李?lèi)?ài)琳，李 璟*

（1.中國(guó)科學(xué)院 微電子研究所，北京 100029；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049）

1 引言

集成電路（Integrated Circuit，IC）制造在先進(jìn)制程芯片的生產(chǎn)中占有非常重要的地位［1］。近年來(lái)，由于工藝制程的縮短，對(duì)IC 制造裝備產(chǎn)率和精度的要求不斷提高。作為IC 制造裝備的重要子系統(tǒng)，工作臺(tái)通常采用直線電機(jī)-氣浮/磁浮式導(dǎo)軌驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)和激光干涉-鏡面反射測(cè)量系統(tǒng)來(lái)實(shí)現(xiàn)高速、高加速運(yùn)動(dòng)和納米級(jí)運(yùn)動(dòng)定位精度［2-3］。但氣浮/磁浮導(dǎo)軌使工作臺(tái)在運(yùn)動(dòng)摩擦力近似為零的同時(shí)也導(dǎo)致工作臺(tái)對(duì)振動(dòng)敏感，這有悖其快速準(zhǔn)確定位的要求［4］。針對(duì)這一問(wèn)題，人們從改進(jìn)控制器［5-8］、優(yōu)化參考軌跡［4，7，9-12］等方面著手進(jìn)行研究。

控制器的改進(jìn)目標(biāo)是減小系統(tǒng)在工作區(qū)間的運(yùn)動(dòng)定位誤差。運(yùn)動(dòng)定位誤差有多種來(lái)源，包括多自由度耦合誤差、跟蹤誤差等。工作臺(tái)的多自由度耦合誤差一般通過(guò)力學(xué)補(bǔ)償解耦和控制系統(tǒng)補(bǔ)償兩步消除［13］：力學(xué)補(bǔ)償解耦即通過(guò)補(bǔ)償策略消除各軸之間的力學(xué)因素耦合［7，14］，如驅(qū)動(dòng)電機(jī)的出力點(diǎn)和測(cè)量系統(tǒng)的測(cè)量點(diǎn)（Point of Interest，POI）不一致帶來(lái)的耦合誤差；力學(xué)補(bǔ)償解耦后殘余的耦合誤差（由驅(qū)動(dòng)電機(jī)出力不穩(wěn)定、制造安裝等導(dǎo)致的運(yùn)動(dòng)誤差）一般可進(jìn)行矢量場(chǎng)正交分解，再通過(guò)控制系統(tǒng)實(shí)時(shí)補(bǔ)償，控制系統(tǒng)通常采用對(duì)各軸獨(dú)立設(shè)計(jì)單輸入單輸出控制器的策略［6，13］。

除多自由度耦合誤差外，由參考軌跡和外部擾動(dòng)引起的跟蹤誤差也是控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)誤差的主要來(lái)源之一。為減小跟蹤誤差，Dai等設(shè)計(jì)了一種加速度+參考軌跡三階導(dǎo)+參考軌跡四階導(dǎo)的多項(xiàng)式前饋控制器［5］，能有效減小系統(tǒng)建立時(shí)間，但僅對(duì)前饋控制器的性能進(jìn)行改進(jìn)難以滿足工作臺(tái)納米精度的定位要求。目前，工作臺(tái)的反饋控制器多采用比例-積分-微分（Proportional Integral Derivative，PID）控制［5，7，15-16］，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)在線調(diào)試3個(gè)參數(shù)，但在線調(diào)試需要耗費(fèi)大量時(shí)間試湊。差分進(jìn)化算法具有良好的全局搜索能力，能根據(jù)當(dāng)前搜索情況動(dòng)態(tài)調(diào)整搜索策略［17-18］。將差分進(jìn)化算法應(yīng)用于PID 控制器的參數(shù)整定中，可在給定范圍內(nèi)自動(dòng)尋找符合優(yōu)化目標(biāo)的控制參數(shù)。

