吳盛彬

摘 要：本文以壓電陶瓷驅(qū)動微定位平臺為研究對象，針對壓電陶瓷這種智能材料驅(qū)動器中固有的遲滯非線性，構(gòu)建改進(jìn)型Prandtl-Ishlinskii（MPI）遲滯模型，提出一種含偽逆補(bǔ)償器的自適應(yīng)控制方法，避免了直接求解復(fù)雜的遲滯逆模型，通過對設(shè)計(jì)的臨時(shí)控制信號應(yīng)用搜索算法，建立一種近似控制信號的在線搜索機(jī)制。最后，通過MATLAB/Simulink對比仿真分析表明了該控制方法的有效性。

關(guān)鍵詞：壓電陶瓷；微定位；自適應(yīng)；偽逆

1 前言

壓電陶瓷驅(qū)動的微定位平臺具有低耗能、驅(qū)動力大、定位精度高、響應(yīng)速度快等優(yōu)點(diǎn)，目前被廣泛應(yīng)用于高精度微納米級加工制造領(lǐng)域[1]。但這種智能材料驅(qū)動器存在固有的遲滯非線性，而遲滯具有不可微分、多值映射、非平滑及記憶性的特點(diǎn)，嚴(yán)重限制了其應(yīng)用[2]。

如何獲得最佳的定位精度，最小化智能材料中存在的遲滯現(xiàn)象是一巨大挑戰(zhàn)。前饋逆補(bǔ)償方法原理簡單易懂，對遲滯的處理非常有效[3]，但只有在逆模型存在且所構(gòu)建的逆模型十分精確才能表現(xiàn)出良好的性能。此外，所構(gòu)建的估計(jì)模型和實(shí)際遲滯之間總是存在建模誤差。因此，遲滯逆補(bǔ)償模型將產(chǎn)生補(bǔ)償誤差且會增大控制系統(tǒng)的跟蹤誤差，設(shè)計(jì)一種偽逆補(bǔ)償?shù)目刂品椒ㄊ侵悄懿牧向?qū)動微定位平臺控制的難點(diǎn)。

2 壓電陶瓷驅(qū)動微定位平臺遲滯非線性建模

2.1系統(tǒng)動力學(xué)模型

壓電陶瓷驅(qū)動微定位系統(tǒng)可簡化為質(zhì)量－彈簧－阻尼系統(tǒng)與驅(qū)動器（PEA）。結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。

微定位系統(tǒng)的動力學(xué)模型表示為：

（1）

其中，m、c、k分別表示質(zhì)量、阻尼系數(shù)、彈簧剛度，y（t）為驅(qū)動器位移。ω（t）是系統(tǒng)輸入及遲滯輸出，可定義為：

（2）

表示滯后算子，u為要設(shè)計(jì)的控制輸入。在本文中，改進(jìn)Prandtl-Ishlinskii （MPI）模型將用于描述遲滯現(xiàn)象。對于（1），令x1=y，x2=x＆1，那么系統(tǒng)（1）可轉(zhuǎn)換為：

（3）

其中，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?   ? ?表示系統(tǒng)未知?jiǎng)討B(tài)，? ? ? ? ? ? ? ? 。

2.2 MPI模型

對于輸入u，定義函數(shù)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 如下：

（u，w）=max（γp（u）-r，min（γd（u）+r，w））? ? ?（4）

其中，γp、γd：? ? ? ? ? ? ? 為嚴(yán)格遞增的連續(xù)包絡(luò)函數(shù)，r為閾值，w可為任意值。則MPI模型為：

（5）

其中，? ? [u]（t）定義為：

[u]（0） =? ? ?（u（0），0） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （6）

[u]（t）=? ? ?（u（t），? ? [u]（tτ））

for tτ﹤t﹤tτ+1 and 0≤τ≤N-1

由于積分形式在實(shí)際應(yīng)用中不易實(shí)現(xiàn)，可被轉(zhuǎn)化為疊加形式：

圖2為式（9）中的MPI遲滯模型。

其中：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，γd=3tanh（0.2u）+0.01，γp=3tanh（0.2u），ri=0.2i，L=10，以及 u=2sin（2πt）+3cos（6t），t∈[0，30]。

3 控制器設(shè)計(jì)

未知?jiǎng)討B(tài)? ? ? ? ? 為有界的連續(xù)函數(shù)，因此，可利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行估計(jì)。

其中，W=[W1，W2，…，Wm]T∈? ? ? ?為理想權(quán)重向量，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基向量，δ為有界的近似誤差。將（9）代入系統(tǒng)（3），得：

其中pg=[pg1，pg2，…，pgL]T∈? ? ? ，pgj=gpj，j=1，2，…，L。

3.1臨時(shí)控制器設(shè)計(jì)

遲滯臨時(shí)控制器意味著（11）中的項(xiàng)? ? ? ? ? ? ? ? ? ?將被視為臨時(shí)控制輸入信號。為便于控制設(shè)計(jì)，將參考軌跡定義為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，跟蹤誤差為：

其中Λ為正常數(shù)，對s求導(dǎo)，得：

由此，可設(shè)計(jì)臨時(shí)控制器為：

其中K1＞0是反饋增益。

自適應(yīng)率設(shè)計(jì)為：

和? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

Γρ＞0，Γw＞0為學(xué)習(xí)增益，σρ＞0，σw＞0為修正系數(shù)。

3.2偽逆補(bǔ)償器設(shè)計(jì)

