王 明,榮佑民,黃 禹,張 勇,曾真寅

(1.華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院,武漢 430074;2.廣東機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院先進(jìn)制造技術(shù)學(xué)院,廣州 510000;3.麥格雷博(深圳)電子有限公司,深圳 518000)

0 引言

近年來隨著稀土永磁產(chǎn)業(yè)飛速發(fā)展,永磁體已廣泛應(yīng)用于醫(yī)療[1]、交通[2]、儀器儀表[3]等眾多領(lǐng)域,學(xué)者們對永磁體的性能也愈加關(guān)注。表磁(永磁體的表面磁感應(yīng)強(qiáng)度)是永磁體性能的重要指標(biāo)之一[4],表磁測量的精準(zhǔn)性直接影響著產(chǎn)品的質(zhì)量。

目前,永磁轉(zhuǎn)子磁感應(yīng)強(qiáng)度分布的主要分析手段:有限元分析[5]、數(shù)值解析[6]及實驗測量。有限元分析用于求解靜態(tài)、動態(tài)磁場問題,通過靈活設(shè)置邊界條件及材料性質(zhì),能夠仿真計算出不同材料和結(jié)構(gòu)形式的永磁體理想磁感應(yīng)強(qiáng)度;數(shù)值解析的基礎(chǔ)理論一般為,基于安培分子環(huán)流定律的等效電流模型以及基于庫倫定律的等效磁荷模型。有限元分析和數(shù)值解析大多不單獨使用而是配合實驗,對構(gòu)建出的轉(zhuǎn)子模型進(jìn)行理論驗證[7];實驗測量則是基于霍爾效應(yīng)用高斯計對磁極的表面磁場進(jìn)行直接測量,適用于實際產(chǎn)線上快速檢測產(chǎn)品性能。HIROSE等[8]利用霍爾器件對回旋加速器中的大型永磁體進(jìn)行磁場的精確測量,王曉明等[9]則基于LabWindows/CVI軟件及B&H測試儀研制了一套可實時顯示、查詢永磁體磁場分布系統(tǒng)。

在實驗測量永磁轉(zhuǎn)子過程中,由于轉(zhuǎn)子表面是堅硬的硅鋼片,為了減少檢測探頭的磨損,探頭不會直接接觸轉(zhuǎn)子表面。而轉(zhuǎn)子在安裝的過程中存在著隨機(jī)偏差,這就導(dǎo)致在轉(zhuǎn)動檢測時會出現(xiàn)偏心現(xiàn)象。因為磁感應(yīng)強(qiáng)度與檢測距離之間有很強(qiáng)的相關(guān)性[10],偏心現(xiàn)象會嚴(yán)重影響磁場數(shù)據(jù)采集的準(zhǔn)確性。針對這種現(xiàn)象,目前普遍存在兩種方法,一是使用可變性柔性探頭[11]緊貼磁體表面測量,但轉(zhuǎn)子表面并不光滑,在轉(zhuǎn)動過程中會出現(xiàn)滑動摩擦,難免會損傷探頭和轉(zhuǎn)子;二是使用高精密的機(jī)械設(shè)備,但這樣會極大地增加成本。

本文針對測量永磁體轉(zhuǎn)子表面磁場分布時存在的偏心現(xiàn)象,基于安培分子環(huán)流模型,利用畢奧-薩伐爾定理開發(fā)了一種表磁偏心修正的系統(tǒng)。該系統(tǒng)僅需在測量前建立校準(zhǔn)數(shù)據(jù)庫,便可極大地保證對永磁轉(zhuǎn)子表磁的精確測量。

1 磁場分布的數(shù)學(xué)描述

1.1 永磁轉(zhuǎn)子的基本結(jié)構(gòu)

永磁轉(zhuǎn)子的組成部分一般可分為轉(zhuǎn)子鐵芯以及永磁磁極。相較于傳統(tǒng)的電勵磁電機(jī)由繞組產(chǎn)生磁場,永磁轉(zhuǎn)子則是由永磁體產(chǎn)生磁場。而根據(jù)永磁體放置的位置以及方式的不同,可分為以下3類:插入式、內(nèi)置式和表貼式[12]。插入式轉(zhuǎn)子充分利用了轉(zhuǎn)子磁路不對稱所產(chǎn)生的磁阻轉(zhuǎn)矩,提高電機(jī)的功率密度,但其漏磁系數(shù)和制造成本較高,因此多用于傳動永磁電機(jī)。內(nèi)置式[13]轉(zhuǎn)子具有較強(qiáng)的抗退磁能力,同時它還有峰值轉(zhuǎn)矩大、功率密度高、恒功率運(yùn)行范圍寬等特點;但由于其成本高、永磁體漏磁相對較大,故多用于中高速永磁同步電機(jī)。表貼式轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)較為簡單,磁鏈諧波分量較少,更容易產(chǎn)生正弦波磁動勢,響應(yīng)速度快,但同時它調(diào)速范圍較小、功率密度低,抗退磁能力較差,并且沒有磁阻轉(zhuǎn)矩,所以適合用于伺服驅(qū)動。