除了改進(jìn)控制器之外，對(duì)參考軌跡進(jìn)行合理規(guī)劃也有助于提高工作臺(tái)的性能［12］。工程中常采用的參考軌跡分為梯形運(yùn)動(dòng)軌跡（二階）和S型運(yùn)動(dòng)軌跡（三階及以上）。梯形運(yùn)動(dòng)軌跡算法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單且具有良好的快速性，但運(yùn)動(dòng)過(guò)程中被控對(duì)象的加速度會(huì)發(fā)生突變［4］，對(duì)機(jī)械結(jié)構(gòu)造成沖擊，進(jìn)而激發(fā)振動(dòng)，導(dǎo)致系統(tǒng)建立時(shí)間增加，影響運(yùn)動(dòng)定位精度。為改善上述問(wèn)題，Roover 等［15］提出使用邊緣平滑的S 型軌跡來(lái)實(shí)現(xiàn)最小振動(dòng)下的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，Pizza 等提出通過(guò)約束軌跡的三階導(dǎo)來(lái)提高運(yùn)動(dòng)的平滑度［5］，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證［11］了該方法能有效降低被控對(duì)象加減速造成的沖擊以及設(shè)備的機(jī)械磨損。雖然Roover 和Pizza 提出的軌跡規(guī)劃算法提高了系統(tǒng)定位精度，但均未考慮參考軌跡對(duì)控制器的要求。軌跡規(guī)劃所考慮的階次越高，軌跡輪廓越平滑，對(duì)系統(tǒng)機(jī)械結(jié)構(gòu)的沖擊越小，然而高階軌跡對(duì)控制器實(shí)時(shí)處理的數(shù)據(jù)量和處理速度的要求更高，控制器的設(shè)計(jì)難度隨之增加［19］。另一方面，上述軌跡規(guī)劃算法均未考慮如何確定軌跡的動(dòng)力學(xué)約束，通常是由設(shè)備情況推算軌跡動(dòng)力學(xué)約束的范圍，然后試湊出具體值。由于動(dòng)力學(xué)約束的可選范圍很廣，手動(dòng)試湊的工作量大。蒙特卡洛算法作為已經(jīng)被廣泛應(yīng)用的一種數(shù)值計(jì)算方法，是以概率統(tǒng)計(jì)理論為基礎(chǔ)，通過(guò)模擬隨機(jī)變量來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的非確定性［20］。將蒙特卡洛算法應(yīng)用于軌跡運(yùn)動(dòng)學(xué)約束的參數(shù)整定，可以提高調(diào)參效率。

本文提出了一種應(yīng)用于工作臺(tái)的軌跡規(guī)劃優(yōu)化方案。該方案以工作臺(tái)為被控對(duì)象搭建相應(yīng)的控制系統(tǒng)，在驅(qū)動(dòng)電機(jī)的出力點(diǎn)和測(cè)量系統(tǒng)測(cè)量點(diǎn)不一致等引入的耦合誤差可進(jìn)行矢量場(chǎng)正交分解的前提下，考慮在控制回路中加入補(bǔ)償策略，并通過(guò)差分進(jìn)化算法自動(dòng)整定控制器參數(shù)；其次，在進(jìn)行軌跡設(shè)計(jì)時(shí)考慮控制器的實(shí)際跟蹤效果，并根據(jù)應(yīng)用需求和設(shè)備情況確定軌跡的動(dòng)力學(xué)約束后，運(yùn)用蒙特卡洛算法迭代優(yōu)化出符合控制器性能和應(yīng)用場(chǎng)景的參考軌跡。最后，通過(guò)仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提軌跡規(guī)劃方案的有效性和合理性。

2 軌跡規(guī)劃方案

為提高工程調(diào)試的效率和運(yùn)動(dòng)定位精度，本文提出的軌跡規(guī)劃方案如圖1 所示。根據(jù)設(shè)備情況得出驅(qū)動(dòng)電機(jī)參數(shù)及布局、機(jī)械系統(tǒng)所能承受的最大沖擊等信息，結(jié)合應(yīng)用場(chǎng)景確定軌跡動(dòng)力學(xué)約束的范圍，再由應(yīng)用需求確定系統(tǒng)優(yōu)化目標(biāo)。根據(jù)系統(tǒng)優(yōu)化目標(biāo)改進(jìn)控制器，并考慮控制器的實(shí)際跟蹤效果，進(jìn)行參考軌跡的優(yōu)化。

圖1 本文提出的軌跡規(guī)劃方案Fig.1 Proposed trajectory planning scheme

2.1 應(yīng)用場(chǎng)景與研究目標(biāo)

現(xiàn)代集成電路對(duì)晶圓制造設(shè)備的量產(chǎn)要求是產(chǎn)能達(dá)到每小時(shí)280 片晶圓［6］，對(duì)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的挑戰(zhàn)就是需要同時(shí)滿足高時(shí)效性和納米級(jí)重復(fù)定位精度。根據(jù)現(xiàn)有驗(yàn)證平臺(tái)的工程實(shí)際需求，本研究預(yù)期運(yùn)動(dòng)定位系統(tǒng)在力學(xué)補(bǔ)償解耦的情況下，按照0.4 s 內(nèi)完成一次一維參考軌跡跟蹤的要求，并保證重復(fù)性定位精度達(dá)到約±5 nm/3σ。

2.2 系統(tǒng)優(yōu)化目標(biāo)

工作臺(tái)的單個(gè)運(yùn)動(dòng)周期可以用S 型軌跡描述，理想S 型運(yùn)動(dòng)軌跡通?？蓜澐譃榧铀?、勻速、減速區(qū)間三部分［12］。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，工作臺(tái)高加減速結(jié)束時(shí)刻存在的殘余能量會(huì)激發(fā)機(jī)械結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，所以將勻速區(qū)間繼續(xù)劃分為穩(wěn)定區(qū)間（殘余振動(dòng)區(qū)間）和工作區(qū)間（掃描區(qū)間），如圖2 所示。在穩(wěn)定區(qū)間內(nèi)控制器需要將跟蹤誤差收斂到可接受范圍ε內(nèi)（一般要求ε在納米甚至亞納米量級(jí)），才能使工作區(qū)間內(nèi)設(shè)備精細(xì)加工操作的精度滿足系統(tǒng)要求。

