李超凡，王福杰，余元佳，郭芳，任斌，樊開夫

(1.東莞理工學(xué)院電子工程與智能化學(xué)院，廣東東莞 523000；2.東莞理工學(xué)院國際微電子學(xué)院，廣東東莞 523000；3.東莞松山湖材料實驗室，廣東東莞 523000)

0 前言

近年來，機器人遙操作系統(tǒng)在深海探測控制、太空遙操作、手術(shù)微操作、醫(yī)學(xué)內(nèi)臟健康檢查等場景展示了強大的潛在應(yīng)用前景[1-2]?；跈C器人遙操作系統(tǒng)的自適應(yīng)控制成為目前研究的核心問題，也吸引了眾多的學(xué)者研究該類控制問題[3-5]。文獻(xiàn)[3]基于主從機器人動力學(xué)模型設(shè)計非線性類PD控制器，通過進行機器人重力補償同時實現(xiàn)主從機器人關(guān)節(jié)角度與速度誤差收斂。文獻(xiàn)[6]基于主從機器人的任務(wù)操作空間提出一種異構(gòu)機器人同步算法，并利用機器人冗余空間完成避障任務(wù)，取得良好的控制效果。

機器人系統(tǒng)是一個多輸入、多輸出、強時變耦合的非線性系統(tǒng)[7-8]，在實際生產(chǎn)中的序列任務(wù)，機器人系統(tǒng)和環(huán)境的交互模型一般是難以精確實時標(biāo)定的，受限于不斷變化的負(fù)載(包括體積、質(zhì)量、摩擦等)[7-12]，引發(fā)了機器人系統(tǒng)的動力學(xué)、運動學(xué)與執(zhí)行器不確定性。在機器人模型不確定與執(zhí)行器受約束情況下完成復(fù)雜的精確控制，是目前研究的難點。文獻(xiàn)[13]提出一種將PID與魯棒自適應(yīng)相結(jié)合的遙操作機器人控制算法，通過動力學(xué)模型“參數(shù)線性化”方法處理主從端動力學(xué)不確定性問題，確保主從機器人的位置與速度誤差在時延網(wǎng)絡(luò)下依然收斂于0。由于機器人雅可比矩陣對物理參數(shù)的要求，現(xiàn)在已經(jīng)有學(xué)者提出了幾種自適應(yīng)控制算法來處理運動學(xué)不確定性[14-15]。如文獻(xiàn)[11]設(shè)計基于滑模函數(shù)的魯棒自適應(yīng)控制律補償機械手模型不確定性，利用自適應(yīng)律估計外界干擾的上界?；谏鲜鎏幚硭悸罚墨I(xiàn)[4]針對不確定與受干擾遙操作機器人系統(tǒng)提出一種滑模魯棒控制器，通過設(shè)計速度觀測器避免噪聲速度信號的采集，在控制律中嵌入指數(shù)控制項加快誤差的收斂速度。文獻(xiàn)[16]開發(fā)了一種半自主控制框架，同時考慮機器人運動學(xué)與動力學(xué)的不確定性，利用異構(gòu)機器人來提高復(fù)雜環(huán)境下運行的遠(yuǎn)程操作系統(tǒng)的運行速度。上述控制方案都基于精確的動力學(xué)結(jié)構(gòu)而只考慮參數(shù)的不確定性進行研究的，在復(fù)雜多變的實際環(huán)境下這種要求難以實現(xiàn)。此外，上述文獻(xiàn)假設(shè)機器人執(zhí)行器處于完備運行狀態(tài)中，文獻(xiàn)[17]指出當(dāng)機器人長期處于運行狀態(tài)，執(zhí)行器無法避免產(chǎn)生輸入約束，使實際的關(guān)節(jié)力矩給定值與輸出值形成非線性映射，因此上述控制算法在許多任務(wù)中難以完美實施。

本文作者針對一類具有動力學(xué)模型、運動學(xué)參數(shù)不確定和執(zhí)行器未知特點的機器人遙操作系統(tǒng)，利用模糊系統(tǒng)對非線性函數(shù)的逼近能力與動力學(xué)模型進行預(yù)估，避免文獻(xiàn)[9-12]中對機器人動力學(xué)模型 “回歸矩陣”的求解，將關(guān)節(jié)空間的域誤差變量以及任務(wù)空間的誤差變量引入到控制律中進行反饋，通過在控制律中嵌入Nussbaum增益函數(shù)實現(xiàn)對執(zhí)行器不確定性的補償，增加了軌跡跟蹤誤差的收斂速度，確保穩(wěn)定性和任務(wù)空間位置跟蹤。此外，文中的控制方案也引入投影函數(shù)[11]避免 “奇異”現(xiàn)象，在控制器中設(shè)計魯棒項進行擾動抑制，避免求解未建模動態(tài)與外部擾動的上確界，因此文中提出的控制方案能減少計算復(fù)雜度。在進行主從機器人系統(tǒng)交互控制器設(shè)計中，利用自適應(yīng)模糊控制器的逼近特性，設(shè)計帶有自適應(yīng)項的控制律對機械手末端的相互作用力進行補償，提高了控制算法的實用性。

