金縱橫，李世偉，尚群立

(浙江工業(yè)大學(xué) 信息工程學(xué)院，杭州 310023)

0 引言

摩擦存在于任何現(xiàn)實(shí)的機(jī)械設(shè)備中，其非線性特征是影響控制回路性能的主要因素之一[1-4]。深入研究氣動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)模型對開發(fā)新型智能電氣閥門定位器控制算法，提高生產(chǎn)效益有重要實(shí)用價(jià)值。

在先前的研究中，針對氣動(dòng)閥中薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)的研究偏少且主要研究其摩擦行為[5-6]。文獻(xiàn)[7]對氣動(dòng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)和比例方向閥組成的氣動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行機(jī)理建模。文獻(xiàn)[8]采集氣動(dòng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸入和輸出做基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的系統(tǒng)辨識(shí)。對于新型摩擦模型不斷被提出。文獻(xiàn)[9]提出一種應(yīng)用于切削過程的新型摩擦模型。文獻(xiàn)[10]通過改進(jìn)LuGre摩擦模型(LuGre-Mod)，并驗(yàn)證該模型可描述純滑動(dòng)域中的順時(shí)針和逆時(shí)針磁滯回線。但新型摩擦模型并不能顯著提高實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的預(yù)測精度，同時(shí)也大幅增加模型復(fù)雜度，提高工業(yè)生產(chǎn)成本和帶來更大的計(jì)算工作量[11]。在實(shí)際應(yīng)用中需要在摩擦預(yù)測精度和模型復(fù)雜度之間做進(jìn)一步權(quán)衡。對于摩擦模型的選擇，在工程應(yīng)用中，仍普遍采用較簡單的摩擦模型，例如：Choudhury[12]，Kano[13]，He[14]。文獻(xiàn)[15]比較了應(yīng)用于氣動(dòng)閥的共八種基于物理原理和基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的摩擦模型，在實(shí)際氣動(dòng)閥上按ANSI/ISA標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行測試，并與理論仿真結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果顯示Karnopp、LuGre、Kano三種摩擦模型具有最佳預(yù)期效果。對于摩擦模型參數(shù)辨識(shí)方法，文獻(xiàn)[16]提出將擬牛頓法應(yīng)用于氣動(dòng)閥摩擦模型辨識(shí)，進(jìn)而得到該模型的Stribeck參數(shù)。文獻(xiàn)[17]針對Karnopp模型參數(shù)(m，k，F(xiàn)c，F(xiàn)v，F(xiàn)s)，設(shè)計(jì)多種辨識(shí)算法，但每種算法僅能同時(shí)辨識(shí)一到兩個(gè)參數(shù)。為了降低測量噪聲的影響，需要對采集到的數(shù)據(jù)做濾波處理。文獻(xiàn)[18]對氣室氣壓和閥桿位移用零相位二階線性濾波器進(jìn)行濾波。

上述研究從建模方法，提出新的摩擦模型，比較摩擦模型實(shí)驗(yàn)效果，對摩擦模型進(jìn)行更精準(zhǔn)的參數(shù)辨識(shí)等方面去研究氣動(dòng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)等機(jī)械設(shè)備[19]。本文對Karnopp摩擦模型動(dòng)靜摩擦切換條件進(jìn)行修改，并將一種基于多元線性回歸和最小二乘法的參數(shù)辨識(shí)方法應(yīng)用于估算氣動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)中移動(dòng)部件質(zhì)量，彈簧剛度系數(shù)，粘滯摩擦系數(shù)，庫倫摩擦，彈簧預(yù)緊力。通過仿真和現(xiàn)場實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證參數(shù)辨識(shí)方法的有效性。結(jié)果表明，整合修改后摩擦模型的氣動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型能準(zhǔn)確模擬其動(dòng)態(tài)過程。

1 氣動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)模型

工業(yè)生產(chǎn)中常見的氣開式調(diào)節(jié)閥，如圖1所示。

圖1 氣動(dòng)閥示意圖

膜片將氣室氣壓轉(zhuǎn)換為力，并與方向相反的彈簧彈力共同決定閥桿的位移，進(jìn)而改變閥芯和閥座之間的開合程度，控制管路流量。對圖1移動(dòng)部件進(jìn)行受力分析，得出氣動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程[15]：

(1)