圖2 工作臺(tái)的單個(gè)運(yùn)動(dòng)周期Fig.2 Individual motion cycle of stage

工作臺(tái)在理想工作區(qū)間內(nèi)的跟蹤誤差的均值（Moving Average，MA）和標(biāo)準(zhǔn)差（Moving Standard Average，MSD）能反映工作臺(tái)的運(yùn)動(dòng)定位精度［7］。本文將MA 和MSD 兩個(gè)指標(biāo)作為系統(tǒng)優(yōu)化目標(biāo)，并采用ISO230-2 標(biāo)準(zhǔn)評(píng)價(jià)工作臺(tái)的重復(fù)定位精度。

3 控制系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型

3.1 六自由度控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

工作臺(tái)控制系統(tǒng)的簡(jiǎn)化模型如圖3（a）所示，r表示參考軌跡(r，r＇，…，r(n))中的位置指令，控制系統(tǒng)（包括前饋控制器FF 和反饋控制器GC）根據(jù)測(cè)量系統(tǒng)解算出的位置out 和位置指令r之差計(jì)算控制信號(hào)uPOI。根據(jù)第1 節(jié)描述，驅(qū)動(dòng)電機(jī)出力點(diǎn)和測(cè)量系統(tǒng)測(cè)量點(diǎn)不一致造成的力學(xué)因素耦合誤差在納米精度的定位系統(tǒng)中不可忽略，控制信號(hào)uPOI需要經(jīng)過(guò)補(bǔ)償矩陣G，質(zhì)心受力-控制信號(hào)轉(zhuǎn)換矩陣Q，以及位置變換矩陣R后才能轉(zhuǎn)換為POI 受力fPOI?？刂菩盘?hào)uPOI與fPOI之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

圖3 工作臺(tái)控制系統(tǒng)的簡(jiǎn)化模型Fig.3 Simplified model of stage＇s control system

補(bǔ)償策略的目的是能夠把根據(jù)POI 位置計(jì)算得到的控制信號(hào)完全轉(zhuǎn)化為POI 受力，即R·G=I。

從控制器的角度而言，被控對(duì)象的傳遞函數(shù)為：

其中：Ga=Diag {Gax，Gay，Gaz，Gaθx，GaθY，Gaθz}指工作臺(tái)在POI 處的六自由度模型，如圖3所示［5-7］。

以地面某固定點(diǎn)O為原點(diǎn)定義六自由度的參考坐標(biāo)系(x，y，z，θx，θy，θz)。圖3 給出了測(cè)量系統(tǒng)測(cè)量點(diǎn)POI 和驅(qū)動(dòng)電機(jī)出力點(diǎn)Oc的相對(duì)位置。在集成電路制造的工藝過(guò)程中，POI 位于工作臺(tái)上表面且隨參考軌跡變化，而驅(qū)動(dòng)電機(jī)的出力點(diǎn)為工作臺(tái)質(zhì)心Oc。根據(jù)POI 位置與參考位置之差計(jì)算出的控制信號(hào)uPOI經(jīng)過(guò)補(bǔ)償矩陣G轉(zhuǎn)換為控制信號(hào)uc。uc經(jīng)過(guò)出力分配后轉(zhuǎn)換成每個(gè)電機(jī)驅(qū)動(dòng)器接收到的電壓指令，驅(qū)動(dòng)器內(nèi)部的電流環(huán)在接收到電壓指令之后輸出對(duì)應(yīng)大小的電流驅(qū)動(dòng)工作臺(tái)運(yùn)動(dòng)。工作臺(tái)屬于過(guò)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，對(duì)同一自由度上的驅(qū)動(dòng)電機(jī)出力進(jìn)行合并后得到Oc處受力fc（fc=fx1+fx2），上述過(guò)程用質(zhì)心受力-控制信號(hào)轉(zhuǎn)換矩陣Q表示，Q為6×6 的常值對(duì)角矩陣，由電機(jī)的布局方式、出力分配策略和電機(jī)參數(shù)（電壓-電流轉(zhuǎn)換系數(shù)、推力常數(shù)）決定。Oc處受力(fc)還需經(jīng)過(guò)位置變換矩陣R得到POI 受力(fPOI)，R代表Oc與POI 的相對(duì)位置關(guān)系，由參考軌跡決定。

記POI 在參考坐標(biāo)系下的測(cè)量位置為(xm，ym，zm，θxm，θym，θzm)，POI 和Oc均位于工作臺(tái)上，根據(jù)剛體變換可以導(dǎo)出控制信號(hào)uPOI到uc的轉(zhuǎn)換關(guān)系［7］：