1 具有輸入約束的不確定主從機器人系統(tǒng)

1.1 主從機器人系統(tǒng)運動學(xué)

在遠(yuǎn)程操作系統(tǒng)中，假定雙邊操縱器(即本地機器人和遠(yuǎn)程機器人)是非冗余的，機械手的正向運動學(xué)[4]可以表示如下：

(1)

主從機器人之間的跟蹤誤差[5-7]可以定義為

(2)

特性1：機器人的運動學(xué)在一組運動學(xué)參數(shù)θk，i∈Rn×m中是線性的。

Ji(qi)ξ=Yk，i(qi，ξ)θk，i

(3)

其中：Yk，i(qi，ξ)∈Rn×n表示回歸矩陣；ξ∈Rn是可微的矢量。文中假設(shè)存在運行學(xué)不確定性，則Ji(qi)是未知的。

1.2 具有輸入約束的主從機器人系統(tǒng)動力學(xué)

此外，文中考慮了機器人執(zhí)行器不確定性。在不失一般性的前提下，假設(shè)主機器人和從機器人是具有相同距離的機器人操縱器，遙操作機器人的動力學(xué)[4，12]可以寫成：

(4)

特性2：對稱慣性矩陣Mi(qi)是一致正定的。

(5)

其中：β∈Rn×1是任意向量。

1.3 Nussbaum增益函數(shù)

當(dāng)任意偶函數(shù)N(χ)滿足：

(6)

則任何偶數(shù)函數(shù)N(χ)都被稱為Nussbaum函數(shù)。其中，κ0是κ的初始值。文中使用的Nussbaum型函數(shù)N(χ)=χ2cos(χ)。至此，有以下引理[17]：

(7)

1.4 模糊邏輯系統(tǒng)

典型的模糊系統(tǒng)由4個部分組成，分別是模糊化輸入接口、模糊規(guī)則庫、模糊邏輯推理機以及解模糊化輸出接口。而模糊推理機作為整個模糊控制系統(tǒng)的核心部分，通過一套“IF-THEN”規(guī)則完成從輸入語言變量到輸出語言變量的映射。

(8)

其中：μAili(xi)為xi的隸屬函數(shù)，文中采用的隸屬函數(shù)為高斯基函數(shù)。

(9)

(10)

若所有的模糊隸屬度函數(shù)均為高斯函數(shù)，則有以下引理[19]：

(11)

2 基于不確定主從機器人系統(tǒng)的自適應(yīng)模糊控制器設(shè)計與穩(wěn)定性分析

2.1 控制器的設(shè)計

主從機器人的虛擬控制律設(shè)計為

(12)

其中：KD=diag(ki)，ki>0，i=1，2，…，n。

(13)

(14)

定義關(guān)節(jié)空間域參考誤差：

(15)

任務(wù)空間滑動向量定義為

(16)

具有輸入補償?shù)臋C器人運動控制器設(shè)計[9，17]為

(17)

其中：χ=[χ1，…，χn]T∈Rn×1表示Nussbaum增益矩陣的輸入，且有：

N*(χ)=diag(N(χ1)，…，N(χn))

(18)

2.2 未知參數(shù)預(yù)估和自適應(yīng)律的設(shè)計

未知的運動學(xué)參數(shù)可在線預(yù)估為

(19)

(20)

式(17)使用了參數(shù)投影法[14]，主要是讓參數(shù)在指定的范圍內(nèi)更新，從而避免預(yù)估的雅可比矩陣產(chǎn)生“奇異”現(xiàn)象，投影函數(shù)[14]表示為

(21)

Nussbaum增益矩陣的更新律為

(22)

式中：ε=[ε1，…，εn]T表示正常量向量。

2.3 穩(wěn)定性的證明

定理1：假設(shè)主從機器人系統(tǒng)可由式(1)表示其運動學(xué)方程，可由式(4)表示其具有輸入約束的動力學(xué)方程，那么文中提出的自適應(yīng)模糊控制方案(12)、(17)以及參數(shù)更新律(19)(20)(21)可以令主從機器人系統(tǒng)的誤差el與er收斂到0，也即實現(xiàn)：

