成麗波, 陳鵬宇, 李 喆, 賈小寧

(長春理工大學 數學與統計學院, 長春 130022)

遙感圖像目前已成為人們觀察、 分析世界的一種有效工具, 在各領域均廣泛應用[1-3]. 遙感圖像在成像過程中會受隨機噪聲的干擾[4-6]. 為獲取盡可能真實、 清晰的遙感圖像, 滿足工程實踐的需要, 如何在盡量不影響遙感圖像原始信息的情況下有效對其進行去噪具有重要意義.

遙感圖像去噪的目的是抑制和消除隨機噪聲, 保持圖像的細節(jié)信息及良好的視覺效果. 遙感圖像的稀疏表示和去噪也是對其進一步處理的基礎. 經典的遙感圖像去噪方法如小波變換[7-9]和復小波變換[10-11]是將噪聲視為高頻信號, 過濾較大的變換系數[12-13], 進而實現去噪, 但高頻系數中的圖像細節(jié)部分通常會與噪聲一起被去除[14]. 為克服上述問題, 近年來, 剪切波變換(shearlet transform, ST)[15-16]作為一種新的多尺度分析[17-18]技術已成為該領域研究的焦點. 在頻域中, 剪切波變換是逐層細分的. 因此, 剪切波是性能較優(yōu)的多維函數稀疏表示方法[19], 使它在圖像去噪領域有廣泛的應用前景. 剪切波變換具有良好的各向異性, 可以很好地識別和分析圖像的邊緣和紋理信息[20]. 遙感圖像含有大量的細節(jié)信息, 因此, 在遙感圖像去噪中, 剪切波是一種理想的工具. 遙感圖像噪聲的主要來源是空氣中的微小粒子, 粒子對光的透射率及其空間分布均呈高斯分布[21]. 基于擬合優(yōu)度(goodness of fit, GOF)檢驗的圖像去噪方法[22-23]利用高斯白噪聲及變換系數的統計相關性估計去噪閾值, 該方法能有效去除高斯噪聲. 相比于其他檢驗方法, Anderson-Darling(AD)檢驗[24]能在較小的樣本條件下, 保持穩(wěn)健的檢驗性能. 因此, 本文使用AD檢驗進行遙感圖像的噪聲識別.

針對遙感圖像去噪問題, 本文提出一種基于剪切波和擬合優(yōu)度檢驗的遙感圖像去噪算法(shearlet transform and goodness of fit test, ST-GOF), 先使用剪切波變換分解含噪遙感圖像, 將高頻系數進行擬合優(yōu)度檢驗, 再通過計算剪切波系數經驗分布函數(empirical distribution function, EDF)和模擬高斯噪聲的累積分布函數(cumulative distribution function, CDF)的統計距離獲得AD檢驗統計量, 將統計量與閾值進行對比實現去噪. 與其他相關算法進行仿真對比實驗的結果表明了本文算法在視覺和性能上的優(yōu)越性.

1 剪切波變換

二維圖像函數f∈L2(2)的連續(xù)剪切波變換定義為

SHψf(a,s,t)=〈f,ψa,s,t〉,

(1)

(2)

其中ψa,s,t是一個尺度、 方向及位置參數分別為a,s,t的局部性函數集合, 此時a稱為尺度參數,s為剪切參數,t為平移參數.每個ψa,s,t的頻域支撐區(qū)間在一個梯形對內, 該梯形對在不同的尺度參數a下關于原點對稱, 其方向由剪切參數s確定.通過減小尺度參數a, 剪切波能很好地捕捉圖像的輪廓與邊緣信息.每個剪切波ψa,s,t在頻域的支撐區(qū)間為

(3)

ψa,s,t的頻域支撐區(qū)間如圖1所示.

圖1 剪切波水平(A)和垂直(B)頻域支撐Fig.1 Horizontal (A) and vertical (B) frequency domain support of shearlet

對于給定的一張不含噪聲的圖像P, 基于剪切波變換對加噪圖像Pnoisy的閾值去噪算法實現過程為

Pdenoise=ST-1TσSTPnoisy,

(4)

其中ST為剪切波正變換,Tσ為閾值算子,ST-1為剪切波逆變換.剪切波正變換后獲得圖像的高頻和低頻系數, 而噪聲主要分布在高頻系數中, 因此需對高頻系數選取合適的閾值算法進行處理, 對處理后的全部系數進行剪切波逆變換得到去噪圖像Pdenoise.

2 擬合優(yōu)度檢驗

檢驗一個指定的樣本與一套給定結果的吻合程度稱為擬合優(yōu)度檢驗, 通常通過計算檢驗統計量并與臨界值進行比較判斷樣本分布是否與假設分布一致.若樣本分布與假設理論分布一致, 即將觀測值或數據符合指定模型或分布的情況稱為零假設, 把觀測值拒絕指定模型或分布的情況稱為替代假設.不同方法定義了不同的檢驗統計量作為量化觀測值與指定分布下預期值之間差異的衡量標準.

2.1 Anderson-Darling檢驗

(5)

其中ψ(Fr(t))是為分布函數Fr(t)的尾部賦予更多權重的加權函數, 定義為

ψ(Fr(t))=(Fr(t)(1-Fr(t)))-1,

(6)

其目的是提高檢驗時的靈活性.