其中：m表示工作臺(tái)的質(zhì)量，h表示Oc和POI 沿z方向的距離，Jx，Jy，Jz分別表示θx，θy，θz方向的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，通常根據(jù)名義值或系統(tǒng)辨識(shí)獲得。

在本文的應(yīng)用場(chǎng)景下，運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)在x方向和y方向需要跟蹤參考軌跡進(jìn)行一維掃描，掃描過(guò)程中z方向會(huì)有微小位移，θx，θy，θz方向一直處于定位控制狀態(tài)，所以做以下近似：θz≈0，θ＇z≈0（其余兩個(gè)自由度同理），結(jié)合式（3）導(dǎo)出六自由度補(bǔ)償矩陣G：

其中：I表示單位矩陣，G的第1～6 行行向量分別對(duì)應(yīng)6 個(gè)自由度方向(xm，ym，zm，θxm，θym，θzm)的力學(xué)耦合補(bǔ)償分量。

根據(jù)第1 節(jié)描述，當(dāng)G的設(shè)置使得各自由度之間的力學(xué)耦合誤差可以忽略，控制器的設(shè)計(jì)及補(bǔ)償就能針對(duì)各軸分別開(kāi)展［6，13］。

3.2 單自由度控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

以x方向?yàn)槔龑?duì)單自由度上的被控對(duì)象進(jìn)行建模。由于實(shí)際系統(tǒng)中不同元件之間的連接并非理想的剛性連接，被控對(duì)象采用non-collocated 形式的雙質(zhì)量塊柔性體模型［5，8，16］，如圖3所示。圖中，fPOI表示POI 處受到的電機(jī)驅(qū)動(dòng)力；m1表示x方向的驅(qū)動(dòng)電機(jī)動(dòng)子的質(zhì)量；m2表示用于精密定位的鏡面系統(tǒng)的質(zhì)量；out 表示由激光干涉儀測(cè)量解算得到的系統(tǒng)在x方向的位置；k和c分別表示m1和m2在x方向的等效連接剛度和等效連接阻尼，二者可以與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)阻尼比ζ、結(jié)構(gòu)的諧振頻率ω相互轉(zhuǎn)換。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

對(duì)超精密系統(tǒng)的位置控制器而言，由機(jī)電設(shè)備引起的延時(shí)不可忽略?？紤]到電機(jī)驅(qū)動(dòng)延時(shí)、信號(hào)傳輸延時(shí)等因素，模型中引入延時(shí)τ，得到控制器角度下被控對(duì)象在x方向的數(shù)學(xué)模型：

其中：Qf-u為常數(shù)，表示x方向Oc受力與控制信號(hào)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

理想單自由度掃描運(yùn)動(dòng)的補(bǔ)償分量為式（4）中補(bǔ)償矩陣G對(duì)應(yīng)的行向量，單自由度參考軌跡r的數(shù)學(xué)模型會(huì)在后文進(jìn)行推導(dǎo)。

根據(jù)圖3，若忽略擾動(dòng)的影響，控制系統(tǒng)的跟蹤誤差為：

控制目標(biāo)為error →0，所以前饋控制器應(yīng)當(dāng)盡量逼近被控對(duì)象的逆模型：

本文中前饋控制器也采用多項(xiàng)式前饋的形式uff(t)=β1r(2)(t)+…+βn-1r(n)(t)［5，7-8］，且uff(s)=FF(s)·r(s)。由于四階參考軌跡有r(5)≡0，取式（6）右側(cè)前4 項(xiàng)（k=3）代入式（8）得到前饋控制器的相關(guān)參數(shù)：

反饋控制器采用PID 控制［6-7］：

3.3 參考軌跡的數(shù)學(xué)模型

在實(shí)驗(yàn)場(chǎng)景下，運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)在x方向和y方向上的跟蹤參考軌跡要進(jìn)行一維掃描，同時(shí)要保證掃描的穩(wěn)定性和可靠性，即工作臺(tái)的穩(wěn)定性和重復(fù)性精度要高。在掃描過(guò)程中工作臺(tái)需要跟蹤預(yù)設(shè)參考軌跡完成點(diǎn)對(duì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，具有動(dòng)力學(xué)約束的n階點(diǎn)對(duì)點(diǎn)參考軌跡位置指令r是由位置函數(shù)r(t)按周期Ts采樣得到的，r(t)的一般形式為：

其中：αn由軌跡的動(dòng)力學(xué)約束range 確定，r(n)表示參考軌跡的n階導(dǎo)，δn表示常數(shù)，n階軌跡r(n+1)≡0。

根據(jù)綜合控制器的實(shí)時(shí)處理能力和跟蹤精度，本文采用圖4 所示的四階參考軌跡（n=4），它由td，tj，ta，tv唯一確定，分別對(duì)應(yīng)工作臺(tái)處于最大加加加速度dmax、最大加加速度jmax、最大加速度amax和最大速度vmax的時(shí)間段。

圖4 典型的四階運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.4 Typical fourth-order motion trajectory

