王萬林,黃振坤,趙玲

(集美大學(xué)理學(xué)院,福建 廈門 361021)

1.引言

混沌系統(tǒng)是一類非常重要的系統(tǒng),近年來時滯反饋控制[1]、滑模控制[2-3]、脈沖控制[4]等多種控制方法應(yīng)用于混沌系統(tǒng)的同步控制,特別是脈沖控制在耦合混沌系統(tǒng)中應(yīng)用引起了人們的廣泛關(guān)注[5-8],并在通信保密應(yīng)用中取得了豐富的成果[9-12].

對于脈沖控制在耦合混沌系統(tǒng)同步問題上的研究,大部分工作都是通過線性輸出反饋脈沖來進(jìn)行的,比如文[13-14]對Lur’e主從系統(tǒng)采用了線性靜態(tài)測量反饋脈沖控制,得到了一系列使得Lur’e主從系統(tǒng)達(dá)到同步的穩(wěn)定性結(jié)果.然而帶有二次輸出反饋的脈沖控制作用在Lur’e混沌主從系統(tǒng)上甚至其它耦合混沌系統(tǒng)上都尚無相關(guān)結(jié)果.由于其脈沖控制器上帶有二次輸出反饋項,處理起來十分麻煩且無現(xiàn)有方法可直接套用.Amato等人在文[15-16]中利用多面體凸組合方法研究非線性二次系統(tǒng)這個工作非常具有啟發(fā)性,此方法加以運用可以解決脈沖控制器上二次輸出反饋項所帶來的困難.

基于以上觀點與啟發(fā),本文研究了帶有二次輸出反饋的脈沖控制在Lur’e混沌主從系統(tǒng)上的同步問題.利用了多面體凸組合與線性矩陣不等式(LMI)[17]并結(jié)合Lyapunov穩(wěn)定性理論,得到主從系統(tǒng)同步的兩個新準(zhǔn)則.最后針對蔡氏電路與二維Lur’e型動態(tài)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬.

2.主從Lur’e系統(tǒng)模型與預(yù)備工作

考慮以下帶有二次反饋型脈沖的主從Lur’e系統(tǒng)

引理2.1[15]若存在一正定矩陣P和c>0,ρ>1,使得下面不等式成立

那么P ?? ?Pρ,其中?為橢球體Rn:eTPe ≤c}.

由多面體P的凸性可得

引理2.2若存在一個正實數(shù)μ,使得

則對于任意的,有

3.主要定理

證考慮Lyapunov函數(shù)V(e(t))eT(t)Pe(t)和橢球體?Rn:eTPe ≤c}.根據(jù)引理2.1,由(3.1)式和(3.2)式可得

從而在(t0,t1]上,可知

由誤差系統(tǒng)(2.4)可得

從而誤差系統(tǒng)(2.4)漸近穩(wěn)定,即主系統(tǒng)M與從系統(tǒng)S達(dá)到同步.

定理3.2給定Pconv{e(1),e(2),···,e(p)}Rn:e ≤1,k1,2,···,q}.假設(shè)存在一正定矩陣Rn×n,矩陣Rn×l,HiRn×n(i1,2,···,n),α>0,c>0,ρ>1,使得下面不等式成立

證考慮Lyapunov函數(shù)V(e(t))eT(t)Pe(t)和橢球體?Rn:eTPe ≤c}.根據(jù)引理2.1,由(3.7)式和(3.8)式可得

因此當(dāng)任意初始狀態(tài)e(t0)時,誤差系統(tǒng)(2.4)漸近穩(wěn)定.由于P ??,從而當(dāng)任意初始狀態(tài)e(t0)也可使得誤差系統(tǒng)(2.4)漸近穩(wěn)定,即主系統(tǒng)M與從系統(tǒng)S達(dá)到同步.

注3.1定理3.2條件下,多面體P是該系統(tǒng)一吸引域估計.

注3.2定理3.1與定理3.2的區(qū)別在于: 1)定理3.2中的狀態(tài)矩陣A必須要求為Hurwitz矩陣,定理3.1中的A并無要求;2)定理3.1是在給定初值狀態(tài)e(t0)下,其對合適的多面體P條件更苛刻,并且初值狀態(tài)e(t0)不一定在符合條件的多面體P上;3)定理3.1與定理3.2中的?T?含義不同.綜上可知定理3.1與定理3.2是相互獨立的.

4.數(shù)值模擬

例1考慮蔡氏電路主從系統(tǒng),主系統(tǒng)M如下

圖4.1 主系統(tǒng)M狀態(tài)圖

假設(shè)脈沖步長一致,即?T?T?.圖4.2為主從系統(tǒng)的狀態(tài)分量圖,圖4.3為相應(yīng)的誤差系統(tǒng)狀態(tài)分量圖,很明顯可看出主系統(tǒng)M與從系統(tǒng)S產(chǎn)生同步現(xiàn)象.

圖4.2 主從系統(tǒng)狀態(tài)分量x(t),z(t)

圖4.3 誤差系統(tǒng)狀態(tài)分量e1(t),e2(t),e3(t)

例2考慮二維Lur’e型動態(tài)網(wǎng)絡(luò)主從系統(tǒng),主系統(tǒng)M參數(shù)選取如下

選取滿足定理3.2條件(3.10)中的脈沖增益矩陣K,Hi,i1,2與?T?,如下

取一組誤差系統(tǒng)初始狀態(tài)ei(0)(i0,1,2,3),在脈沖步長一致即?T?T?下進(jìn)行數(shù)值模擬,其中

圖4.4為相應(yīng)的誤差系統(tǒng)狀態(tài)分量圖,很明顯只要誤差系統(tǒng)初始狀態(tài)在多面體P所包含的范圍內(nèi),主系統(tǒng)M與從系統(tǒng)S產(chǎn)生同步現(xiàn)象.

圖4.4 誤差系統(tǒng)狀態(tài)分量ei(t),i=0,1,2,3

5.總結(jié)

本文研究了二次輸出反饋脈沖控制下Lur’e混沌主從系統(tǒng)的同步問題.基于Lyapunov穩(wěn)定性理論,結(jié)合多面體凸組合與線性矩陣不等式(LMI)方法得到了在二次輸出反饋脈沖控制下Lur’e混沌主從系統(tǒng)同步的充分條件.最后數(shù)值模擬證實了結(jié)果的可行性與有效性.