1.2 永磁轉(zhuǎn)子空間磁場分析

在研究轉(zhuǎn)子空間磁場分布時,可以將轉(zhuǎn)子磁極上的永磁體等效成理想的矩形永磁體。現(xiàn)有一塊尺寸為a、b、h(如圖2)的矩形永磁體沿一個方向均勻充分充磁化且達(dá)到飽和狀態(tài),此時磁體內(nèi)部磁化矢量可視為一個常矢量。根據(jù)安培分子環(huán)流假設(shè)可知,外部空間任意一點的磁場均由永磁體內(nèi)部所有的分子電流激發(fā)的磁場疊加形成。而由于磁體是均勻磁化,磁體內(nèi)的分子電流相互抵消,所以空間中任意一點的磁場僅由永磁體表面閉合的電流環(huán)路產(chǎn)生。

假設(shè)磁體面電流密度為J,在永磁體外部空間中的任意一點P(x,y,z)處,由面z0和z0+dz0構(gòu)成的薄層電流環(huán)產(chǎn)生的磁場為dB。則總磁場為:

(1)

式中:Bx,By,Bz分別為薄層電流環(huán)A′B′C′D′在P點產(chǎn)生磁場的x、y、z方向分量。可以將該電流環(huán)分為4段,下面以A′B′為例。

由畢奧-薩伐爾定律得:

(2)

式中:μ0=4π×10-7H/m為真空磁導(dǎo)率,r為從源點(即電流元所在位置)指向點P的矢徑。于是有:

(3)

dBy1=0

(4)

(5)

式中:G=(x-a)2+(y-y0)2+(z-z0)2。

(6)

式中:Ei是以ε1,ε2,ε3為自變量的函數(shù),且(i=1,2,3),于是可推導(dǎo)出4段電流疊加產(chǎn)生的磁場:

(7)

(8)

(9)

將式(7)～式(9)代入式(1),于是空間內(nèi)任一點(x,y,z)的總磁場為:

(10)

(11)

Bz=-C[W(b-y,a-x,z)+W(x,b-y,z)+
W(b-y,x,z)+W(x,y,z)+W(a-x,y,z)+
W(y,x,z)+W(y,a-x,z)+W(a-x,b-y,z)]

(12)

式中:輔助函數(shù)Θ、W的表達(dá)式分別為:

(13)

(14)

2 偏心修正模型

實際檢測中主要對轉(zhuǎn)子徑向磁場進(jìn)行測量,而由上述分析可知,飽和充磁的矩形永磁體磁場是有關(guān)空間位置、磁體尺寸、面磁化電流密度的函數(shù),并與面磁化電流密度呈線性相關(guān)。通過坐標(biāo)變換及磁場疊加可以得出,多塊永磁體的磁場分布具有類似的規(guī)律?，F(xiàn)假設(shè)有一個永磁體,已知其在位置(x0,y0,z0)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B0,在位置(x0,y0,z1)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B1;另一個具有相同尺寸結(jié)構(gòu)的永磁體在位置(x0,y0,z1)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B2,則其在位置(x0,y0,z0)的磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)為B3:

(15)

永磁轉(zhuǎn)子中各個磁極的永磁體具有相同的尺寸參數(shù),基于此可以設(shè)計出如圖3、圖4用于檢測偏心識別及修正的方法。總體可分為兩個大步驟,即校準(zhǔn)數(shù)據(jù)庫的預(yù)生成,以及實際校正過程中校準(zhǔn)系數(shù)的計算。

2.1 基于三次樣條的雙向插值

在進(jìn)行校準(zhǔn)數(shù)據(jù)庫生成時,為準(zhǔn)確反映永磁轉(zhuǎn)子任意位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度信息,需要對實驗采樣得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。插值法不僅可以填充現(xiàn)有的數(shù)據(jù),而且還可以對現(xiàn)有的數(shù)據(jù)進(jìn)行平滑處理[14],很好地滿足了實際需求。

常見的插值方法有線性插值、最近鄰插值、三次樣條插值等。其中線性插值僅適合較為簡單的規(guī)律,不能保證在插值點的導(dǎo)數(shù)連續(xù)性,這就導(dǎo)致其插值得到的數(shù)據(jù)光滑性較差;最近鄰插值未考慮周圍點的影響,會產(chǎn)生明顯的鋸齒現(xiàn)象;三次樣條由于其性質(zhì):曲線在銜接點處光滑;樣條的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)連續(xù),因此通過樣條插值可以得到一個收斂性好、光滑性好的曲面[15],同時樣條插值還可以利用較低階的多項式來實現(xiàn)較小的插值誤差,這樣便避免使用高階多項式出現(xiàn)的“龍格現(xiàn)象”。