綜上，系統(tǒng)模型的相關(guān)參數(shù)組為：

其中：m1表示工作臺(tái)沿x方向驅(qū)動(dòng)電機(jī)動(dòng)子的質(zhì)量；m2表示工作臺(tái)鏡面系統(tǒng)的質(zhì)量；τ表示系統(tǒng)延時(shí)；Ts表示系統(tǒng)采樣周期；ω和ζ表示工作臺(tái)的諧振頻率和結(jié)構(gòu)阻尼比；Jx，Jy，Jz表示工作臺(tái)在θx，θy，θz方向的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，以上參數(shù)在實(shí)際調(diào)試過(guò)程中一般均可通過(guò)名義值或系統(tǒng)辨識(shí)獲得。

控制器的相關(guān)參數(shù)組為：

其中：β1，β2，β3表示前饋控制器參數(shù)，可通過(guò)式（9）計(jì)算得出；kP，kI，kD表示反饋控制器參數(shù)，后續(xù)將給出反饋控制參數(shù)的獲取方法。

4 軌跡規(guī)劃方案的實(shí)施步驟

4.1 系統(tǒng)優(yōu)化目標(biāo)

在工作臺(tái)跟蹤參考軌跡進(jìn)行一維掃描的過(guò)程中，圖1 所述的系統(tǒng)優(yōu)化問(wèn)題可描述為：

其中：smax一般由掃描對(duì)象的長(zhǎng)度確定；運(yùn)動(dòng)速度和加速度過(guò)大易引發(fā)系統(tǒng)的殘余振動(dòng)，一般在設(shè)備的說(shuō)明手冊(cè)中會(huì)給出vmax和amax的參考值；jmax和dmax由工作臺(tái)機(jī)械系統(tǒng)所能承受的最大沖擊決定，工程設(shè)定的經(jīng)驗(yàn)值范圍：20amax≤jmax≤50amax，20jmax≤dmax≤50jmax；為了減小環(huán)境變化（溫度、濕度和潔凈度）對(duì)精度的影響，要求單個(gè)運(yùn)動(dòng)周期不超過(guò)0.4 s。

根據(jù)系統(tǒng)優(yōu)化目標(biāo)對(duì)控制器和參考軌跡進(jìn)行優(yōu)化。反饋控制器的第一個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)是最小化系統(tǒng)的跟蹤誤差；第二個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)是最小化系統(tǒng)在高加減速結(jié)束后的殘余振動(dòng)，由于殘余振動(dòng)與運(yùn)動(dòng)軌跡的三階導(dǎo)有關(guān)，這反映到控制上就是對(duì)控制信號(hào)的微分進(jìn)行約束。所以PID 控制器的參數(shù)選擇屬于多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，即有：

其中tend表示單個(gè)運(yùn)動(dòng)周期。

軌跡規(guī)劃的第一個(gè)目標(biāo)是減小控制器的跟蹤誤差；第二個(gè)目標(biāo)是提高軌跡勻速區(qū)間的長(zhǎng)度，使控制器有足夠的時(shí)間調(diào)整系統(tǒng)加減速造成的沖擊。

4.2 反饋控制器優(yōu)化

使用改進(jìn)的差分進(jìn)化算法［18］對(duì)式（15）進(jìn)行參數(shù)整定，整定步驟如圖5 所示。

圖5 使用改進(jìn)的差分進(jìn)化算法整定反饋控制器參數(shù)［18］Fig.5 Tuning feedback controller settings using improved differential evolutionary algorithm［18］

4.3 軌跡規(guī)劃流程

軌跡規(guī)劃希望所得軌跡的總運(yùn)動(dòng)時(shí)間短，工作區(qū)間占總運(yùn)動(dòng)時(shí)間的比例高。本文采用的軌跡規(guī)劃算法流程如圖6 所示，具體步驟如下：

圖6 軌跡規(guī)劃算法流程［4，12］Fig.6 Flow chart trajectory planning algorithm［4，12］

第1 步：根據(jù)圖4，由軌跡的單個(gè)動(dòng)力學(xué)約束分別確定td1，td2，td3，td4［4］，系統(tǒng)需要滿足軌跡的所有動(dòng)力學(xué)約束，td=min{td1，td2，td3，td4}。由于算法的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)均為離散化處理，為了確保所得軌跡滿足給定的動(dòng)力學(xué)約束，需要將td向上圓整為采樣周期Ts的整數(shù)倍tdr；

第2 步：將tdr和軌跡動(dòng)力學(xué)約束一起作為已知參數(shù)，代入求得tjr；

第3 步：按照上述方式依次求得tar，tvr；

第4 步：根據(jù)圖4，在得到tdr，tjr，tar，tvr四段時(shí)間之后就能得到r(4)(t)，按照不同的時(shí)間段對(duì)r(4)(t)依次向上進(jìn)行數(shù)值積分，可以得到r(t)；

