳遞函數(shù)分別如圖5（a）和圖5（c）所示，其中Tx（0）、Ty（0）和FOM_xy分別等于2.74×10-3、1.05×10-2和8.84×10-3。

圖5 拉普拉斯變換器的最優(yōu)解Fig.5 Optimal solution of Laplace transformer

對(duì)該最優(yōu)解進(jìn)行可靠性評(píng)估。將x方向邊界處的孤立像素適當(dāng)擴(kuò)大（對(duì)應(yīng)工藝中沒(méi)有刻蝕完全），并比較更改前后的結(jié)果，如圖5（d）所示。更改后，F(xiàn)OM_xy上升到1.24×10-2，仍能實(shí)現(xiàn)邊緣檢測(cè)。需要注意的是，這種結(jié)構(gòu)只是一次優(yōu)化得到的最優(yōu)解，而不是算法的極限解。在圖5（b）所示的切換圖中，可以很容易地找到更好的解，其中FOM_xy_tog 表示轉(zhuǎn)換后的目標(biāo)函數(shù)。

為驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)確實(shí)具有識(shí)別圖像輪廓的功能，進(jìn)行兩個(gè)仿真測(cè)試。首先，周期排列30×30 個(gè)晶胞單元，在整個(gè)器件結(jié)構(gòu)的中間入射偏振方向與x軸成45°角的平面波（四周沒(méi)有光波入射）。然后，使用鏤空的金屬銀作為入射平面波與50×40 個(gè)晶胞單元周期排列成的器件結(jié)構(gòu)之間的阻擋層，阻擋層僅允許一個(gè)“N”形狀空間分布的平面波通過(guò)。

第一個(gè)測(cè)試中得到的透射波電場(chǎng)的x和y分量分布分別如圖6（a）和圖6（b）所示，從中可以看出，透射波在入射波邊緣沿偏振方向出現(xiàn)尖峰，且一個(gè)邊緣對(duì)應(yīng)最大和最小兩個(gè)峰值。因此，該結(jié)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)拉普拉斯變換。兩個(gè)測(cè)試的電場(chǎng)強(qiáng)度的分布分別如圖6（c）和圖6（d）所示，從圖6（d）中可以很清晰地看出字母“N”的輪廓，且每一個(gè)邊緣對(duì)應(yīng)場(chǎng)強(qiáng)中的兩個(gè)峰值，其中斜線部分的輪廓是x和y方向上場(chǎng)強(qiáng)的重疊而成的。

圖6 拉普拉斯變換器的可靠性分析與功能驗(yàn)證Fig. 6 The reliability assessment and functional verification of Laplace transformer

3 結(jié)論

利用遺傳算法優(yōu)化非局部超表面的材料分布，設(shè)計(jì)并驗(yàn)證了一維二階微分器和拉普拉斯變換器。本文設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)可用于識(shí)別和增強(qiáng)圖像輪廓，具有小型化和高速化的特點(diǎn)。該方法可以擴(kuò)展到其他空間運(yùn)算的設(shè)計(jì)，例如積分或空間濾波?？紤]到該方法對(duì)算法本身和制造過(guò)程有著較低的要求和較高的容錯(cuò)率，該方法在設(shè)計(jì)光學(xué)計(jì)算單元方面具有巨大的潛力。此外，可以將迭代過(guò)程中得到的所有材料分布及其傳遞函數(shù)一一對(duì)應(yīng)起來(lái)，形成一個(gè)數(shù)據(jù)庫(kù)，結(jié)合深度學(xué)習(xí)研究結(jié)構(gòu)參數(shù)與其電磁響應(yīng)之間的映射關(guān)系，進(jìn)而代替時(shí)域有限差分法來(lái)完成逆向設(shè)計(jì)，進(jìn)一步提高優(yōu)化效率。