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        借助生活素材生成數(shù)學(xué)概念

        2023-09-30 15:22:47李煥
        關(guān)鍵詞:蓄水量概念變量

        李煥

        在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中,學(xué)生在認(rèn)識上有兩次質(zhì)的飛躍。第一次飛躍是代數(shù)式的學(xué)習(xí),由具體的數(shù)到具有普遍意義的式;第二次飛躍是函數(shù)的學(xué)習(xí),由靜止不變的數(shù)到運動變化的數(shù)。函數(shù)這節(jié)課的教學(xué)就是要帶領(lǐng)學(xué)生感受生活中的變化,體會變量與變量間對應(yīng)的關(guān)系,經(jīng)歷由生活情境歸納函數(shù)概念的過程,體會由特殊到一般、由具體到抽象的思維過程。

        對于函數(shù)概念,筆者認(rèn)為可以從以下5個方面進(jìn)行教學(xué)。

        一、背景意義高位引領(lǐng)

        很多教師在展示了常量與變量后就開始引入具體例子,讓學(xué)生感受變量間的關(guān)系,這種做法顯得操之過急。從學(xué)生的角度來看,他們一定會產(chǎn)生一個疑問:“為什么要學(xué)習(xí)函數(shù)?”如果不給學(xué)生解釋清楚這個問題,那么本節(jié)課不可避免地會成為灌輸式教學(xué)。數(shù)學(xué)是一門講道理的學(xué)科,凡事要問個為什么。教師如果只交代“數(shù)學(xué)來源于生活,生活中有變量,所以我們要學(xué)習(xí)函數(shù),研究變量間的關(guān)系”,這便屬于無效教學(xué),沒有交代清楚學(xué)習(xí)函數(shù)的背景和意義。

        對此,筆者從以下幾個角度來引導(dǎo)學(xué)生。例如,“我們生活在一個變化的世界,潮起潮落、云卷云舒、滄海桑田,變化在我們身邊無處不在,這個世界中唯一不變的就是變化。我學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),我想要從數(shù)學(xué)的角度去研究身邊的這些變化?!薄叭绻夷芰私庾兓澈蟮囊?guī)律,那么我就能預(yù)測未來發(fā)展的趨勢,也就是說我具有了未卜先知的能力。古人用二十四節(jié)氣來預(yù)測一年中氣候的變化;現(xiàn)在天氣預(yù)報可以預(yù)測未來幾天天氣的情況;導(dǎo)航利用大數(shù)據(jù)建模預(yù)測城市交通的擁堵情況……這些未卜先知是多么神奇而又美妙?!薄耙粋€變化過程中往往有多個變量,而這些變量之間又有著錯綜復(fù)雜的關(guān)系。我們剛開始學(xué)習(xí),可以從簡單的入手,先研究兩個變量之間的關(guān)系?!边@些角度分別說明了學(xué)習(xí)函數(shù)的背景、意義以及學(xué)習(xí)策略,在交代了以上內(nèi)容以后,再進(jìn)入函數(shù)概念的生成過程,學(xué)生便會帶著強烈的好奇心主動投入學(xué)習(xí)。

        二、三個素材全面覆蓋

        為了能自然地生成函數(shù)的概念,教師可以給學(xué)生展示3個比較特別的生活中的素材,如下頁圖1—圖3。

        圖1為某水庫水位的高低與相應(yīng)蓄水量關(guān)系的表格。由表格可以看出,隨著水位的升高,蓄水量增大;隨著水位的降低,蓄水量減少;當(dāng)水位確定時,蓄水量也隨之確定。圖2中,用火柴棒搭建小魚,小魚的條數(shù)n與火柴棒的根數(shù)S之間的關(guān)系可以很清楚地表示出來,隨著n的增大,可以得到表達(dá)式S=6n+2。圖3為常州市某天24小時內(nèi)氣溫變化的圖像。這3個素材分別對應(yīng)函數(shù)的三種表示方式:表格、表達(dá)式、圖像。雖然這不是本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容,但是教師在選擇教學(xué)素材時要考慮全面,讓學(xué)生首次接觸函數(shù)時就能對函數(shù)的表示方式有全面的印象,也為下節(jié)課學(xué)習(xí)函數(shù)的表示方法做好知識鋪墊。

