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        壓電陶瓷驅(qū)動定位平臺自適應(yīng)偽逆控制算法及計(jì)算機(jī)仿真研究

        2023-09-30 01:01:58吳盛彬
        佛山陶瓷 2023年9期
        關(guān)鍵詞:自適應(yīng)

        吳盛彬

        摘 要:本文以壓電陶瓷驅(qū)動微定位平臺為研究對象,針對壓電陶瓷這種智能材料驅(qū)動器中固有的遲滯非線性,構(gòu)建改進(jìn)型Prandtl-Ishlinskii(MPI)遲滯模型,提出一種含偽逆補(bǔ)償器的自適應(yīng)控制方法,避免了直接求解復(fù)雜的遲滯逆模型,通過對設(shè)計(jì)的臨時(shí)控制信號應(yīng)用搜索算法,建立一種近似控制信號的在線搜索機(jī)制。最后,通過MATLAB/Simulink對比仿真分析表明了該控制方法的有效性。

        關(guān)鍵詞:壓電陶瓷;微定位;自適應(yīng);偽逆

        1 前言

        壓電陶瓷驅(qū)動的微定位平臺具有低耗能、驅(qū)動力大、定位精度高、響應(yīng)速度快等優(yōu)點(diǎn),目前被廣泛應(yīng)用于高精度微納米級加工制造領(lǐng)域[1]。但這種智能材料驅(qū)動器存在固有的遲滯非線性,而遲滯具有不可微分、多值映射、非平滑及記憶性的特點(diǎn),嚴(yán)重限制了其應(yīng)用[2]。

        如何獲得最佳的定位精度,最小化智能材料中存在的遲滯現(xiàn)象是一巨大挑戰(zhàn)。前饋逆補(bǔ)償方法原理簡單易懂,對遲滯的處理非常有效[3],但只有在逆模型存在且所構(gòu)建的逆模型十分精確才能表現(xiàn)出良好的性能。此外,所構(gòu)建的估計(jì)模型和實(shí)際遲滯之間總是存在建模誤差。因此,遲滯逆補(bǔ)償模型將產(chǎn)生補(bǔ)償誤差且會增大控制系統(tǒng)的跟蹤誤差,設(shè)計(jì)一種偽逆補(bǔ)償?shù)目刂品椒ㄊ侵悄懿牧向?qū)動微定位平臺控制的難點(diǎn)。

        2 壓電陶瓷驅(qū)動微定位平臺遲滯非線性建模

        2.1系統(tǒng)動力學(xué)模型

        壓電陶瓷驅(qū)動微定位系統(tǒng)可簡化為質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)與驅(qū)動器(PEA)。結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。

        微定位系統(tǒng)的動力學(xué)模型表示為:

        (1)

        其中,m、c、k分別表示質(zhì)量、阻尼系數(shù)、彈簧剛度,y(t)為驅(qū)動器位移。ω(t)是系統(tǒng)輸入及遲滯輸出,可定義為:

        (2)

        表示滯后算子,u為要設(shè)計(jì)的控制輸入。在本文中,改進(jìn)Prandtl-Ishlinskii (MPI)模型將用于描述遲滯現(xiàn)象。對于(1),令x1=y,x2=x&1,那么系統(tǒng)(1)可轉(zhuǎn)換為:

        (3)

        其中,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?   ? ?表示系統(tǒng)未知?jiǎng)討B(tài),? ? ? ? ? ? ? ? 。

        2.2 MPI模型

        對于輸入u,定義函數(shù)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 如下:

        (u,w)=max(γp(u)-r,min(γd(u)+r,w))? ? ?(4)

        其中,γp、γd:? ? ? ? ? ? ? 為嚴(yán)格遞增的連續(xù)包絡(luò)函數(shù),r為閾值,w可為任意值。則MPI模型為:

        (5)

        其中,? ? [u](t)定義為:

        [u](0) =? ? ?(u(0),0) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (6)

        [u](t)=? ? ?(u(t),? ? [u](tτ))

        for tτ﹤t﹤tτ+1 and 0≤τ≤N-1

        由于積分形式在實(shí)際應(yīng)用中不易實(shí)現(xiàn),可被轉(zhuǎn)化為疊加形式:

        圖2為式(9)中的MPI遲滯模型。

        其中:? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,γd=3tanh(0.2u)+0.01,γp=3tanh(0.2u),ri=0.2i,L=10,以及 u=2sin(2πt)+3cos(6t),t∈[0,30]。

        3 控制器設(shè)計(jì)

        未知?jiǎng)討B(tài)? ? ? ? ? 為有界的連續(xù)函數(shù),因此,可利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行估計(jì)。

        其中,W=[W1,W2,…,Wm]T∈? ? ? ?為理想權(quán)重向量,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基向量,δ為有界的近似誤差。將(9)代入系統(tǒng)(3),得:

        其中pg=[pg1,pg2,…,pgL]T∈? ? ? ,pgj=gpj,j=1,2,…,L。

        3.1臨時(shí)控制器設(shè)計(jì)

        遲滯臨時(shí)控制器意味著(11)中的項(xiàng)? ? ? ? ? ? ? ? ? ?將被視為臨時(shí)控制輸入信號。為便于控制設(shè)計(jì),將參考軌跡定義為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,跟蹤誤差為:

        其中Λ為正常數(shù),對s求導(dǎo),得:

        由此,可設(shè)計(jì)臨時(shí)控制器為:

