徐 凱，陳 珺

(江南大學(xué) 輕工過程先進(jìn)控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無錫 214122)

0 引言

基于被控對(duì)象數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)代控制理論自20世紀(jì)60年代被提出以來，已經(jīng)形成了一套十分成熟的理論體系，并在工業(yè)過程、航空航天等領(lǐng)域中得到了大規(guī)模的成功應(yīng)用[1]。然而，對(duì)于機(jī)理模型或辨識(shí)模型可獲取但卻帶有無法描述性質(zhì)的系統(tǒng)、模型復(fù)雜且階數(shù)較高的系統(tǒng)、模型無法獲取的系統(tǒng)這三類系統(tǒng)的控制問題，現(xiàn)代控制理論目前還未有較好的解決方案[2]。

數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)是一種利用被控系統(tǒng)的在線和離線數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)基于數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)、評(píng)價(jià)、診斷、監(jiān)控、決策和優(yōu)化等各種功能的思想[3]。

在系統(tǒng)的控制問題之中，軌跡跟蹤問題是一個(gè)十分值得研究的問題。在軌跡跟蹤問題中，模型預(yù)測(cè)控制(MPC，model predictive control)是應(yīng)用最廣泛的控制方法之一，因?yàn)樗试S在控制設(shè)計(jì)中考慮安全因素[4]，可以通過約束保障系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行。使用模型預(yù)測(cè)控制方案的關(guān)鍵是一個(gè)精確的系統(tǒng)參數(shù)狀態(tài)空間模型，但是這樣的模型往往不能直接獲取。因此將數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的思想與之相結(jié)合變得很有意義。近年來，有許多學(xué)者對(duì)兩者的結(jié)合進(jìn)行了研究并發(fā)表了相應(yīng)研究成果，文獻(xiàn)[5]對(duì)Vienna整流器提出了一種利用電壓和電流信息數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)的超局部模型替代Vienna整流器精確模型的無模型預(yù)測(cè)電流控制方法；文獻(xiàn)[6]針對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)難以獲取模型的情況，結(jié)合跟蹤-微分器獲取微分信息的能力，利用Smith預(yù)估器預(yù)測(cè)未來時(shí)刻輸出有效提高了控制系統(tǒng)的響應(yīng)速度；文獻(xiàn)[7]中使用數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的神經(jīng)元預(yù)測(cè)器擬合系統(tǒng)的模型結(jié)合預(yù)測(cè)控制實(shí)現(xiàn)了ASV的速度控制；文獻(xiàn)[8]結(jié)合了深度強(qiáng)化學(xué)習(xí)和預(yù)測(cè)控制實(shí)現(xiàn)了一種高精度的無人駕駛方式；文獻(xiàn)[9]通過子空間預(yù)測(cè)控制方案構(gòu)建了電機(jī)的電壓平衡模型，從而實(shí)現(xiàn)了電機(jī)的無偏移跟蹤；文獻(xiàn)[10]中采用深度學(xué)習(xí)訓(xùn)練通過Koopman理論簡(jiǎn)化得到的通用結(jié)構(gòu)模型，實(shí)現(xiàn)了非線性模型的最優(yōu)軌跡跟蹤；文獻(xiàn)[11]提出一種將循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與模型預(yù)測(cè)控制算法相結(jié)合的算法，在保持了控制器性能的同時(shí)，有效提升了算法執(zhí)行速度并減少了存儲(chǔ)數(shù)據(jù)占用的內(nèi)存；文獻(xiàn)[12]將子空間辨識(shí)和預(yù)測(cè)控制思想相結(jié)合并提出一種最優(yōu)調(diào)優(yōu)方法，簡(jiǎn)化了預(yù)測(cè)模型的建立過程，解決了控制器參數(shù)調(diào)整過程復(fù)雜的問題；文獻(xiàn)[13]將模型預(yù)測(cè)控制與比例、積分、微分控制方案相結(jié)合，減少了傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)控制方法調(diào)整的復(fù)雜度，并解決了其計(jì)算量大、系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能易受影響的問題，同時(shí)將模糊理論與模型預(yù)測(cè)控制相結(jié)合，獲得了比PID算法更好的抗干擾能力，同時(shí)減少了預(yù)測(cè)范圍；文獻(xiàn)[14]將數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)概念集成到魯棒模型預(yù)測(cè)控制結(jié)構(gòu)中，用數(shù)據(jù)估計(jì)模型替代預(yù)測(cè)，在解決了傳統(tǒng)方法保守性高、計(jì)算困難的問題的同時(shí)提高了系統(tǒng)的閉環(huán)性能；文獻(xiàn)[15]提出了一種全新的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)模型預(yù)測(cè)控制方案，通過調(diào)整系統(tǒng)不同部分之間的耦合條件，將系統(tǒng)分為不同的子系統(tǒng)并通過分散的模型預(yù)估獨(dú)立控制，有效提升了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