實際計算過程中式(5)統計距離的數值表達式可簡寫為

τAD=-L-q,

(7)

其中:L表示給定觀測值xt的大小或在擬合優(yōu)度檢驗時分塊(窗口)的大小;q定義為

(8)

在擬合優(yōu)度檢驗框架內, 錯誤拒絕候選分布的概率稱為虛警概率Pfa, 定義為

(9)

其中H0表示與噪聲檢測相對應的零假設.文獻[25-26]給出了虛警概率Pfa對應閾值的表格.

2.2 本文算法

本文利用剪切波變換對噪聲圖像的剪切波子帶系數進行擬合優(yōu)度檢驗, 提出一種剪切波擬合優(yōu)度檢驗去噪算法, 在多尺度上將信號和噪聲分離為單獨的系數.

令TGOF表示閾值算子, 則尺度j處的閾值Tj為

(10)

(11)

(12)

并通過

(13)

(14)

本文算法的去噪二元假設表示如下:

(15)

2.3 算法流程

本文提出的ST-GOF算法實現過程主要分為7個步驟. 圖2為ST-GOF算法的實現流程.

圖2 ST-GOF算法流程Fig.2 Flow chart of ST-GOF algorithm

算法1ST-GOF算法.

步驟1) 輸入含噪遙感圖像Pn;

步驟2) 對Pn進行剪切波變換Pn←ST(X)得到高頻和低頻系數矩陣;

步驟7) 輸出去噪遙感圖像Pd.

3 仿真實驗及結果分析

為驗證本文算法的有效性, 選擇灰度遙感圖像進行主觀和客觀指標的評價.主觀上, 通過視覺觀察遙感圖像的邊緣顯示能力, 并對比細節(jié)恢復程度等對本文算法的去噪效果進行評價; 客觀上, 使用峰值信噪比(peak signal to noise ratio, PSNR)衡量本文算法的去噪效果.

3.1 圖像質量評價指標

PSNR值作為圖像去噪問題中的重要衡量指標, 數值越大表示去噪程度越好. 本文采用PSNR作為評價指標驗證算法的優(yōu)越性:

(16)

其中p(i,j)表示原始無噪聲圖像,d(i,j)表示去噪圖像,X,Y表示圖像尺寸.

3.2 實驗結果與分析

本文從遙感數據集RSSCN7中選取6張大小為400×400的遙感圖像Forest,Parking,Resident,Playground,Industry,Mountains作為仿真實驗圖像, 如圖3所示. 將本文算法與離散小波擬合優(yōu)度算法(DWT-GOF)、 雙樹復小波擬合優(yōu)度算法(DTCWT-GOF)、 曲波閾值去噪算法(Curvelet)、 剪切波閾值去噪算法(Shearlet)進行對比, 5種算法均使用MATLAB R2018b實現, 計算平臺為內存16 GB的計算機, 搭載處理器為Intel(R) Core(TM) i7-8750H CPU@2.20 GHz.

圖3 實驗采用的無噪聲遙感圖像Fig.3 Noise-free remote sensing images used in experiment

對比發(fā)現, 添加了標準差約為20的高斯白噪聲的遙感圖像接近含有真實隨機噪聲的遙感圖像. 因此, 對實驗圖像分別添加標準差為10,15,20,25的高斯白噪聲. 實驗所得5種算法的PSNR值分別列于表1～表4. 由表1～表4可見, 本文算法在不同噪聲強度下的去噪圖像PSNR值均優(yōu)于其他4種算法, 其中與曲波閾值算法相比平均提高2.15 dB, 與DWT-GOF算法相比平均提高1.04 dB, 與剪切波閾值算法相比平均提高0.33 dB, 與DTCWT-GOF算法相比平均提高0.23 dB.

表1 噪聲標準差為10時不同算法的PSNR值Table 1 PSNR values of different algorithms when standard deviation of noise is 10 dB

表2 噪聲標準差為15時不同算法的PSNR值Table 2 PSNR values of different algorithms when standard deviation of noise is 15 dB

表3 噪聲標準差為20時不同算法的PSNR值Table 3 PSNR values of different algorithms when standard deviation of noise is 20 dB

表4 噪聲標準差為25時不同算法的PSNR值Table 4 PSNR values of different algorithms when standard deviation of noise is 25 dB

圖4為噪聲標準差為25時, 實驗所得5種算法的去噪圖像及局部細節(jié)放大結果. 由圖4可見, 本文算法的去噪效果明顯優(yōu)于其他4種算法, 能更好地保持遙感圖像的邊緣、 輪廓和特征信息. 在對局部細節(jié)進行放大時, 本文算法去噪圖像的紋理更細膩, 視覺效果最優(yōu).

圖4 不同算法對遙感圖像的去噪及細節(jié)效果Fig.4 Denoising and detail effects of different algorithms on remote sensing images

綜上所述, 針對遙感圖像中的高斯白噪聲, 本文提出了一種基于剪切波變換和擬合優(yōu)度檢驗的遙感圖像去噪算法, 將遙感圖像的去噪轉換成了一個二元假設檢驗問題. 首先, 利用剪切波變換在頻域分解含噪遙感圖像, 對分解得到的高頻子帶進行擬合優(yōu)度檢驗; 其次, 通過對比檢驗統計量與去噪閾值分類系數, 保留期望信號系數, 實現去噪; 最后, 對系數矩陣逆歸一化, 通過剪切波逆變換進行圖像重建. 實驗結果表明, 與剪切波閾值去噪等算法相比, 本文算法能顯著提升峰值信噪比, 有較強的細節(jié)留存和邊緣保持能力, 主觀上也有較好的視覺效果.