章建榮 (江西省南昌市鐵路第一中學(xué) 330002)

在高中數(shù)學(xué)章末總結(jié)課的教學(xué)中,創(chuàng)設(shè)合理的問題情境是十分重要的。合理的問題情境能夠引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主思考、自主探究,幫助學(xué)生很好地應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)解決實(shí)際問題,本文以北師大版高中數(shù)學(xué)教材的“計(jì)數(shù)原理”章末總結(jié)課的教學(xué)為例來談一談?wù)履┛偨Y(jié)課的教學(xué)探索。

一、教學(xué)目標(biāo)

1.結(jié)合實(shí)例,理解排列與組合的概念和區(qū)別,感悟計(jì)數(shù)原理的基本思想,運(yùn)用計(jì)數(shù)原理探索排列、組合問題;

2.通過流程圖或表格的形式,直觀地呈現(xiàn)“一件事”的完成過程,揭示分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的本質(zhì),并運(yùn)用計(jì)數(shù)原理解決實(shí)際問題;

3.在運(yùn)用計(jì)數(shù)原理求解問題的過程中,體會(huì)排列與組合的目的和意義,發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)。

二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn):1.將 “一件事”的完成過程用流程圖或表格的方式呈現(xiàn);

2.利用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理求解問題。

難點(diǎn):1.認(rèn)識(shí)兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理與排列、組合的內(nèi)在聯(lián)系;

2.利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)二項(xiàng)式定理。

三、教學(xué)過程

摸球問題是古典概型中一類重要的問題。由于摸球的方式、球顏色的搭配及最終考慮的問題不同,其內(nèi)容可以說是形形色色、千差萬別。

1.活動(dòng)探究

如圖1,袋子中有紅色、黃色、黑色等多種顏色的球若干個(gè),這些球除顏色外完全相同,現(xiàn)有編號(hào)為1,2,3,4,…的盒子,這些盒子除編號(hào)外完全相同。

圖1

【探究一】若袋子中有紅球、黃球、黑球、藍(lán)球各1個(gè)。

(1)從這4個(gè)球中抽取3個(gè),共有多少種取法?

(2)從這4 個(gè)球中抽取3 個(gè),分別放入1 到3號(hào)的盒子中,每個(gè)盒子放1 個(gè)球,共有多少種放法?

師生活動(dòng):

問題1:從這4 個(gè)球中抽取3 個(gè),有多少種取法?

問題2:你是否還有其他方法解決此問題?

“從這4個(gè)球中去掉1個(gè)”的方法數(shù)和“從4個(gè)球中抽取3個(gè)”的方法數(shù)相等,即種。

問題3:第(2)問與第(1)問有什么關(guān)系?

“從這4個(gè)球中抽取3個(gè),分別放入1到3號(hào)的盒子中,每個(gè)盒子放1個(gè)球”這件事可以分為兩步,第一步就是從這4個(gè)球中抽取3個(gè),第二步是將這3個(gè)球進(jìn)行排列。

如圖2,我們采用流程圖的方式呈現(xiàn)“從這4個(gè)球中抽取3個(gè),分別放入1到3號(hào)的盒子中,每個(gè)盒子放1個(gè)球”這件事的完成過程。

圖2

問題4:我們還可以采用其他分步的方式完成“從這4個(gè)球中抽取3個(gè),分別放入1到3號(hào)的盒子中,每個(gè)盒子放1個(gè)球”嗎? 該如何操作?

①如圖3,我們可以采用流程圖的方式呈現(xiàn)“從這4個(gè)球中抽取3個(gè),分別放入1到3號(hào)的盒子中,每個(gè)盒子放1個(gè)球”這件事的完成過程。

圖3

共有4×3×2=24種方法。

②我們也可以采用表格的方式呈現(xiàn)“從這4個(gè)球中抽取3個(gè),分別放入1到3號(hào)的盒子中,每個(gè)盒子放一個(gè)球”這件事的完成過程,如表1。

表1

共有4×3×2=24種方法。

問題5:從“4×3×2=24”中,有什么發(fā)現(xiàn)嗎?

歸納:從n個(gè)不同的球中取出m個(gè)球進(jìn)行排列,共有種方法。

從n個(gè)不同的球中取出m個(gè)球進(jìn)行組合,共有種方法。

其實(shí)排列與組合就是我們?cè)谑褂糜?jì)數(shù)原理求解問題的過程中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,為了簡化解題過程,我們建立計(jì)數(shù)模型,當(dāng)我們以后遇到這類問題時(shí),可以直接使用排列數(shù)公式或組合數(shù)公式簡化我們的解題過程。

排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別:

①共同點(diǎn):兩者都是關(guān)于從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個(gè)元素的計(jì)數(shù)問題。