式中，m是氣動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)移動(dòng)部件的質(zhì)量；Fe(t)=S·P(t)，其中Fe(t)是氣室壓力，S是膜片受力面積，P(t)是氣室氣壓；Fk(t)=k·x(t)，其中Fk(t)是彈簧彈力，k是彈簧剛度系數(shù)，x(t)是閥桿位移；Ff(t)是摩擦力；Fl是管道內(nèi)液體施加在閥桿上的力，在氣動(dòng)閥空載狀態(tài)下可以忽略；Fi是彈簧預(yù)緊力，當(dāng)氣動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)不受氣室壓力時(shí)，用于壓緊閥芯與閥座，關(guān)閉管路，該力不會(huì)隨閥桿運(yùn)動(dòng)改變。

本次研究在氣動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)空載狀態(tài)下進(jìn)行，省略后的動(dòng)力學(xué)方程：

(2)

在先前的研究中，不同的作者對Ff(t)有不同的描述，從而提出不同的摩擦模型，但新型摩擦模型包含更多的參數(shù)，更復(fù)雜，且并不能顯著提高仿真精度。行業(yè)中仍普遍使用較簡單的摩擦模型。文獻(xiàn)[10]實(shí)際測試八個(gè)摩擦模型中，Karnopp、LuGre、Kano三種摩擦模型具有最佳預(yù)期效果。結(jié)合實(shí)際需求和實(shí)驗(yàn)可提供的測量數(shù)據(jù)，本次研究選擇Stribeck曲線作為閥桿相對運(yùn)動(dòng)速度不為零時(shí)所受摩擦力的大小，如圖2所示。該曲線中摩擦力的數(shù)學(xué)表達(dá)式可以用式(3)表示：

圖2 Stribeck曲線

(3)

(4)

(5)

當(dāng)速度小于DV時(shí)，摩擦力：

Ff(Fr)=min(Fs，|Fr|)sign(Fr)

(6)

Fr=S·P(t)-t·x(t)-Fi

(7)

DV是臨界速度，如果閥桿速度小于臨界速度，則認(rèn)為移動(dòng)部件處于靜止?fàn)顟B(tài)。式(5)的第一行為移動(dòng)部件滑動(dòng)時(shí)閥桿所受摩擦力，式(5)的第二行為移動(dòng)部件靜止和動(dòng)靜切換臨界時(shí)閥桿所受摩擦力。臨界速度的目的在于解決零速度檢測問題，界定閥桿是處于靜止?fàn)顟B(tài)還是滑動(dòng)狀態(tài)。文獻(xiàn)[10]提及臨界速度取值標(biāo)準(zhǔn)是觀察實(shí)驗(yàn)和仿真的擬合度，這需多次調(diào)整臨界速度值并仿真。

針對臨界速度的取值標(biāo)準(zhǔn)需要基于實(shí)驗(yàn)和仿真的擬合度這一問題，本文對簡化后的Karnopp摩擦模型提出進(jìn)一步的修改，并對修改后的摩擦模型做離散化處理。

Ff[n]=

(8)

對移動(dòng)部件處于滑動(dòng)階段的氣動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程做離散化處理：

(9)

式中，

(10)

(11)

n是自然數(shù)，T是采樣周期。

需要注意的是，在仿真模型中，需指定移動(dòng)部件初始速度和初始加速度均為零。

2 參數(shù)辨識(shí)方法

2.1 基于多元線性回歸的方法

定義參數(shù)向量：

α=[FimFcFvk]

(12)

當(dāng)閥桿處于滑動(dòng)階段時(shí)，氣動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)離散化動(dòng)力學(xué)方程：

(13)

式(13)和參數(shù)向量α是線性的，所以定義回歸向量β[n]：

(14)

參數(shù)向量α可以通過最小二乘法估計(jì)得到：

(15)

為了后續(xù)現(xiàn)場實(shí)驗(yàn)得出的參數(shù)辨識(shí)結(jié)果作對比，接下來將引入傳統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)方法。

2.2 傳統(tǒng)方法

剛度系數(shù)k：氣動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)做開環(huán)階躍測試時(shí)，記錄每個(gè)階躍測試下閥桿靜止時(shí)的平均位移和相應(yīng)的平均氣室氣壓。

(16)

