唐 毅

(江蘇省鎮(zhèn)江中學 212000)

1 問題提出

在解析幾何中,圓錐曲線是核心內(nèi)容之一. 我們通常采用“先用幾何眼光觀察與思考,再用坐標法解決”的策略,用數(shù)形結(jié)合的思想研究這些曲線. 然而,在平時的教學中,我們發(fā)現(xiàn),許多學生在解決解析幾何問題時,常規(guī)的操作水到渠成,但一旦到達化簡、求值的關(guān)鍵運算步驟時,就容易失去方向,導致功虧一簣. 這表明,在式子變形等計算訓練方面,現(xiàn)在的教學有著一定缺陷,在日常教學中,教師總是認為變形是繁瑣而沒有價值的訓練,學生也認為只要認真對待就能夠算出結(jié)果,從而忽視了運算中的觀察和簡化,這才造成了運算素養(yǎng)及解題能力的弱化. 圓錐曲線題目通常有較大的運算量,因此運算的技巧,例如巧妙的利用式子變形,能夠起到非常重要的作用. 在圓錐曲線教學中,我們需要注意收集圓錐曲線的典型例題,挖掘其中豐富多彩的性質(zhì),并與學生進行分析,引導學生對幾何問題進行代數(shù)化簡變形. 解析幾何難,難在運算;運算難,難在關(guān)鍵步驟的處理;關(guān)鍵步驟難,難在解題方向不明,特別是圓錐曲線中與定點、定值有關(guān)的問題. 這些問題體現(xiàn)了運動變化的思想,同時也蘊含著運動變化過程中保持的某種“規(guī)律性”或“不變性”.

下面我們以一道有關(guān)定點定值問題的高考題為例,探索如何獲取結(jié)論,如何利用結(jié)論規(guī)劃解題路徑,如何優(yōu)化運算,提升問題解決的效率,在分析這道高考題的過程中,我們可以看到式子變形能力起到的重要作用.

(2)證明:直線CD過定點．(本文重點討論)

2 探求性質(zhì)

2.1 精細作圖 明晰運算對象

幾何引領(lǐng)代數(shù),運算印證幾何．作出圖形、分析圖形間關(guān)系是深刻理解題意,挖掘問題本質(zhì),尋求解題突破口的必經(jīng)之路．按題目要求準確反映圖形特征:如圖1,選取點P的幾個不同位置而形成的直線即可大致發(fā)現(xiàn)直線CD恒過x軸上的某定點,所以在計算時關(guān)鍵是計算出直線CD與x軸交點的橫坐標．

圖1

2.2 特殊轉(zhuǎn)化 探索運算思路

圓錐曲線背景下運動或不變性必然會導致存在復雜的關(guān)于字母符號的化簡,如果課堂實踐中先引導學生進行特殊情況下的轉(zhuǎn)化,就能為一般化情況的探索指明方向．

直覺上感知如果直線CD過定點,必在x軸上．可以通過對稱的手段感知．關(guān)于對稱,由橢圓圖形以及點P軌跡的軸對稱性,在某情形成立之下,作出此類情況關(guān)于x軸的鏡像必定也符合題意,如圖2,說明點在x軸上的必然性．

圖2

如果尚未獲取點的位置信息,那么就選取兩個特殊位置,如取yP=0,yP=1,兩種狀態(tài)的CD交點必為定點．

如果點P的縱坐標趨向于無窮大,那么直線PA與PB將趨近于與y軸平行,C,D兩點無限逼近A,B,如圖3,直線CD的極端情形即為x軸,同樣也說明了定點的位置．

圖3

通過特殊情形判斷分析出了定點位置后,接著就是需要通過代數(shù)運算來證明,在這一過程中,如果學生有良好的數(shù)學式子變形能力,結(jié)果并不難得到.但如果式子變形能力差,計算將變得非常復雜,容易導致運算錯誤.

3 優(yōu)化運算

3.1 化探求為驗證

從這里就可以看出,如果不具備良好的式子變形能力,而是通過求根公式來求解x1,x2,計算就會復雜很多,甚至會帶來不必要的運算錯誤.若是通過圖形認識到直線PA與橢圓的公共點為點P和點A,從而可知對應的關(guān)于x的一元方程的兩個根就是點P和點A的橫坐標,從而引導快速運算.

3.2 化運算為表述

同上解,得到

3.3 化解根為構(gòu)造

評注:在這個解法中,式子變形起了非常重要的作用,特別是將x+3和x-3看成整體,然后再進行式子變形,使得求解變得簡潔很多.如未進行這樣的優(yōu)化計算,而是機械地代入方程進行繁雜的計算,在具有這么多未知量的情況下,想得到準確結(jié)果,絕非易事.

因此,教師在具體優(yōu)化計算的教學過程中,需要幫助學生回顧幾何特征,從尋找運算思路,到邊化簡變形邊發(fā)現(xiàn)核心計算難點,再到突破難點反思運算過程,學生就一道題不斷經(jīng)歷:幾何問題——代數(shù)方向——運算策略——化簡難點——解決問題——反思比較的過程,學生的運算素養(yǎng)必然不斷獲得提升.

4 結(jié)束語

與圓錐曲線相關(guān)的題目浩如煙海,現(xiàn)在的教學依然有著很大缺陷,僅僅依靠讓學生做大量的練習是不能讓他們真正理解圓錐曲線的特征并掌握運算規(guī)律的.我們要善于利用典型的問題,結(jié)合其結(jié)論特征,在運算過程中,仔細觀察每一步式子的結(jié)構(gòu),進行合理有效的式子變形,優(yōu)化運算,提高運算準確性.因此,在例題化歸、變式訓練、課后作業(yè)中,我們需要堅持在更換背景、原命題逆命題互換、化簡策略變化上多思考,多實踐,加大計算分析的力度,給學生提供從不同角度感悟解析幾何思想與方法的機會,不斷提升運算素養(yǎng).同時,我們也需要更加強調(diào)運算能力的重要性,讓學生意識到只有通過強化運算能力,才能真正掌握解題的方法和技巧,從而在更高的層次上理解圓錐曲線和其他解析幾何的知識.