        三、三個層次深度理解

        對于以上3個素材,每一個教師都要帶領(lǐng)學(xué)生從3個層次進(jìn)行深度理解。以圖1為例,第一個層次,“變化”。隨著水位升高,蓄水量增大;隨著水位降低,蓄水量減少。第二個層次,“確定”。當(dāng)水位確定時,蓄水量也隨著確定。第三個層次,“對應(yīng)”。當(dāng)水位取定一個值時,蓄水量也有一個值和它對應(yīng)。以上3個層次,由具體到抽象,對函數(shù)概念的闡釋不斷加深。要理解函數(shù)概念,就要理解對應(yīng)關(guān)系,但是學(xué)生如果不能理解變量之間變化與確定的關(guān)系,也很難理解對應(yīng)關(guān)系。如圖1,教材中,其實編寫者早已將變化與確定寫在了表格下方,這就需要教師認(rèn)真研讀教材,理解編寫者的真實意圖。

        四、生成概念,再識素材

        經(jīng)歷了3個素材、3個層次的深入理解,學(xué)生對變量間的關(guān)系已經(jīng)有了一定認(rèn)識。函數(shù)概念在學(xué)生頭腦中生長,此時,教師要做的就是引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言將自己的認(rèn)識表述出來。從表面上來看,這3個素材沒什么聯(lián)系,但是如果我們從變化、確定、對應(yīng)的角度來看,這3個素材竟然是如此驚人的相似。教師可以請學(xué)生從變化、確定、對應(yīng)的角度歸納這3個素材的共同屬性。由于函數(shù)概念對學(xué)生來說是非常抽象的,所以,學(xué)生歸納概念時,如果語言表述不到位,教師可以進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo),學(xué)生只需要講出變量間存在對應(yīng)關(guān)系即可。

        在得出函數(shù)概念后,教師再帶領(lǐng)學(xué)生從函數(shù)的角度認(rèn)識以上3個素材:對于水位高度的每一個值,蓄水量都有唯一的值與它對應(yīng);對于小魚的每一個值,火柴棒的數(shù)量都有唯一的值與它對應(yīng);對于時間的每一個值,溫度都有唯一的值與它對應(yīng)。至此,學(xué)生對于兩個變量之間關(guān)系的認(rèn)識經(jīng)歷了4個層次,分別是變化、確定、對應(yīng)、函數(shù)。相信經(jīng)歷以上學(xué)習(xí)過程,學(xué)生對函數(shù)概念能有一個較為深入的理解。

        五、滲透歷史文化熏陶

        恩格斯說:“有了變數(shù),運動進(jìn)入了數(shù)學(xué);有了變數(shù),辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué);有了變數(shù),微分和積分也就立刻成為必要的了?!蓖旭R斯稱函數(shù)概念為近代數(shù)學(xué)思想之花,可見函數(shù)對近代數(shù)學(xué)發(fā)展的影響之大。那么,在函數(shù)概念的教學(xué)中,如果不給學(xué)生講講函數(shù)的發(fā)展歷史,對學(xué)生來說也是一種遺憾。對于函數(shù)的發(fā)展史,教師可以從兩條線來講,其一是歐洲的多位知名數(shù)學(xué)家對函數(shù)發(fā)展做出的貢獻(xiàn)。如萊布尼茲首次使用“function”,伯努利、歐拉、柯西等都給函數(shù)下過定義,奧斯瓦爾德維布倫用“集合”和“對應(yīng)”的概念給出了近代函數(shù)的定義等。其二是中國的數(shù)學(xué)家李善蘭和英國人偉烈亞力一起翻譯了《代數(shù)學(xué)》,將函數(shù)引入了中國,推動了中國乃至整個東亞近代數(shù)學(xué),尤其是微積分的發(fā)展。

        總而言之,一堂好的概念課教學(xué),一定要解決好怎樣逐步生成概念這個問題。教師要選擇好的生活素材,調(diào)動和引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷獨立思考、歸納總結(jié)的過程,從而自然地生成概念。

        (作者單位:江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)淹城初級中學(xué))

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