式中，ΔP，Δx分別為兩個(gè)階躍測試對應(yīng)氣室氣壓差和閥桿位移差。

最大靜摩擦Fs：氣動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)做開環(huán)周期和幅值不變的三角或正弦測試時(shí)，記錄每個(gè)周期中兩個(gè)閥桿位移方向倒轉(zhuǎn)處的位移和對應(yīng)氣室氣壓。

(17)

式中，ΔP，Δx分別為測試中每個(gè)周期兩個(gè)閥桿位移方向倒轉(zhuǎn)處對應(yīng)氣室氣壓差和閥桿位移差。

庫侖摩擦Fc：氣動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)做開環(huán)周期三角或梯形斜坡測試時(shí)，記錄閥桿正向運(yùn)動(dòng)和反向運(yùn)動(dòng)期間，同一閥桿位移下的氣室氣壓。

(18)

式中，ΔP為閥桿正向運(yùn)動(dòng)和反向運(yùn)動(dòng)期間，同一閥桿位移下的氣室氣壓差。

粘滯摩擦系數(shù)Fv和預(yù)緊力Fi：氣動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)做開環(huán)周期三角或梯形斜坡測試時(shí)，記錄同一周期閥桿處于正向和反向運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下各多組閥桿位移和相應(yīng)氣室氣壓，并計(jì)算該周期正向和反向斜坡速度即為閥桿速度。

(19)

移動(dòng)部件質(zhì)量m通常由閥門供應(yīng)商提供。

為保證結(jié)果正確性，所有參數(shù)辨識(shí)方法中每個(gè)測試需做多次，并取平均值。

3 參數(shù)辨識(shí)實(shí)驗(yàn)及分析

3.1 仿真模擬分析

由氣動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程和摩擦模型方程，通過MATLAB/Simulink搭建仿真模型，該模型如圖3所示。

圖3 氣動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)Simulink模型

該仿真模型能夠模擬氣動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)的開環(huán)運(yùn)行狀態(tài)，模型中各參數(shù)設(shè)定值：m=2 kg，F(xiàn)v=5 000 N·s/m，F(xiàn)c=200 N，F(xiàn)s=200 N，k=200 000 N/m，F(xiàn)i=1 800 N。為驗(yàn)證摩擦模型修改前后的區(qū)別及參數(shù)辨識(shí)方法的可靠性，進(jìn)行了如下仿真實(shí)驗(yàn)。

仿真實(shí)驗(yàn)一：

在開環(huán)無測量噪聲情況下，原摩擦模型與修改后的摩擦模型在同一正弦激勵(lì)下的閥桿位移過程的對比。

實(shí)驗(yàn)?zāi)康模河^察原模型與修改后模型之間的區(qū)別，驗(yàn)證優(yōu)化結(jié)果。

采樣頻率：10 000 Hz

圖4中，實(shí)線表示模型修改后DV=0.000 5 m/s在的閥桿位移(m)隨時(shí)間(s)變化曲線，虛線代表原模型在DV=0.000 5 m/s的閥桿位移(m)隨時(shí)間(s)變化曲線。

圖4 摩擦模型修改前后閥桿位移對比

圖5 加入噪聲的仿真結(jié)果

實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，摩擦模型修改前，當(dāng)閥桿運(yùn)動(dòng)臨近靜止時(shí)，閥桿位移呈階梯式運(yùn)動(dòng)。修改后的模型與原模型對比，修改后的模型閥桿位移更平滑。模型修改前后閥桿位移差異并不顯著，原因在于在氣動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型中，相對于彈簧彈力，摩擦力占比并不顯著。仿真實(shí)驗(yàn)二選擇修改后的模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

仿真實(shí)驗(yàn)二：

在開環(huán)無測量噪聲和有測量噪聲情況下，修改后的氣動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)模型在同一激勵(lì)下的參數(shù)辨識(shí)結(jié)果對比。

實(shí)驗(yàn)?zāi)康模耗M驗(yàn)證在實(shí)際工況下，參數(shù)辨識(shí)方法的可行性。

采樣頻率：10 000 Hz

實(shí)驗(yàn)具體數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 仿真實(shí)驗(yàn)二參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

結(jié)果表明，在有噪聲的情況下，參數(shù)辨識(shí)方法得出的辨識(shí)值誤差在可接受范圍內(nèi)，該方法可行。

3.2 現(xiàn)場實(shí)驗(yàn)