②不同點(diǎn):排列需要考慮元素順序,組合不需要考慮元素順序。

③排列中有組合的思想,組合也可以由排列來處理。

【設(shè)計(jì)意圖】

(1)通過具體的實(shí)際問題,學(xué)生體會(huì)使用流程圖或表格的方式直觀呈現(xiàn)“一件事”的完成過程,突出解決計(jì)數(shù)問題的核心。

(2)第①問是組合問題,第①問的另一種解法體現(xiàn)的是一種反向思維,它是從問題對(duì)立面的角度思考問題,同時(shí)解釋了這個(gè)模型。

(3)第②問設(shè)置在第①問的后面,主要是引導(dǎo)學(xué)生在處理第②問時(shí),可以以第①問為基礎(chǔ),體現(xiàn)了排列問題可以看成先組合再全排列,這也為解決組合問題提供了一種逆向思維,同時(shí)揭示了排列與組合是我們?yōu)榱吮阌诮鉀Q計(jì)數(shù)問題而建立的兩個(gè)數(shù)學(xué)模型,其本質(zhì)還是兩種基本計(jì)數(shù)原理。

【探究二】若袋子中有紅球、黃球、黑球、藍(lán)球、白球、綠球各1個(gè)。

(1)將這6個(gè)球分配到編號(hào)為1,2,3的3個(gè)盒子中,每個(gè)盒子中至少有1個(gè)球。

①若3個(gè)盒子中球的個(gè)數(shù)各不相同,則有多少種不同的分配方案?

②若1個(gè)盒子中有4個(gè)球,則有多少種不同的分配方案?

(2)若將這6個(gè)球分配到編號(hào)為1,2的2個(gè)盒子中,且每個(gè)盒子中球的個(gè)數(shù)大于其編號(hào),則有多少種不同的分配方案?

師生活動(dòng):

問題1:袋子中一共有6個(gè)球,分到3個(gè)盒子中,每個(gè)盒子中至少有1個(gè)球,且每個(gè)盒子中球的個(gè)數(shù)各不相同,那么盒子中球的個(gè)數(shù)分別是多少個(gè)呢?

分別是1,2,3個(gè)。

問題2:在處理計(jì)數(shù)問題時(shí),可以嘗試先組合再排列的思路處理問題,所以我們?nèi)绾谓獯鸬冖賳柲?

首先將這6個(gè)球分成三組,且每組球的個(gè)數(shù)分別為1,2,3個(gè),有種;再將這三個(gè)組合排列到3個(gè)盒子中,有種,由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知:共有360種不同的分配方案。

問題3:袋子中一共有6個(gè)球,如果有1個(gè)盒子中有4個(gè)球,3個(gè)盒子中球的個(gè)數(shù)分別是多少個(gè)呢? 若先分組,再排列,則共有多少種分配方案呢?

每個(gè)盒子中球的個(gè)數(shù)分別是1,1,4個(gè)。

首先將這6個(gè)球分成三組,且每組球的個(gè)數(shù)分別為1,1,4個(gè),有種;再將這三個(gè)組合排列到3個(gè)盒子中,有種。由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知:共有種不同的分配方案。

問題4:袋子中一共有6個(gè)球,如果將這6個(gè)球分配到編號(hào)為1,2的2個(gè)盒子中,且每個(gè)盒子中球的個(gè)數(shù)大于其編號(hào),那么1號(hào)盒子中球的個(gè)數(shù)至少多少個(gè)? 盒子中球的個(gè)數(shù)一共有多少種情況呢?

1號(hào)盒子中球的個(gè)數(shù)至少為2個(gè)。

用表格呈現(xiàn)所有可能的情況,如表2。

表2

我們按照上面的定額分組分配問題的求解辦法求解每一種情況即可,所以共有種不同的分配方案。

【設(shè)計(jì)意圖】

(1)第①問和第②問都是定額的分組分配問題,結(jié)合實(shí)際情境幫助學(xué)生回顧分組分配問題的處理思路——先分組再排列。

(2)第②問相比第①問的區(qū)別是有平均分組,在分組分配問題中,面對(duì)平均分組的問題,引導(dǎo)學(xué)生回顧該怎么處理,幫助學(xué)生鞏固解題方法。

(3)第②問是不定額的分組分配問題,通過這個(gè)問題幫助學(xué)生鞏固不定額的分組分配問題的處理思路——先分類再定額分組分配。

【探究三】現(xiàn)有編號(hào)為1,2,…,7 的7 個(gè)盒子,按編號(hào)排序,將紅色、黃色、藍(lán)色、黑色4個(gè)除顏色外完全相同的球全部放入7個(gè)盒子中,每個(gè)盒子最多放1個(gè)球,則恰好有2個(gè)相鄰的空盒且紅球與黃球不相鄰的放法共有______種。

師生活動(dòng):

問題1:有相鄰和不相鄰的問題,先考慮相鄰還是不相鄰呢?