2.1.1 三次樣條插值函數(shù)的定義

設(shè)區(qū)間[a,b]上給定一個分割:

Δ:a=x0

S(x)為[a,b]上的函數(shù),且滿足下列條件:

(1)S(x),S′(x),S′′(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù);

(2)S(x)在每個子區(qū)間[xi,xi+1]上是三次多項式(i=0,1,2,…,n-1);

則稱S(x)為關(guān)于分割Δ的一個三次樣條函數(shù)。

如果再給定函數(shù)f(x)在分割Δ的節(jié)點上的函數(shù)值fi=f(xi),(i=0,1,2,…,n)且滿足條件:

(3)S(xi)=f(xi),i=0,1,2,…,n,即經(jīng)過所給的每個節(jié)點。

那么就稱S(x)為函數(shù)f(x)在[a,b]上關(guān)于分割Δ的三次樣條插值函數(shù)。

2.1.2 三次樣條曲線的構(gòu)造與求解

關(guān)于樣條插值函數(shù)的求解學(xué)者們已做大量研究[16],這里只做簡單介紹,不進(jìn)行具體推導(dǎo)。本文考慮使用三彎矩法對三次樣條插值函數(shù)進(jìn)行求解[17]。S(x)在子區(qū)間[xi,xi+1]上是三次多項式,可令:

Mi=S′′(xi),Mi+1=S′′(xi),hi=xx+1-xi

于是有:

(16)

(17)

(18)

利用樣條插值函數(shù)的性質(zhì)(3)及其一階導(dǎo)連續(xù)可得下列方程:

μiMi-1+2Mi+λiMi+1=Ti

(19)

(20)

式中:

。

通過求解上述方程組,可以求得Mi(i=0,1,2,…,n),代入S(x)即可以求得每個子區(qū)間[xi,xi+1](i=0,1,2,…,n-1)上的三次樣條插值函數(shù)。

2.2 磁場曲面雙向插值

如圖3所示流程,根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)永磁轉(zhuǎn)子的磁場數(shù)據(jù)進(jìn)行校準(zhǔn)數(shù)據(jù)庫生成。首先,繪制標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)子的磁場曲線,如圖5所示。磁場曲線具有標(biāo)準(zhǔn)的對稱性,因此只需將其中半個磁極的數(shù)據(jù)作為采集點,本次設(shè)定的采集點間距為0.5°。

對于每個采集點,收集其磁感應(yīng)強(qiáng)度-距離信息。在實際表磁檢測中,一般設(shè)定探頭的檢測距離為1～1.5 mm左右,而由偏心產(chǎn)生的誤差在±0.5 mm以內(nèi),因此本次磁感應(yīng)強(qiáng)度-距離表格中距離的設(shè)定范圍為0.5～2 mm,采集間隔為0.05 mm。圖6為其中一個采集點的磁感應(yīng)強(qiáng)度-距離曲線。

圓周方向編碼器分辨率為36 000脈沖,徑向方向激光位移傳感的精度為0.01 mm,基于此進(jìn)行雙向三次樣條插值。首先對圓周方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度進(jìn)行插值,得到在檢測距離確定時轉(zhuǎn)子在任意位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度,圖7a為圓周方向插值前后磁感應(yīng)強(qiáng)度與真實值的對比圖;然后進(jìn)行徑向插值,得到轉(zhuǎn)子上任意點在不同距離上的磁感應(yīng)強(qiáng)度,圖7b為徑向插值前后磁感應(yīng)強(qiáng)度與真實值的對比圖。雙向插值后的數(shù)據(jù)可合成磁感應(yīng)強(qiáng)度曲面,即數(shù)據(jù)校準(zhǔn)庫。最終磁感應(yīng)強(qiáng)度曲面效果如圖8所示。從圖7和圖8的比對中可以看出,進(jìn)行雙向三次樣條插值后,磁場曲面更加光滑,各個位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度的與真實值更加貼近。