本章對前文所述的參數(shù)辨識(shí)方法在實(shí)驗(yàn)臺(tái)架上進(jìn)行驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)臺(tái)架結(jié)構(gòu)如圖6所示。

實(shí)驗(yàn)裝置：氣動(dòng)閥，I/P轉(zhuǎn)換器，閥位變送器，壓力變送器，其中氣動(dòng)閥閥桿行程16 mm，填料為聚四氟乙烯，膜片有效受力面積0.038 m2，閥門移動(dòng)部件質(zhì)量1.6 kg，上述氣動(dòng)閥參數(shù)均由閥門供應(yīng)商提供。數(shù)據(jù)采集裝置為美國國家儀器有限公司的NI-DAQ-9332機(jī)箱。

為了獲取參數(shù)辨識(shí)所需數(shù)據(jù)，確保回歸向量β[n]中所有系數(shù)都能影響氣動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)模型動(dòng)力學(xué)方程，通過上位機(jī)給定正弦激勵(lì)信號(hào)，同時(shí)為了保證數(shù)值推算的準(zhǔn)確性，設(shè)定采樣頻率為1 000 Hz。實(shí)驗(yàn)采集的氣室氣壓，閥桿位移，如圖7所示。由于I/P轉(zhuǎn)換器的動(dòng)態(tài)特性，采集的氣室壓力與給定的正弦激勵(lì)信號(hào)在波形上有些許差異。

圖7 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了獲取氣動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)模型參數(shù)的最優(yōu)值，下面將引入三個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)參數(shù)作為評判標(biāo)準(zhǔn)。

式(20)為實(shí)際氣室壓力和估計(jì)氣室壓力的標(biāo)準(zhǔn)誤差。

(20)

式(21)為實(shí)際氣室壓力和估計(jì)氣室壓力的相關(guān)系數(shù)。

(21)

最后一個(gè)評判標(biāo)準(zhǔn)是參數(shù)向量α中每個(gè)參數(shù)對應(yīng)的p-value。當(dāng)p-value小于0.05時(shí)，對應(yīng)參數(shù)符合大于95%置信區(qū)間標(biāo)準(zhǔn)。

3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

對實(shí)驗(yàn)平臺(tái)得出的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理。

其中在不同Δυ下的各項(xiàng)參數(shù)辨識(shí)值變化曲線如圖8所示。

圖8 不同Δυ下各參數(shù)辨識(shí)值

估計(jì)外力與實(shí)際外力的標(biāo)準(zhǔn)誤差和相關(guān)系數(shù)如圖9所示。

圖9 估計(jì)外力與實(shí)際外力的標(biāo)準(zhǔn)誤差和相關(guān)系數(shù)

不同Δυ下的各項(xiàng)參數(shù)p-value變化曲線如圖10所示。

圖10 不同Δυ下各參數(shù)p-value

由第二節(jié)參數(shù)辨識(shí)方法，結(jié)合圖8～10，在Δυ介于[0.004，0.005 8]區(qū)間內(nèi)，圖8中參數(shù)向量α中各參數(shù)辨識(shí)值變化趨于平穩(wěn)，圖9中標(biāo)準(zhǔn)誤差達(dá)到最小范圍，相關(guān)系數(shù)接近于1，圖10中各參數(shù)p-value趨于0，說明該區(qū)間內(nèi)模型中各參數(shù)是顯著的。在Δυ=5.72×10-3m/s時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)誤差趨于最小值，相關(guān)系數(shù)達(dá)到最大值，各參數(shù)對應(yīng)p-value均小于0.05。圖9所示，當(dāng)Δυ<4×10-3m/s時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)誤差和相關(guān)系數(shù)均顯著高于區(qū)間[0.004，0.005 8]，且Fc出現(xiàn)負(fù)數(shù)的情況，原因在于閥桿相對運(yùn)動(dòng)速度較小的時(shí)間段多集中在閥桿位移方向反轉(zhuǎn)的過度區(qū)間，該區(qū)間氣室氣壓抖動(dòng)劇烈，如圖7氣室氣壓曲線所示，這極大影響辨識(shí)的精度。當(dāng)Δυ>5.8×10-3m/s時(shí)，m，F(xiàn)v，F(xiàn)c，k，F(xiàn)i辨識(shí)結(jié)果值均隨著Δυ的遞增波動(dòng)加劇，原因在于隨著Δυ的遞增，符合參數(shù)辨識(shí)的樣本越少。綜上所述，當(dāng)Δυ=5.72×10-3m/s時(shí)，各參數(shù)的辨識(shí)結(jié)果值最接近真實(shí)值。