可以先考慮相鄰。

問題2:我們要分步完成,可以分成幾步完成呢?

可以分三步完成。

第一步,先將4個(gè)球放到4個(gè)盒子中,在不考慮紅球和黃球不相鄰的情況下,共有種放法。

第二步,再考慮空盒相鄰的情況,只需要將兩個(gè)空盒捆綁,和剩余一個(gè)空盒插空即可,共有種放法。

第三步,最后考慮紅球和黃球不相鄰的問題。

問題3:紅球和黃球不相鄰的問題,我們能否轉(zhuǎn)化成相鄰的問題呢?

【設(shè)計(jì)意圖】

(1)結(jié)合實(shí)際情境幫助學(xué)生回顧相鄰和不相鄰問題的處理思路——插空法。

(2)面對(duì)不相鄰的問題,引導(dǎo)學(xué)生將不相鄰的問題轉(zhuǎn)化為相鄰的問題進(jìn)行求解,滲透轉(zhuǎn)化與化歸思想。

【探究四】現(xiàn)有編號(hào)為1,2,3,4,5,6 的6個(gè)盒子,按編號(hào)排序,每個(gè)盒子中分別放有1個(gè)紅球和1個(gè)黃球,從每個(gè)盒子中任取1個(gè)球。

(1)若選出4 個(gè)紅球2 個(gè)黃球,則有多少種取法?

(2)從6個(gè)盒子中各取1個(gè)球,一共有多少種取法?

師生活動(dòng):

問題1:選出4個(gè)紅球2個(gè)黃球,即從4個(gè)盒子中選出了紅球,2個(gè)盒子中選出了黃球,共有多少種取法呢?

從6個(gè)盒子中任選4個(gè)盒子取出紅球,在剩下的2個(gè)盒子中取出黃球,所以共有種取法。

問題2:從6個(gè)盒子中各取1個(gè)球,要取多少次? 共有多少種取法?

取6 次,則可以分成6 步來完成這件事,如表3。

表3

共有26種取法。

問題3:在第①問的基礎(chǔ)上,換一種角度思考,抽取出來球的個(gè)數(shù)一共是6個(gè),取出來的球有哪些情況呢?

共有7種情況,如表4。

表4

【設(shè)計(jì)意圖】

(1)第①問通過摸球模型解釋二項(xiàng)式展開式中a4b2的系數(shù),利用計(jì)數(shù)原理分析問題,有效地幫助學(xué)生理解抽象的知識(shí),從具體到抽象,增強(qiáng)了對(duì)二項(xiàng)式定理的直觀理解,起到鞏固知識(shí)的作用。

(2)第②問是在第①問的基礎(chǔ)上,通過摸球模型解釋二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),感悟排列、組合與二項(xiàng)式定理之間的關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生觀察歸納、抽象概括的能力。

2.總結(jié)提升

章節(jié)內(nèi)容,如圖4。

圖4

核心知識(shí):兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理

數(shù)學(xué)方法:圖示表格(實(shí)際問題直觀化)、化整為零(復(fù)雜問題簡單化)

數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論

【設(shè)計(jì)意圖】

通過四個(gè)探究,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷使用計(jì)數(shù)原理解決問題,從中提煉出排列與組合問題的核心其實(shí)還是計(jì)數(shù)原理。在具體到抽象的過程中,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生類比、歸納等推理能力,體會(huì)數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等思想。不但使學(xué)生“知其然”,而且讓學(xué)生“知其所以然”,體現(xiàn)以學(xué)生為本,讓學(xué)生在質(zhì)疑、探究、理解、歸納和運(yùn)用的過程中深刻理解排列、組合之間的關(guān)系,感悟排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別,以及排列、組合與二項(xiàng)式定理之間的關(guān)系,發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。

3.課后作業(yè)

(1)2名醫(yī)生和4名護(hù)士將被分配到2所學(xué)校為學(xué)生體檢,每所學(xué)校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士,共有多少種分配方法?

(2)6名同學(xué)排成一排,其中甲、乙兩人不相鄰的排法共有多少種?

(3)正六邊形有1個(gè)中心和6個(gè)頂點(diǎn),若以這7個(gè)點(diǎn)中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)組成三角形,則共能組成多少個(gè)三角形?

四、教學(xué)反思

實(shí)踐證明,在“計(jì)數(shù)原理”章末總結(jié)課的教學(xué)中,采取“問題探究”的模式,能夠有效地彰顯學(xué)生在章末總結(jié)課中的主體地位,通過一類問題的探究,揭示知識(shí)的本質(zhì),突出知識(shí)之間的關(guān)系,通過問題引領(lǐng)學(xué)生在課堂上開展自主化數(shù)學(xué)探究活動(dòng),建構(gòu)知識(shí)體系,促進(jìn)數(shù)學(xué)思維能力的提升,從而高效地達(dá)到章末總結(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。