雖然目前已經(jīng)有很多種基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的預(yù)測(cè)控制方法被提出，但都是利用系統(tǒng)的歷史數(shù)據(jù)并根據(jù)具體被控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)原理來進(jìn)行建模，或者是使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方法擬合出被控系統(tǒng)的模型，模型獲取過程十分繁瑣，同時(shí)獲得的模型不具備通用性，在系統(tǒng)參數(shù)調(diào)整時(shí)模型精度顯著下降，而且大都沒有考慮測(cè)量噪聲對(duì)系統(tǒng)控制效果的影響。

文中對(duì)于僅有測(cè)量數(shù)據(jù)可得的LTI系統(tǒng)提出了一種數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的預(yù)測(cè)控制方案，根據(jù)系統(tǒng)行為學(xué)理論[16]和平衡子空間辨識(shí)方法[17]利用測(cè)量數(shù)據(jù)直接設(shè)計(jì)了控制器，解決了傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)控制方法獲取預(yù)測(cè)模型困難且控制律難以設(shè)計(jì)的問題，并考慮了系統(tǒng)測(cè)量數(shù)據(jù)中存在的隨機(jī)噪聲所帶來的擾動(dòng)對(duì)控制性能產(chǎn)生的影響，通過引入輔助松弛變量和L2正則化項(xiàng)抑制了噪聲擾動(dòng)，提高了算法的魯棒性，最后采用多步滾動(dòng)時(shí)域優(yōu)化方法求解優(yōu)化問題并對(duì)系統(tǒng)施行控制，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)對(duì)設(shè)定值的軌跡跟蹤?；赑ython平臺(tái)和CasADi工具箱對(duì)算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證，將所提方法應(yīng)用于一個(gè)四容水箱系統(tǒng)并與同樣基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的子空間模型預(yù)測(cè)控制方法相比較，仿真結(jié)果證明了所提方法的有效性和優(yōu)越性。

1 系統(tǒng)行為學(xué)理論

基于根據(jù)文獻(xiàn)[16]中提出的系統(tǒng)行為學(xué)理論，一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)可以被定義為一個(gè)三元組∑=(T，W，B)，其中T?R表示時(shí)間軸，W表示系統(tǒng)的信號(hào)空間包含該系統(tǒng)所有可能的輸入輸出信號(hào)，B?WT是系統(tǒng)的行為，B中的每個(gè)元素為系統(tǒng)的軌跡。文中考慮的是離散LTI系統(tǒng)，對(duì)于此類系統(tǒng)有以下結(jié)論成立：T=N，W=Rω是一個(gè)有限維度的向量空間，B是一個(gè)線性空間且滿足B?σB(時(shí)延算子σ定義為σf(t)：=f(t+1))，同時(shí)B在點(diǎn)態(tài)收斂拓?fù)渲惺欠忾]的。綜上所述，離散LTI系統(tǒng)按照系統(tǒng)行為學(xué)理論可以表示為∑=(N，Rω，B)。

對(duì)于該LTI系統(tǒng)的軌跡ω(t)∈B通?？梢员憩F(xiàn)為式(1)：

R0ω(t)+R1σω(t)+…+Rlσlω(t)=0

(1)

其中：Rτ∈Ri×ω，τ=1，…，l，i表示等式的個(gè)數(shù)，ω表示信號(hào)空間的維數(shù)，l表示方程的階數(shù)。定義多項(xiàng)式矩陣R(σ)為式(2)：

R(σ)=R0+R1σ+…+Rlσl∈Ri×ω[σ]

(2)

式(2)是一個(gè)i×ω的矩陣，每個(gè)元素都為時(shí)延算子σ的多項(xiàng)式。根據(jù)線性代數(shù)中核空間kernel的定義，式(2)可以表示為式(3)的形式：

ker(R(σ))：={ω|R(σ)ω=0}

(3)