第5 步：將r(t)按周期Ts采樣，得到參考軌跡r。

圖6 算法流程的前提條件是軌跡的動(dòng)力學(xué)約束參數(shù)值已給定，所以還需要在式（14）給出的約束空間中進(jìn)行參數(shù)整定。由于動(dòng)力學(xué)約束參數(shù)和軌跡之間的映射關(guān)系非線性，且每個(gè)約束參數(shù)的可選范圍大，對(duì)軌跡性能的影響程度難以用單一方程進(jìn)行描述，導(dǎo)致手動(dòng)試湊約束參數(shù)組的工作量大。本文使用蒙特卡洛算法整定軌跡的動(dòng)力學(xué)約束參數(shù)。整定的基本步驟為：

第1 步：參數(shù)初始化，初始邊界由式（14）確定，初始約束參數(shù)組的數(shù)量為N，個(gè)體選取比例為ρ；

第2步：在邊界內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生N組能生成可行軌跡的約束參數(shù)組rangei={smax，vmax，amax，jmax，dmax}i(i=1，2，…，N)，根據(jù)圖6 得到相應(yīng)的軌跡ri；

第3 步：采用圖3 所示的控制系統(tǒng)進(jìn)行軌跡跟蹤。根據(jù)控制系統(tǒng)的輸出outi，計(jì)算勻速區(qū)間的長(zhǎng)度Li以及系統(tǒng)在工作區(qū)間的MAi；

第4 步：將{L1，L2，…，LN}按從大到小的順序排列并按比例ρ(0＜ρ＜1)選取前W=ρ·N條軌跡，取這W組軌跡對(duì)應(yīng)的約束參數(shù)組的上下限作為新的邊界，同時(shí)記錄W組軌跡中MA 最小的軌跡作為本次迭代的最優(yōu)軌跡ribest；

第5 步：判斷ribest和r(i-1)best是否相同，是則迭代結(jié)束，ribest為待求軌跡；否則返回步驟2。

綜上，優(yōu)化算法的相關(guān)參數(shù)組為：

其中：NP表示差分進(jìn)化算法中的初始種群數(shù)量；Q表示差分進(jìn)化算法種群個(gè)體的初始可調(diào)范圍；F表示差分進(jìn)化算法變異的比例因子；CR表示差分進(jìn)化算法的交叉率；MC表示差分進(jìn)化算法的維護(hù)周期；J如式（15），是差分進(jìn)化算法中評(píng)價(jià)種群個(gè)體好壞的指標(biāo)；MAX_FES是差分進(jìn)化算法的結(jié)束條件，當(dāng)有MAX_FES代最優(yōu)個(gè)體的J相同時(shí)算法結(jié)束；N表示蒙特卡洛算法中的初始參數(shù)組數(shù)量；ρ表示蒙特卡洛算法中的選取比例。N和ρ的取值與優(yōu)化結(jié)果和算法運(yùn)行時(shí)間的關(guān)系如圖7 所示。

圖7 蒙特卡洛算法尋優(yōu)結(jié)果與參數(shù)的關(guān)系Fig.7 Optimization results of Monte-Carlo algorithm with respect to parameters

圖7（a）是在ρ固定(ρ=0.3)的前提下，運(yùn)行30 次算法所得優(yōu)化結(jié)果和運(yùn)行時(shí)間的均值與N的關(guān)系；圖7（b）是在N固定(N=103)的前提下，運(yùn)行30 次算法所得優(yōu)化結(jié)果和運(yùn)行時(shí)間的均值與ρ的關(guān)系?？梢钥闯?，N和ρ的值越大，算法運(yùn)行時(shí)間越長(zhǎng)，若需進(jìn)行在線軌跡規(guī)劃，選取參數(shù)時(shí)需要權(quán)衡優(yōu)化效果和運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)。本文在使用蒙特卡洛算法整定軌跡的動(dòng)力學(xué)約束參數(shù)時(shí)取N=104，ρ=0.3。

為驗(yàn)證算法的收斂性，圖8 給出了蒙特卡洛算法的尋優(yōu)結(jié)果分布。其中，方框是30 次蒙特卡洛算法優(yōu)化出的動(dòng)力學(xué)約束對(duì)應(yīng)的跟蹤效果分布；圓圈是隨機(jī)生成30 組動(dòng)力學(xué)約束對(duì)應(yīng)的跟蹤效果分布。圖中蒙特卡洛算法的30 次尋優(yōu)結(jié)果基本都收斂到相近解空間中，一定程度上驗(yàn)證了算法的收斂性。

圖8 蒙特卡洛算法的30 次尋優(yōu)結(jié)果分布Fig.8 Distribution of 30 times optimization result by Monte-Carlo algorithm

5 仿真及實(shí)驗(yàn)結(jié)果

參考實(shí)際的六自由度測(cè)試臺(tái)得到式（12）中的系統(tǒng)模型參數(shù)，再分別使用傳統(tǒng)工程調(diào)試方法和本文軌跡規(guī)劃方案（見(jiàn)圖1）計(jì)算參考軌跡和式（13）中的控制器參數(shù)，最后進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