其中基于多元線性回歸方法和傳統(tǒng)方法進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)的結(jié)果數(shù)據(jù)對比如表2所示。

表2 現(xiàn)場實(shí)驗(yàn)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果

表2中粘滯摩擦系數(shù)的辨識(shí)結(jié)果差異較大，原因有以下兩點(diǎn)：

1)在氣動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程中，相對于占比更高的彈簧彈力，粘滯摩擦力占比極小，對氣動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的貢獻(xiàn)并不顯著。

2)式(19)在估算粘滯摩擦系數(shù)和預(yù)緊力時(shí)，還有彈簧剛度系數(shù)和庫倫摩擦參與計(jì)算，兩個(gè)變量的估算本身就存在誤差。

4 氣動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證氣動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)模型的可靠性，需要比對仿真和現(xiàn)場實(shí)驗(yàn)結(jié)果。仿真模型輸入信號(hào)均為現(xiàn)場采集后經(jīng)濾波的氣室氣壓。

測試一：開環(huán)階躍輸入響應(yīng)測試，驗(yàn)證模型能否重現(xiàn)死區(qū)和評估氣動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)。圖11為該激勵(lì)信號(hào)作用下仿真與實(shí)驗(yàn)的閥桿位移對照結(jié)果。

圖11 階躍輸入響應(yīng)測試

測試二：輸入信號(hào)為隨機(jī)信號(hào)。選擇該信號(hào)的原因在于當(dāng)閥桿處于滑動(dòng)狀態(tài)時(shí)候，閥桿位移，速度和加速度都隨時(shí)間不斷變化，此時(shí)，氣動(dòng)閥模型中所有參數(shù)都會(huì)影響移動(dòng)部件的力平衡。圖12為該激勵(lì)信號(hào)下仿真與實(shí)驗(yàn)的閥桿位置對照結(jié)果。

圖12 正弦掃頻測試

需要注意的是，由于I/P轉(zhuǎn)換器的動(dòng)態(tài)特性，在閥桿位移變小，I/P轉(zhuǎn)換器對外排氣時(shí)，會(huì)出現(xiàn)圖11和圖12中排氣過量導(dǎo)致位移出現(xiàn)尖峰的情況。

圖11和圖12中仿真和實(shí)驗(yàn)閥桿位移沒有完全重合的原因有以下兩點(diǎn)：

1)實(shí)際生產(chǎn)中，氣動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)閥桿不同部位與填料接觸部分是不均勻的，摩擦系數(shù)可變，而人為量化的摩擦系數(shù)均為定值。

2)I/P轉(zhuǎn)換器在給氣室充排氣瞬間，氣源供氣壓力不穩(wěn)定且氣路和氣室存在一定程度漏氣。

3)實(shí)驗(yàn)使用的設(shè)備存在不同程度誤差。

5 結(jié)束語

本研究對應(yīng)用于氣動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)的Karnopp摩擦模型動(dòng)靜摩擦切換條件進(jìn)行修改。在傳統(tǒng)方法的基礎(chǔ)是，將多元線性回歸和最小二乘法對氣動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，通過仿真和現(xiàn)場實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證模型修改前后區(qū)別和參數(shù)辨識(shí)方法的可行性，得出如下結(jié)論：

1)應(yīng)用于氣動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)的傳統(tǒng)Karnopp摩擦模型存在的實(shí)際問題進(jìn)行分析，并對其動(dòng)靜摩擦切換條件進(jìn)行修改，解決了DV取值問題。

2)通過帶測量噪聲的仿真和現(xiàn)場采集氣動(dòng)薄膜執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸入輸出的真實(shí)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，驗(yàn)證基于多元線性回歸和最小二乘法的參數(shù)辨識(shí)方法是有效的。該方法相對于傳統(tǒng)方法，極大減少建模工作量。

3)修改后的模型和參數(shù)辨識(shí)方法并不局限于本研究，經(jīng)適當(dāng)修改可應(yīng)用于其它領(lǐng)域，提高其實(shí)用性和普適性。