在本文中，將通過偽逆的方法來設(shè)計(jì)補(bǔ)償器，搜索出最優(yōu)控制信號對系統(tǒng)中的遲滯非線性進(jìn)行補(bǔ)償，克服了逆模型構(gòu)造困難。首先，定義ud（t）為臨時(shí)控制信號并令：

ud（t）=? ? ? ? ?[u]（t）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （13）

對于指定的可接受誤差h，搜尋逆u*（t），使得：

不失一般性，假設(shè)ud（t）對于tτ﹤t≤tτ+1，0≤τ≤N-1單調(diào)遞增。令[umin，umax]為遲滯算子實(shí)際輸入范圍，定義最大值Umax和最小值Umin： Umax（t）=? ? ? ? [umax]（t）和Umin（t）=? ? ? ? [umin]（t）。因? ?＞0，對于umin≤u≤umax，滿足：Umin（t）≤? ? ? ?[u]（t）≤Umax（t）。

定義新變量? ? ? ? ?和? ? ? ? ?，并滿足u0（t）=u*（tτ），其中? ? ?的范圍為? ?∈[0，umax-umin]。則? ? ? =u0（t）+? ? 以及? ? ? ? =? ? ? ? ? ? ? ?。若ud（t）＞Umax（t），則u*（t）=umax；若ud（t）﹤Umin（t），則u*（t）=umin。否則（即：Umin（t）≤ud（t）≤Umax（t）），u*（t）將通過以下步驟獲得。

步驟1：讓? ?從零開始增加。

步驟2：計(jì)算? ? ? ? 和? ? ? ? ，若|? ? ? ? ?-ud（t）|≤? ?，則轉(zhuǎn)步驟3，否則? ?繼續(xù)增加并回到步驟2。

步驟3：停止? ?，并記此時(shí)? ?為? ?， u*（t）=? ? ? ? 。

因此，通過使用上述搜索方法，可以得到實(shí)際的自適應(yīng)控制輸入：u（t）=u*（t）? ? ?   ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（15）

4穩(wěn)定性分析

在下文中，假設(shè)Umin（t）≤ud（t）≤Umax（t），令：

（t）=? ? ? ? [u]（t）-ud（t）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（16）

從（14）和（15）可以看出：|? ? |≤? ?。利用（13）和（16），可得：

（17）

將（17）代入（11），? ? ? ? 可改寫為：

（18）

其中? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 表示集總殘差，滿足? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?為正常數(shù)。

定理1：對于系統(tǒng)（1），考慮自適應(yīng)偽逆控制，若Umin（t）≤ud（t）≤Umax（t）則：s以及e收斂到零附近緊集。

證明? 選擇 Lyapunov函數(shù)為：

（19）

對V求導(dǎo)，得：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。利用楊氏不等式，則：

（20）

其中：

當(dāng)k1＞1/2，α和β均為正常數(shù)。據(jù)Lyapunov定理可知，V是一致最終有界，故s、e、? ? 及? ? 均有界。

5 仿真研究

考慮壓電陶瓷微定位系統(tǒng)中，? ? ? ? ?=-x1-x2表示未知有界連續(xù)函數(shù)，g=1/m=1為未知參數(shù)。參考軌跡為：yd=1.2sin（t）+cos（0.5t）。為了說明本方法的有效性，將其與無偽逆補(bǔ)償和PID進(jìn)行了比較。設(shè)計(jì)參數(shù)為k1=8，Λ=3，Γw=Γρ=6，σw=σρ=0.5，[umin，umax]=[-15，15]。? =0.005。初始值x（0）=[0，2]T。選用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，m=10。對于PID，Kp=6，Ki=5，以及Kd=1。

圖3和4為跟蹤性能和誤差的對比圖，結(jié)果表明：提出的控制方法具有最佳的跟蹤性能和最小的跟蹤誤差，從而驗(yàn)證了所提出的控制方案的有效性。

6 結(jié)論

本文以壓電陶瓷驅(qū)動微定位平臺為研究對象，構(gòu)建MPI模型，利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近系統(tǒng)未知?jiǎng)討B(tài)，提出一種自適應(yīng)偽逆控制方法。該偽逆控制方法是一種在線搜索機(jī)制，避免了直接構(gòu)建復(fù)雜遲滯逆模型，將提出的控制方法與無偽逆補(bǔ)償以及PID進(jìn)行比較，表明本方法能有效地對遲滯進(jìn)行補(bǔ)償，能獲得更好的跟蹤控制效果。

參考文獻(xiàn)

[1]許兆山.基于智能材料驅(qū)動器的非線性系統(tǒng)魯棒自適應(yīng)控制算法研究[D].東北電力大學(xué)，2018.

[2]王舟，陳遠(yuǎn)晟，王浩，黃勤斌.壓電陶瓷驅(qū)動器遲滯建模與自適應(yīng)控制[J].壓電與聲光，2020，42（04）：523-528.

[3]楊輝，劉俊輝，譚暢.高速列車自適應(yīng)制動控制[J].計(jì)算機(jī)仿真，2021，38（11）：138-142.