因此B可以寫為B：=ker(R(σ))。在前述定義下，對(duì)于系統(tǒng)的任意兩個(gè)軌跡ω1，ω2∈B，存在ω∈B，使軌跡ω1在一定時(shí)間T后轉(zhuǎn)變?yōu)棣?，如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)行為學(xué)理論下LTI系統(tǒng)軌跡變化示意圖

即對(duì)于同一個(gè)LTI系統(tǒng)，如果兩條軌跡初始狀態(tài)相同，被觀測(cè)到的輸出也相同，那么認(rèn)為其過去的輸入累積效果也相同。

2 平衡子空間辨識(shí)方法

系統(tǒng)信號(hào)的時(shí)間序列為f=(f(1)，...，f(T))。定義該信號(hào)的塊Hankel矩陣為：

HΔ(f)=

其中：Δ為有限時(shí)間平衡參數(shù)。根據(jù)以上算法。

算法1：輸入：系統(tǒng)軌跡ω=(u，y)，系統(tǒng)階數(shù)的上界Πmax，有限時(shí)間平衡參數(shù)Δ>Πmax。

步驟1：找到系統(tǒng)脈沖響應(yīng)矩陣的前2Δ樣本H(0)，…，H(2Δ-1)，并令H：=col(H(0)，…，H(2Δ-1))。

步驟5：通過求解線性系統(tǒng)等式

根據(jù)系統(tǒng)行為學(xué)理論，有以下基礎(chǔ)引理。

定義row dim為矩陣的塊行數(shù)，Up，Uf，Yp，Yf如下：

其中：row dim(Up)=row dim(Yp)=lmax，row dim(Uf)=row dim(Yf)=2Δ。

(4)

(5)

如上所述，可以將獲得的數(shù)據(jù)分為過去和未來兩個(gè)部分，據(jù)此提出算法2。

步驟6：通過代入求解前述算法步驟5中等式的可以獲得系統(tǒng)相應(yīng)的平衡表示Abal，Bbal，Cbal，Dbal。

根據(jù)上述結(jié)論，在系統(tǒng)采集的數(shù)據(jù)滿足充分持續(xù)激勵(lì)階時(shí)，該系統(tǒng)可被充分識(shí)別，可以通過歷史數(shù)據(jù)確認(rèn)系統(tǒng)的模型和當(dāng)前狀態(tài)。

3 算法原理及實(shí)現(xiàn)步驟

3.1 非參數(shù)模型的建立

根據(jù)第一節(jié)所述系統(tǒng)行為學(xué)理論，提出如下定義。把B中每個(gè)軌跡中[t1，t2]內(nèi)的部分截?cái)喑鰜?，組成新的集合(6)：

B[t1，t2]={ω：[0，T-1]→Rω|

?υ∈B：ω(t)=υ(t) ?t1≤t≤t2}

(6)

根據(jù)式(1)、式(2)、式(3)可以得到零空間式(7)：

rB={r∈Rω[σ]|rT(σ)B=0}

(7)

根據(jù)式(2)定義式(7)的階數(shù)形式為式(8)：

每個(gè)元素的階數(shù)均小于等于ψ}

(8)

考慮如下離散時(shí)不變系統(tǒng)模型(9)：

(9)

式(7)中u(k)∈Rm，x(k)∈Rn，y(k)∈Rp分別為系統(tǒng)的輸入、狀態(tài)和輸出量，A，B，C，D是具有合適維度的矩陣，且滿足(A，B)可控，(A，C)可觀測(cè)。

從0時(shí)刻起，在系統(tǒng)(9)中采樣長(zhǎng)度為T的信號(hào)f：f∈B|[0，T-1]。定義一個(gè)Hankel矩陣如式(10)。

(10)

(11)

根據(jù)式(11)可以得到式(12)成立：

(12)

同樣由于LTI系統(tǒng)的線性特性，可以得到式(13)成立：

colspan(HL(f))?B|[0，T-1]

(13)

定義1：假設(shè)信號(hào)f=[0，T-1]∩N→Rω當(dāng)且僅當(dāng)式(14)滿足時(shí)持續(xù)激勵(lì)L階。

rank(HL(f))=Lω

(14)

其中：ω是信號(hào)空間W的維數(shù)，對(duì)于系統(tǒng)(7)有ω=m+p，即由輸入和輸出拼接成系統(tǒng)信號(hào)軌跡。

(15)

colspan(HL(f))=B|[0，T-1]

(16)

定理1的證明見文獻(xiàn)[16]。

(17)