        其中K1>0是反饋增益。

        自適應(yīng)率設(shè)計(jì)為:

        和? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

        Γρ>0,Γw>0為學(xué)習(xí)增益,σρ>0,σw>0為修正系數(shù)。

        3.2偽逆補(bǔ)償器設(shè)計(jì)

        在本文中,將通過偽逆的方法來設(shè)計(jì)補(bǔ)償器,搜索出最優(yōu)控制信號對系統(tǒng)中的遲滯非線性進(jìn)行補(bǔ)償,克服了逆模型構(gòu)造困難。首先,定義ud(t)為臨時(shí)控制信號并令:

        ud(t)=? ? ? ? ?[u](t)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (13)

        對于指定的可接受誤差h,搜尋逆u*(t),使得:

        不失一般性,假設(shè)ud(t)對于tτ﹤t≤tτ+1,0≤τ≤N-1單調(diào)遞增。令[umin,umax]為遲滯算子實(shí)際輸入范圍,定義最大值Umax和最小值Umin: Umax(t)=? ? ? ? [umax](t)和Umin(t)=? ? ? ? [umin](t)。因? ?>0,對于umin≤u≤umax,滿足:Umin(t)≤? ? ? ?[u](t)≤Umax(t)。

        定義新變量? ? ? ? ?和? ? ? ? ?,并滿足u0(t)=u*(tτ),其中? ? ?的范圍為? ?∈[0,umax-umin]。則? ? ? =u0(t)+? ? 以及? ? ? ? =? ? ? ? ? ? ? ?。若ud(t)>Umax(t),則u*(t)=umax;若ud(t)﹤Umin(t),則u*(t)=umin。否則(即:Umin(t)≤ud(t)≤Umax(t)),u*(t)將通過以下步驟獲得。

        步驟1:讓? ?從零開始增加。

        步驟2:計(jì)算? ? ? ? 和? ? ? ? ,若|? ? ? ? ?-ud(t)|≤? ?,則轉(zhuǎn)步驟3,否則? ?繼續(xù)增加并回到步驟2。

        步驟3:停止? ?,并記此時(shí)? ?為? ?, u*(t)=? ? ? ? 。

        因此,通過使用上述搜索方法,可以得到實(shí)際的自適應(yīng)控制輸入:u(t)=u*(t)? ? ?   ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(15)

        4穩(wěn)定性分析

        在下文中,假設(shè)Umin(t)≤ud(t)≤Umax(t),令:

        (t)=? ? ? ? [u](t)-ud(t)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(16)

        從(14)和(15)可以看出:|? ? |≤? ?。利用(13)和(16),可得:

        (17)

        將(17)代入(11),? ? ? ? 可改寫為:

        (18)

        其中? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 表示集總殘差,滿足? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?為正常數(shù)。

        定理1:對于系統(tǒng)(1),考慮自適應(yīng)偽逆控制,若Umin(t)≤ud(t)≤Umax(t)則:s以及e收斂到零附近緊集。

        證明? 選擇 Lyapunov函數(shù)為:

        (19)

        對V求導(dǎo),得:? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。利用楊氏不等式,則:

        (20)

        其中:

        當(dāng)k1>1/2,α和β均為正常數(shù)。據(jù)Lyapunov定理可知,V是一致最終有界,故s、e、? ? 及? ? 均有界。

        5 仿真研究

        考慮壓電陶瓷微定位系統(tǒng)中,? ? ? ? ?=-x1-x2表示未知有界連續(xù)函數(shù),g=1/m=1為未知參數(shù)。參考軌跡為:yd=1.2sin(t)+cos(0.5t)。為了說明本方法的有效性,將其與無偽逆補(bǔ)償和PID進(jìn)行了比較。設(shè)計(jì)參數(shù)為k1=8,Λ=3,Γw=Γρ=6,σw=σρ=0.5,[umin,umax]=[-15,15]。? =0.005。初始值x(0)=[0,2]T。選用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),m=10。對于PID,Kp=6,Ki=5,以及Kd=1。

        圖3和4為跟蹤性能和誤差的對比圖,結(jié)果表明:提出的控制方法具有最佳的跟蹤性能和最小的跟蹤誤差,從而驗(yàn)證了所提出的控制方案的有效性。

        6 結(jié)論

        本文以壓電陶瓷驅(qū)動微定位平臺為研究對象,構(gòu)建MPI模型,利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近系統(tǒng)未知?jiǎng)討B(tài),提出一種自適應(yīng)偽逆控制方法。該偽逆控制方法是一種在線搜索機(jī)制,避免了直接構(gòu)建復(fù)雜遲滯逆模型,將提出的控制方法與無偽逆補(bǔ)償以及PID進(jìn)行比較,表明本方法能有效地對遲滯進(jìn)行補(bǔ)償,能獲得更好的跟蹤控制效果。

        參考文獻(xiàn)

        [1]許兆山.基于智能材料驅(qū)動器的非線性系統(tǒng)魯棒自適應(yīng)控制算法研究[D].東北電力大學(xué),2018.

        [2]王舟,陳遠(yuǎn)晟,王浩,黃勤斌.壓電陶瓷驅(qū)動器遲滯建模與自適應(yīng)控制[J].壓電與聲光,2020,42(04):523-528.

        [3]楊輝,劉俊輝,譚暢.高速列車自適應(yīng)制動控制[J].計(jì)算機(jī)仿真,2021,38(11):138-142.

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