胡芳舉

(湖南省桃江縣第一中學 413400)

最近筆者在研究一類不等式賽題時,得到了如下一個不等式:

這個不等式的證明比較復雜,先給出下面幾個引理.

證明由引理1得

引理2已知x≥y>0,且x+y=1,k∈N*,則xk-yk≥xk+1-yk+1.

證明xk-yk≥xk+1-yk+1

?xk-xk+1≥yk-yk+1

?xk(1-x)≥yk(1-y)

?xky≥ykx

?xk-1≥yk-1,

而最后一式顯然成立.

由引理2易得如下:

推論2已知x≥y>0,且x+y=1,n≥k(n,k∈N*),則xk-yk≥xn-yn.

引理3若x,y>0,且x+y=1,n≥k(m,n,k∈N*),則

證明不妨設x≥y,原不等式

因為xm-1≥ym-1,所以只要證xn+yk≤yn+xk即xn-yn≤xk-yk,由推論2知該式成立,故原不等式成立.

反復運用引理3可得如下:

推論3若x,y>0,且x+y=1,m≥n≥k(m,n,k∈N*),則

引理4若x,y>0,且x+y=1,n≥k(n,k∈N*),則

證明不妨設x≥y,原不等式

≥0

≥0

≥0

?xnyk-1(yn+xk)(yn+yxk-1)≥ynxk-1(xn+yk)(xn+xyk-1)

?xny2n+k-1+xn+k-1yn+k+xn+kyn+k-1+xn+2k-1yk

≥ynx2n+k-1+yn+k-1xn+k+yn+kxn+k-1+yn+2k-1xk

?xny2n+k-1+xn+2k-1yk≥ynx2n+k-1+yn+2k-1xk

?(xny2n+k-1-ynx2n+k-1)+(xn+2k-1yk-yn+2k-1xk)≥0

?(xy)n(yn+k-1-xn+k-1)+(xy)k·(xn+k-1-yn+k-1)≥0

?(xn+k-1-yn+k-1)[(xy)k-(xy)n]≥0,

因為x≥y>0,且0

所以xn+k-1-yn+k-1≥0,(xy)k≥(xy)n,

所以上式成立,故原不等式成立.

文首不等式的證明

由推論3得

(*)

當n=k+1時,反復運用引理4可得

此時不等式成立;

當n≥k+2時,反復運用引理4可得

代入(*)式得

此時不等式成立.證畢.