式(17)即為離散LTI系統(tǒng)的非參數(shù)模型，其完全由系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)構(gòu)成，系統(tǒng)的任意一段長(zhǎng)度為L(zhǎng)的軌跡都可以由系統(tǒng)測(cè)量數(shù)據(jù)的Hankel矩陣的列線性張成。

3.2 算法實(shí)現(xiàn)

算法主要由數(shù)據(jù)采集，優(yōu)化問題求解和滾動(dòng)時(shí)域優(yōu)化三部分組成。

對(duì)于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的控制方法，數(shù)據(jù)的采集是必不可少的。根據(jù)定義1和定理1的要求，采集的數(shù)據(jù)軌跡需要滿足式(14)且必須采集自一條連續(xù)的系統(tǒng)軌跡。由于判斷Hankel矩陣的秩比較困難，一般通過保證采集的數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)滿足條件T>(m+1)(L+n)-1來保證定理1的條件成立。

控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖

如圖2所示，系統(tǒng)在每次決策過后更新當(dāng)前數(shù)據(jù)。根據(jù)文獻(xiàn)[17]中的平衡子空間辨識(shí)法，把式(17)分解為式(18)的形式：

(18)

用式(18)作為預(yù)測(cè)模型代替?zhèn)鹘y(tǒng)模型預(yù)測(cè)控制中如式(9)的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型表示和系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)，設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)如下式(19)：

(19)

通過求解優(yōu)化問題(19)可以得到對(duì)系統(tǒng)下一步采取的控制決策。

為了提升算法效率，減少迭代次數(shù)，采用多步滾動(dòng)時(shí)域優(yōu)化策略，一次預(yù)測(cè)多個(gè)未來值，其具體步驟如下。

步驟1：采樣T對(duì)連續(xù)的系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)構(gòu)建如式(18)的系統(tǒng)非參數(shù)模型作為目標(biāo)函數(shù)的約束條件，設(shè)置控制器基本參數(shù)如預(yù)測(cè)時(shí)域N，權(quán)重矩陣Q、R等。

步驟2：在t時(shí)刻，求解目標(biāo)函數(shù)得到最優(yōu)決策變量α*。

步驟3：計(jì)算最優(yōu)輸入序列u*=HL(ud)α*。

步驟5：令t=t+n，更新目標(biāo)函數(shù)約束中的uini和yini為新測(cè)量得的Tini對(duì)輸入輸出數(shù)據(jù)。

步驟6：返回步驟2直到預(yù)測(cè)結(jié)束。

3.3 魯棒性改進(jìn)

對(duì)于系統(tǒng)測(cè)量數(shù)據(jù)中存在有界加性高斯噪聲的系統(tǒng)，其輸入輸出測(cè)量信號(hào)模型為：

(20)

式(20)中的v(k)∈Rm、z(k)∈Rp為符合正態(tài)分布的有界加性高斯噪聲。加入噪聲擾動(dòng)后如式(18)的約束條件將變得難以滿足，此時(shí)對(duì)(19)進(jìn)行以下改進(jìn)。

松弛變量常被用于支持向量機(jī)SVM(support vector machines)，通過允許一些數(shù)據(jù)樣本不滿足硬間隔約束條件，可以防止SVM分類器過擬合，避免模型過于復(fù)雜，降低模型對(duì)噪聲點(diǎn)的敏感性。L2正則項(xiàng)則可以約束松弛變量，同時(shí)可以使目標(biāo)函數(shù)的求解變得穩(wěn)定和快速。

引入松弛變量可以保證約束的滿足，L2正則項(xiàng)則可以保證變量不產(chǎn)生過大的變化，改進(jìn)后的目標(biāo)函數(shù)如式(21)：

(21)

4 仿真實(shí)驗(yàn)

4.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的采集

為了驗(yàn)證算法的有效性，采用一個(gè)典型的多輸入多輸出的四容水箱系統(tǒng)作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，并對(duì)該四容水箱的跟蹤控制問題進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

根據(jù)四容水箱的工作原理，建立對(duì)象的非線性機(jī)理模型為式(22)[18]。

(22)

在平衡點(diǎn)(數(shù)據(jù)見表1)處對(duì)式(22)進(jìn)行線性化處理，四容水箱系統(tǒng)的輸入為水泵電壓u=[u1u2]T，狀態(tài)為水箱液位高度x=[x1x2x3x4]T，輸出為水箱1和水箱2的液位高度y=[y1y2]T。水箱選取參數(shù)和初始條件如表1所示[19]。