5.1 仿真及分析

在Matlab 中進(jìn)行仿真，根據(jù)表1～表5 中的參數(shù)搭建圖3 描述的控制系統(tǒng)。

表1 系統(tǒng)模型的相關(guān)參數(shù)Tab.1 Parameters of stage＇s model

本文軌跡規(guī)劃方案所用優(yōu)化算法的相關(guān)參數(shù)組見(jiàn)式（16），仿真取值見(jiàn)表2。

表2 本文優(yōu)化算法的相關(guān)參數(shù)Tab.2 Parameters of proposed optimization method

將表1 參數(shù)代入式（9）可以計(jì)算出前饋控制器參數(shù)，再分別通過(guò)傳統(tǒng)工程調(diào)試和本文差分進(jìn)化算法（見(jiàn)圖5）得到式（13）中反饋控制器參數(shù)。

傳統(tǒng)工程調(diào)試方法整定PID 控制器參數(shù)通常為：使用Ziegler-Nichol 響應(yīng)曲線法計(jì)算PID 控制器參數(shù)的初始值，根據(jù)該初始值確定參數(shù)可調(diào)空間Q，在Q內(nèi)以最小化系統(tǒng)跟蹤誤差為目標(biāo)進(jìn)行在線調(diào)試，調(diào)試步長(zhǎng)可根據(jù)經(jīng)驗(yàn)設(shè)置，本文取ΔkP=104，ΔkI=102，ΔkD=102。

為對(duì)比兩種方案對(duì)控制參數(shù)的整定效果，將算法從相同初始空間收斂到表3 中參數(shù)所需的迭代次數(shù)，作為方案的調(diào)參效率和收斂速度的評(píng)價(jià)指標(biāo)。目標(biāo)函數(shù)J（見(jiàn)式（15））在參數(shù)整定過(guò)程中的變化如圖9 所示。

表3 控制器參數(shù)Tab.3 Parameters of controller

圖9 兩種方案的調(diào)參效率對(duì)比Fig.9 Comparison of tuning efficiency

由圖9 可以看出，使用傳統(tǒng)工程調(diào)試法進(jìn)行控制參數(shù)整定的次數(shù)和效果依賴(lài)于工程經(jīng)驗(yàn)；而差分進(jìn)化算法能使種群向逼近最優(yōu)解的方向自動(dòng)迭代，可以提高控制器的參數(shù)整定效率。兩種方案的控制參數(shù)見(jiàn)表3。

傳統(tǒng)工程調(diào)試方法所得伺服系統(tǒng)的控制帶寬為644 Hz，相位裕度為45°；使用差分進(jìn)化算法所得伺服系統(tǒng)的控制帶寬為627 Hz，相位裕度為30°。兩種控制系統(tǒng)的性能基本一致，但差分進(jìn)化算法的迭代次數(shù)減少了90%以上。

確定系統(tǒng)的控制器參數(shù)后，還需要確定參考軌跡。為對(duì)比兩種方案的動(dòng)力學(xué)約束參數(shù)整定效果，在仿真中模擬傳統(tǒng)工程調(diào)試方法和蒙特卡洛算法（見(jiàn)4.3 節(jié)）分別進(jìn)行3 次軌跡動(dòng)力學(xué)參數(shù)整定，兩種方案的初始計(jì)算域都為式（14），整定結(jié)果見(jiàn)表4 和表5。

表4 傳統(tǒng)工程調(diào)試方法整定軌跡動(dòng)力學(xué)約束Tab.4 Constraints of trajectory dynamics modified using trial-and-error method

表5 本文蒙特卡洛算法整定軌跡動(dòng)力學(xué)約束Tab.5 Constraints of trajectory dynanics modified using Monte-Carlo method

表6 實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Tab.6 Comparison of experiment results

傳統(tǒng)工程調(diào)試方法整定軌跡動(dòng)力學(xué)的約束參數(shù)通常為：根據(jù)設(shè)備情況和應(yīng)用需求推算出動(dòng)力學(xué)約束范圍后，根據(jù)整定經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)試湊確定參數(shù)的具體值。整定經(jīng)驗(yàn)是：MA 主要與dmax，jmax，amax有關(guān)，總運(yùn)動(dòng)時(shí)間主要與vmax，smax有關(guān)，一般首先確定dmax的值，然后依次確定jmax，amax，vmax，smax。

從表4 和表5 可以看出，兩種方案均能使系統(tǒng)在工作區(qū)間內(nèi)的MA 收斂到3 nm 以?xún)?nèi)。傳統(tǒng)工程調(diào)試法的整定次數(shù)和整定效果依賴(lài)于工程經(jīng)驗(yàn)；而本文提出的軌跡規(guī)劃方案通過(guò)設(shè)定優(yōu)化目標(biāo)，每一次迭代都縮小參數(shù)的可調(diào)范圍，使算法朝逼近最優(yōu)解的方向迭代。