3 表磁檢測偏心修正實驗

3.1 檢測系統(tǒng)組成

表磁檢測系統(tǒng)主要由兩坐標(biāo)運(yùn)動平臺,旋轉(zhuǎn)平臺、檢測單元、電控柜、HMI觸摸屏及上位機(jī)組成,如圖9所示。兩坐標(biāo)運(yùn)動平臺采用光柵尺作為位移傳感器,精準(zhǔn)控制位移距離;旋轉(zhuǎn)平臺使用套筒治具對轉(zhuǎn)子進(jìn)行軸心定位,并在檢測中配合編碼器對轉(zhuǎn)子在不同角度的磁場數(shù)據(jù)進(jìn)行采集;檢測單元由高斯計(SHENZHEN MAGNET LAB的TM-10A型數(shù)字式)以及激光傳感器(PanasonicHG-C1030)構(gòu)成;HMI觸摸屏和上位機(jī)作為檢測過程中參數(shù)的人機(jī)交互界面,實時展示并計算磁場數(shù)據(jù),并與高斯計和PLC進(jìn)行通訊;同時工作臺上還嵌有啟動、急停等按鈕。

3.2 偏心檢測的修正誤差

試驗人機(jī)交互下偏心檢測修正系統(tǒng)的修正誤差,探究該方法的準(zhǔn)確性,以及在實際表磁檢測中的適用性。

選取一個待檢測的永磁轉(zhuǎn)子,隨機(jī)初始一個軸心位置偏差,設(shè)定探頭檢測距離為1.00 mm。選取并測量100個采樣點的磁場數(shù)據(jù),并根據(jù)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)庫計算修正系數(shù)進(jìn)行逐點校正。

修正誤差的計算公式可表述為式(21)和式(22):

(21)

(22)

式中:i=1,2,3,…,100,Bti表示第i個采樣點在當(dāng)前距離測得的磁感應(yīng)強(qiáng)度,Bmi表示該采樣點經(jīng)修正過后的磁感應(yīng)強(qiáng)度,Bri表示該采樣點在設(shè)定距離處實際測得的磁感應(yīng)強(qiáng)度。

圖10為修正前后采樣點磁感應(yīng)強(qiáng)度相對偏差的對比圖。經(jīng)過偏心修正后,采樣點的磁感應(yīng)強(qiáng)度相對偏差可控制在0.9%以內(nèi)。這里仍然存在著誤差的原因有以下幾個方面:

(a) 插入式 (b) 內(nèi)置式 (c) 表貼式

圖2 矩形永磁體磁場解析計算示意圖

圖3 校準(zhǔn)數(shù)據(jù)庫生成圖

圖4 實際表磁檢測的校準(zhǔn)

圖5 標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)子磁場數(shù)據(jù)曲線 圖6 磁感應(yīng)強(qiáng)度-距離曲線

(a) 磁感應(yīng)強(qiáng)度隨角度變化曲線 (b) 磁感應(yīng)強(qiáng)度隨距離變化曲線

(a) 散點圖 (b) 插值前的磁場曲面

圖9 表磁檢測實驗平臺

圖10 相對誤差對比圖

(1)硬件方面,檢測探頭即高斯計與激光位移傳感器本身存在著最小分辨率;

(2)真實轉(zhuǎn)子的磁場分布與理論分析會有些許出入,比如轉(zhuǎn)子充磁未完全充分均勻、外界干擾等。

實驗表明,該修正方法針對現(xiàn)有的偏心現(xiàn)象有明顯的效果,0.9%的相對誤差已完全滿足了對永磁轉(zhuǎn)子表面磁場的檢測要求。

4 結(jié)論

本文針對在使用高斯計直接對永磁轉(zhuǎn)子表面磁場分布進(jìn)行測量時出現(xiàn)的偏心問題,基于分子環(huán)流模型,利用畢奧-薩伐爾定理分析了轉(zhuǎn)子磁極的空間磁場分布,開發(fā)了一種用于表磁偏心修正的系統(tǒng)。該系統(tǒng)首先通過對采樣點的磁感應(yīng)強(qiáng)度收集,建立校準(zhǔn)數(shù)據(jù)庫;并對離散采樣點的數(shù)據(jù)進(jìn)行基于三次樣條函數(shù)的雙向插值,對數(shù)據(jù)庫進(jìn)行擴(kuò)充;然后在實際檢測中通過計算各測量點的修正系數(shù)對其進(jìn)行逐點修正。

最終得出以下結(jié)論:①使用分子環(huán)流模型分析永磁轉(zhuǎn)子空間磁場分布具有較強(qiáng)的適用性;并根據(jù)推得的磁場表達(dá)式可知,磁體的徑向磁感應(yīng)強(qiáng)度與采樣點的距離及位置相關(guān),且與面磁化電流密度呈線性相關(guān);②三次樣條雙向插值在原有數(shù)據(jù)進(jìn)行擴(kuò)充,可使得到的磁場分布曲面更加光滑并與實際值更加貼近;③經(jīng)該系統(tǒng)修正后的磁場數(shù)據(jù)與真實值的相對誤差可控制在0.9%以內(nèi),該修正系統(tǒng)是可行的且精準(zhǔn)度較高。