證明：選取李雅普諾夫函數(shù)為

(23)

對上式進行微分可得：

(24)

結(jié)合式(4)(5)和(15)，整理得：

(25)

(26)

又由于：

(27)

由式(16)可得：

(28)

自適應(yīng)律設(shè)計為

(29)

定義模糊逼近誤差為

(30)

設(shè)計模糊自適應(yīng)律：

(31)

將式(2)以及(27)—(31)代入式(26)可得：

(32)

當(dāng)恰當(dāng)選擇KD時有：

因此，對式(32)在區(qū)間[0，t)上積分，則有：

3 仿真結(jié)果

為了驗證文中提出的具有動力學(xué)與運動學(xué)不確定性的主從機械手自適應(yīng)模糊控制方案的有效性，選取帶有轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)的二自由度主從機械手為仿真研究對象。

主從機器人的運動學(xué)參數(shù)如表1所示，其中l(wèi)i，1、li，2分別表示機器人兩個關(guān)節(jié)的等效桿長，i=r，l，分別指代主機器人與從機器人。由文獻(xiàn)[20-21]可知機器人的運動學(xué)可以表示為

表1 主從機器人運動學(xué)參數(shù) 單位：m

主從機器人的動力學(xué)參數(shù)如表2所示，其中mi，1、mi，2分別表示機器人兩個關(guān)節(jié)質(zhì)量，ri，1、ri，2分別表示機器人兩個關(guān)節(jié)長度，i=r，l分別指代主機器人與從機器人，則機器人動力學(xué)可以表示為

表2 主從機器人動力學(xué)參數(shù)

式中：

2mi，2ri，1ri，2cos(qi，2)

Gi，1=(mi，1+mi，2)ri，1cos(qi，2)+

mi，2ri，2cos(qi，1+qi，2)

Gi，2=mi，2ri，2cos(qi，1+qi，2)

因此，可得機器人任務(wù)空間速度和關(guān)節(jié)空間速度之間的映射關(guān)系可表達(dá)為

式中：

Ji，11=-li，1sin(qi，1)-li，2sin(qi，1+qi，2)

Ji，12=-li，2sin(qi，1+qi，2)

Ji，21=li，1cos(qi，1)+li，2cos(qi，1+qi，2)

Ji，22=li，2cos(qi，1+qi，2)

可得式(3)中的回歸矩陣可以表示為

式中：

根據(jù)上式可以完整得到機器人運動學(xué)方程，受限于文章篇幅，機器人動力學(xué)參數(shù)與具體的模型表達(dá)式可以參照文獻(xiàn)[21]?？刂破骱妥赃m應(yīng)式中的增益分別設(shè)置為：KD=3，kr，i=4，ke，i=0.2，λi=1，Γk，i=diag{1，1}，Γd，i=[1，1；1，1]，εi=diag{1，1}，Nussbaum 型函數(shù)與模糊邏輯系統(tǒng)的選取可以參照文獻(xiàn)[17，19]；設(shè)定主端機器人、從端機器人的關(guān)節(jié)角初始值為qr(0)=[1，2]T，ql(0)=[0，0.5]T，速度初始值都為0，時延設(shè)定為T=0.05。在t=5 s時對主機器人施加外力Fr=[-50，100]T以及在t=10 s時對從機器人施加外力Fl=[-20，-20]T，其中外力的持續(xù)時間均為0.5 s。所提出的控制方案仿真實驗結(jié)果如圖1—4所示。

圖2 從機器人位置(a)與速度(b)跟蹤誤差

圖3 主從機器人位置軌跡跟蹤效果

圖4 主從機器人速度軌跡跟蹤效果

從仿真結(jié)果可以看出：所提出的控制方案能夠?qū)χ鲝臋C器人的位置和速度提供良好的同步跟蹤性能，證明了控制器的可行性。

4 總結(jié)

針對一類存在運動學(xué)參數(shù)和動力學(xué)模型未知特點的主從機器人系統(tǒng)，利用模糊系統(tǒng)的萬能逼近特性預(yù)估機器人動力學(xué)，不需要知道未建模動態(tài)以及外部擾動的邊界。針對執(zhí)行器的輸入約束，采用了Nussbaum增益矩陣實現(xiàn)對輸入約束的補償。而對于主從機械手存在的一種相互作用力(比如主機械手和操作者之間的摩擦力)，提出自適應(yīng)模糊補償這種力，使得從機械手能比較穩(wěn)定而準(zhǔn)確地跟蹤主機械手的運動路線。