相比傳統(tǒng)工程調(diào)試法，本文方案保證控制器在工作區(qū)間內(nèi)的MA 也收斂到3 nm 以?xún)?nèi)的同時(shí)，參數(shù)整定的次數(shù)還減小了90%以上，有效提高了工程調(diào)試的效率。

5.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

實(shí)際測(cè)試中，控制系統(tǒng)的簡(jiǎn)化模型和驅(qū)動(dòng)電機(jī)的分布情況如圖3 所示。對(duì)測(cè)試臺(tái)在x方向的掃描運(yùn)動(dòng)進(jìn)行軌跡規(guī)劃，圖10 給出了被控對(duì)象的系統(tǒng)辨識(shí)結(jié)果，其低頻段-40 dB/dec 的幅頻響應(yīng)特性和445 Hz 左右的一階諧振頻率進(jìn)一步驗(yàn)證了被控對(duì)象使用雙質(zhì)量塊柔性體模型的合理性。測(cè)試平臺(tái)的驅(qū)動(dòng)電機(jī)采用音圈電機(jī)，其質(zhì)心受力-控制信號(hào)轉(zhuǎn)換系數(shù)Qf-u=169 N/V。

圖10 測(cè)試臺(tái)x 方向辨識(shí)結(jié)果Fig.10 Identification results in x direction of stage

用2.2 描述的系統(tǒng)優(yōu)化目標(biāo)評(píng)價(jià)由表4 和表5 中參數(shù)確定的軌跡，實(shí)驗(yàn)時(shí)分別取其中的最佳軌跡（表4 第1 次，表5 第3 次）作為系統(tǒng)的參考輸入r，在100～400 μm 的一維行程進(jìn)行重復(fù)掃描。采用前饋+反饋控制器進(jìn)行軌跡跟蹤，使用分辨率為0.15 nm 的激光干涉儀進(jìn)行位置測(cè)量并計(jì)算工作臺(tái)的運(yùn)動(dòng)定位精度。

圖11 表明，同一控制器對(duì)本文軌跡規(guī)劃方案得到的參考軌跡在工作區(qū)間內(nèi)的最大跟蹤誤差為5 nm；而對(duì)傳統(tǒng)工程調(diào)試得到的參考軌跡在工作區(qū)間內(nèi)的最大跟蹤誤差為13.5 nm。

圖11 實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.11 Comparison of experiment results

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在控制器相同的情況下，兩種方案得到的參考軌跡均能保證測(cè)試臺(tái)的重復(fù)定位精度達(dá)到±5 nm 以?xún)?nèi)（ISO230-2標(biāo)準(zhǔn)下，傳統(tǒng)工程調(diào)試法為 ±4.64 nm/3σ，本文方案為±3.76 nm/3σ）。本研究的簡(jiǎn)化模型目前考慮了由驅(qū)動(dòng)電機(jī)的出力點(diǎn)和測(cè)量點(diǎn)不一致帶來(lái)的耦合誤差，實(shí)際應(yīng)用中的運(yùn)動(dòng)定位誤差會(huì)更加復(fù)雜。表4～表5 中的仿真結(jié)果基本印證了本文提出的軌跡規(guī)劃方案在優(yōu)化過(guò)程中可使跟蹤誤差快速收斂。

6 結(jié)論

本文針對(duì)多自由度工作臺(tái)在加工過(guò)程中對(duì)參考軌跡的跟蹤問(wèn)題，提出了一種可提高工程應(yīng)用中調(diào)試效率和運(yùn)動(dòng)定位精度的軌跡規(guī)劃方案。該方案考慮了力學(xué)因素解耦在單軸分量控制回路中的補(bǔ)償計(jì)算，使用差分進(jìn)化算法自動(dòng)整定反饋控制器參數(shù)，并考慮到應(yīng)用場(chǎng)景需求和控制器的實(shí)際跟蹤能力，運(yùn)用蒙特卡洛算法迭代優(yōu)化參考軌跡。該方案的重復(fù)定位精度達(dá)到±3.76 nm/3σ，該方案相比傳統(tǒng)工程調(diào)試，在工作臺(tái)重復(fù)定位精度均能達(dá)到±5 nm/3σ以?xún)?nèi)的前提下，控制器的跟蹤誤差能快速收斂，將參數(shù)整定過(guò)程的迭代次數(shù)減少約90%。

本文所述的軌跡規(guī)劃方案的相關(guān)參數(shù)均可通過(guò)自動(dòng)整定得到，能大幅減少調(diào)參過(guò)程的工作量，運(yùn)用仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了大幅提升控制器精確調(diào)參效率的可行性。在此基礎(chǔ)上，可進(jìn)一步研究不同應(yīng)用場(chǎng)景下多自由度運(yùn)動(dòng)的控制方案以及參考軌跡的實(shí)時(shí)在線規(guī)劃，探索動(dòng)態(tài)補(bǔ)償策略。