表1 四容水箱系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)

輸入選取范圍在[-3，3]之間的隨機(jī)激勵(lì)信號(hào)，系統(tǒng)初始狀態(tài)設(shè)置為零初始狀態(tài)。對(duì)于四容水箱，輸入和輸出維度m=2，p=2，狀態(tài)維度n=4。選取初始數(shù)據(jù)序列長(zhǎng)度Tini=4，預(yù)測(cè)時(shí)域N=40，L=Tini+N=44，根據(jù)定理1的要求采樣數(shù)據(jù)序列長(zhǎng)度需要滿足T>(m+1)(L+n)-1=143，因此選擇采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)為T=150，采樣間隔選取為0.1 s，總采樣時(shí)間為15 s。采樣輸入輸出數(shù)據(jù)序列為U(k)=[u1(k)，u2(k)]和Y(k)=[y1(k)，y2(k)]，采樣數(shù)據(jù)如圖3。

4.2 算法仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所提方法的有效性，先考慮測(cè)量數(shù)據(jù)中不含噪聲的情況。選擇ys=[0.65 0.77]T為參考軌跡。控制器參數(shù)選擇為N=40，即預(yù)測(cè)時(shí)間為4 s，初始軌跡長(zhǎng)度Tini=4，權(quán)重矩陣Q=10Ip，R=0.1Im，其中Im和Ip是二階單位矩陣。

為了證明所提算法的優(yōu)越性，將文中所提方法與文獻(xiàn)[20]中提出的基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的子空間預(yù)測(cè)控制(data-driven subspace predictive control，DDSPC)方法進(jìn)行比較。先證明DDSPC算法的有效性：同時(shí)給辨識(shí)模型和實(shí)際模型相同的激勵(lì)信號(hào)，將兩者產(chǎn)生的響應(yīng)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖4所示。

圖4 DDSPC真實(shí)值和估計(jì)值響應(yīng)曲線

如圖4中仿真結(jié)果所示，虛線表示實(shí)際四容水箱模型在激勵(lì)信號(hào)下的輸出響應(yīng)，實(shí)線表示根據(jù)子空間辨識(shí)得到的模型在相同激勵(lì)信號(hào)下的輸出響應(yīng)，兩條曲線重合，表示根據(jù)DDSPC方法得到的辨識(shí)模型能夠精確匹配實(shí)際四容水箱系統(tǒng)模型。

基于DDSPC方法有效的情況下，將文中所提算法和DDSPC算法進(jìn)行仿真比較，仿真結(jié)果如圖5和圖6所示。

圖5 本文方法與DDSPC方法跟蹤控制對(duì)比

如圖5和圖6所示，對(duì)于四容水箱系統(tǒng)無噪聲的情況，文中所提方法和DDSPC都有較好的控制效果，但是文中所提方法跟蹤精度更高，過渡時(shí)間更短，超調(diào)量更小，具有更好的動(dòng)態(tài)性能。

4.3 魯棒性檢驗(yàn)

為了驗(yàn)證改進(jìn)后算法的魯棒性，在四容水箱的每個(gè)測(cè)量輸入輸出數(shù)據(jù)中都添加一個(gè)大小在(-10-3，103)之間的隨機(jī)高斯噪聲模擬擾動(dòng)，增加完噪聲后的采樣數(shù)據(jù)如圖7所示。

圖7 含噪聲的采樣數(shù)據(jù)

控制器參數(shù)選擇為Q=15I2，R=0.1I2，λu=λy=10-4，λα=1。參考軌跡設(shè)定值為[0 0]T，系統(tǒng)初始狀態(tài)隨機(jī)生成。為了便于觀察，只展示水箱2的液位變化情況。分別比較了文中算法改進(jìn)前后，改進(jìn)后算法和DDSPC算法的預(yù)測(cè)輸出和真實(shí)響應(yīng)曲線，仿真結(jié)果如圖8和圖9所示。

圖8 噪聲情況下改進(jìn)前后方法對(duì)比

圖9 本文方法與DDSPC方法對(duì)比

如圖8中仿真結(jié)果所示，當(dāng)系統(tǒng)含有測(cè)量噪聲時(shí)，改進(jìn)前的方案跟蹤精度降低，不再能完成控制任務(wù)。引入松弛變量和L2正則項(xiàng)改進(jìn)后，真實(shí)響應(yīng)和預(yù)測(cè)值之間的偏差顯著減小，跟蹤效果大大增強(qiáng)。

如圖9中仿真結(jié)果所示，與DDSPC方法相比，本文所提改進(jìn)后算法跟蹤精度更高，能更好的貼合參考軌跡，且系統(tǒng)的抖振更小。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證改進(jìn)后算法的魯棒性，將前述噪聲擴(kuò)大十倍后加入系統(tǒng)測(cè)量數(shù)據(jù)再進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，控制器參數(shù)選擇和之前保持一致，仿真結(jié)果如圖10和11所示。

圖10 噪聲放大后改進(jìn)前后算法對(duì)比

如圖10中仿真結(jié)果所示，在將隨機(jī)噪聲范圍擴(kuò)大十倍后，改進(jìn)前算法對(duì)系統(tǒng)的控制效果進(jìn)一步變差，系統(tǒng)響應(yīng)抖動(dòng)變大，且系統(tǒng)無法收斂到平衡點(diǎn)，改進(jìn)后算法有效抑制了噪聲擾動(dòng)，控制效果遠(yuǎn)優(yōu)于改進(jìn)前。如圖11所示，將噪聲擴(kuò)大后，DDSPC算法的預(yù)測(cè)輸出和實(shí)際響應(yīng)產(chǎn)生了較大偏離，表明此時(shí)子空間預(yù)測(cè)模型和實(shí)際模型嚴(yán)重失配，跟蹤效果進(jìn)一步降低，本文所提改進(jìn)后算法比DDSPC算法抗噪聲擾動(dòng)能力更強(qiáng)。為了更直觀顯示文中所提方法的抑制擾動(dòng)能力，提出以下指標(biāo)衡量抗干擾能力，其值越小表示抗干擾能力越強(qiáng)：

圖11 噪聲放大后與DDSPC算法對(duì)比

(23)

分別計(jì)算噪聲為0.001和0.01時(shí)本文所提改進(jìn)后算法和DDSPC算法的K值，結(jié)果如下：

噪聲值0.001噪聲值0.01本文所提算法172.442 373.29DDSPC203.6844 776.22

根據(jù)上述計(jì)算的K值，在隨機(jī)噪聲較小時(shí)，本文所提改進(jìn)后算法僅是略優(yōu)于DDSPC算法，而在測(cè)量數(shù)據(jù)中含有的隨機(jī)高斯噪聲較大時(shí)，本文所提算法的K值僅為DDSPC算法的0.053倍，即在此指標(biāo)下，本文所提算法抗干擾能力是DDSPC算法的20倍，遠(yuǎn)強(qiáng)于DDSPC算法。因此與DDSPC算法相比，本文所提算法在改進(jìn)后具有更強(qiáng)的魯棒性。

綜上所述，文中所提的僅使用系統(tǒng)測(cè)量數(shù)據(jù)直接設(shè)計(jì)控制器的預(yù)測(cè)控制方法能有效實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)設(shè)定值的軌跡跟蹤，具有較好的控制品質(zhì)的同時(shí)也具有較強(qiáng)的魯棒性。

5 結(jié)束語

本文針對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)中含有隨機(jī)噪聲的模型未知LTI系統(tǒng)，提出的將基于系統(tǒng)行為學(xué)理論的非參數(shù)模型和預(yù)測(cè)控制方法相結(jié)合的控制策略，通過直接使用系統(tǒng)的測(cè)量數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)控制器解決了傳統(tǒng)模型預(yù)測(cè)控制中預(yù)測(cè)模型設(shè)計(jì)過程復(fù)雜、精確度低且缺乏通用性的問題，同時(shí)充分考慮了有界加性高斯噪聲對(duì)系統(tǒng)控制效果帶來的影響，通過在目標(biāo)函數(shù)設(shè)計(jì)和其終端約束中引入輔助松弛變量和L2正則項(xiàng)有效抑制了噪聲帶來的影響，顯著提升了算法的魯棒性。通過將該算法應(yīng)用于四容水箱系統(tǒng)并進(jìn)行仿真驗(yàn)證，仿真結(jié)果表明了該算法的有效性，并與同樣基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的子空間預(yù)測(cè)控制方法相比較，所提方法在具有更好動(dòng)態(tài)性能的同時(shí)，抗噪聲干擾能力也提升了十余倍，具有良好的控制品質(zhì)和較強(qiáng)的魯棒性。