金 鵬

(江蘇省蘇州高新區(qū)教研室 215011)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版2020年修訂)》中明確指出:“基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)活動應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì),創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境、提出合適的數(shù)學(xué)問題,引發(fā)學(xué)生思考與交流,形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).”問題總是與情境相伴而生,不論是生活情境、數(shù)學(xué)內(nèi)部情境還是科學(xué)情境,其目標都是通過創(chuàng)設(shè)情境來聯(lián)結(jié)學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)和認知心理,進而引發(fā)學(xué)生的認知沖突形成問題,促進學(xué)生主動地思考與探究.

著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說“問題是數(shù)學(xué)的心臟.”有問題才有思考,有思考才能進行深層學(xué)習(xí).設(shè)計問題鏈,引導(dǎo)學(xué)生思考,培養(yǎng)學(xué)生思維,這樣的教學(xué)方式已得到一線教師的廣泛認可,但一些數(shù)學(xué)課堂中的問題設(shè)計仍存在問題,或比較瑣碎,或問題窄化,或過于開放,教師自問自答的現(xiàn)象較為普遍.由此可見,問題需要設(shè)計,而且需要設(shè)計有效的問題來推動組織教學(xué).

有效問題是從學(xué)生當前學(xué)習(xí)準備出發(fā),依據(jù)學(xué)生已有的認知水平、知識基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)經(jīng)驗而提出的,是能夠促使學(xué)生積極回答并投入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的問題.有效問題應(yīng)充分調(diào)動學(xué)生已有的知識經(jīng)驗,既能激起學(xué)生的探究欲望和學(xué)習(xí)興趣,又能讓學(xué)生愿意參與思考與交流,促進他們獲取知識,有效解決問題,發(fā)展高階思維.有效的問題設(shè)計應(yīng)體現(xiàn)以下特征:(1)驅(qū)動性.有效的問題能夠銜接知識與知識之間的關(guān)聯(lián),從一個知識驅(qū)動到另一個知識,能喚起學(xué)生已有知識結(jié)構(gòu)中的某些思維點和基本活動經(jīng)驗,激活學(xué)生的思維狀態(tài).(2)適切性.有效的問題都應(yīng)有明確的目標,應(yīng)落在學(xué)生認知的最近發(fā)展區(qū),符合學(xué)生的認知規(guī)律和思維特點,貼近教學(xué)內(nèi)容的重難點,利于學(xué)生掌握重點和突破難點.(3)發(fā)展性.有效的問題往往著眼于學(xué)生思維的發(fā)展,讓學(xué)生處于“跳一跳,夠得到”的學(xué)習(xí)狀態(tài)中.布魯納說:“向?qū)W生提出挑戰(zhàn)性問題,可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展智慧”.(4)任務(wù)性.有效的問題一般都有明確的任務(wù)指向,通過問題引領(lǐng)讓學(xué)生非常明確地去完成一個個任務(wù),進而完成對知識的建構(gòu).

本文以蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊《三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)》的第1課時“三角函數(shù)的周期性”一課為例,談?wù)剬τ行栴}設(shè)計的一些思考．

1 “三個研究”是有效問題設(shè)計的前提

1.1 研究數(shù)學(xué)——整體把握教學(xué)內(nèi)容,確保問題的驅(qū)動性

本節(jié)課的主要內(nèi)容是周期函數(shù)的定義和正弦、余弦、正切函數(shù)的周期公式．從知識本身來看,本節(jié)課是比較簡單的,即周期函數(shù)的定義和三角函數(shù)的周期公式,內(nèi)容簡潔,結(jié)論簡單,容易記住,并且記住后完全能夠解題.但是,數(shù)學(xué)教學(xué)不能只停留于讓學(xué)生記住結(jié)論用于解題,而應(yīng)該在知識的形成過程中進行思維訓(xùn)練,在分析問題和解決問題中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

從學(xué)習(xí)單元來看,周期性與奇偶性、單調(diào)性一樣,它們均為函數(shù)的重要性質(zhì),在概念建構(gòu)過程中它們的語言轉(zhuǎn)換保持著前后一致,最終落實到思想方法和數(shù)學(xué)觀念上的一致,這正是單元整體教學(xué)的價值體現(xiàn).同時,周期性也是高中數(shù)學(xué)中的核心概念,核心概念的形成都應(yīng)成為數(shù)學(xué)抽象的良好載體,包括從數(shù)形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念,從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu),并用數(shù)學(xué)語言和符號予以表征等.本節(jié)課中的數(shù)學(xué)抽象可以分為四個層面:一是從日常生活中的周期現(xiàn)象概括出共同特征;二是將具體實例的共同特征抽象為函數(shù)問題;三是對函數(shù)周期性的概念進行符號表征;四是三角函數(shù)周期公式及代數(shù)推理．

1.2 研究學(xué)生——準確理解學(xué)生學(xué)情,確保問題的適切性

從學(xué)生的知識儲備來看,本章的前兩節(jié)已經(jīng)學(xué)習(xí)過三角函數(shù)定義,三角函數(shù)線,誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識,為周期性概念的形成提供了認知基礎(chǔ)．從學(xué)生的能力素養(yǎng)來看,一方面,他們已經(jīng)經(jīng)歷過奇偶性、單調(diào)性概念的抽象過程,已具備了進行符號表征的方法,對“任意……,都……”等邏輯用語的含義有了一定程度的理解．另一方面,由于不同學(xué)生對同一概念會呈現(xiàn)不同程度的刻畫水平,加之教材中奇偶性、單調(diào)性兩個概念的形成,都是借助于已有或具體的函數(shù)圖象特征進行刻畫,而周期性在本版教材中是先抽象后具象,學(xué)生在概念建構(gòu)時少了直觀想象的支撐,對數(shù)學(xué)抽象的能力要求會更高．

1.3 研究目標——科學(xué)分解教學(xué)任務(wù),確保問題的發(fā)展性

基于教材的理解和學(xué)情的考量,將本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)分解成以下任務(wù)系列:

任務(wù)1:以“周期現(xiàn)象”為問題情境,抽象概括出“循環(huán)往復(fù)”的共同特征,并具體表述為“每間隔固定的時間,現(xiàn)象就會重復(fù)出現(xiàn)”．

任務(wù)2:以“圓周上一點的勻速運動”為例,將具體情境升格為函數(shù)問題,聚焦自變量和函數(shù)值的變化規(guī)律,將共同特征進化為“自變量每間隔一定的量,函數(shù)值相等”．

任務(wù)3:類比奇偶性、單調(diào)性概念形成過程中“自變量的關(guān)系、函數(shù)值的關(guān)系”的兩個維度,嘗試用符號語言來表征函數(shù)周期性的概念,注重“常數(shù)”,“任意”,“都有”等關(guān)鍵詞的理解．

任務(wù)4:按照周期函數(shù)的定義,聯(lián)想誘導(dǎo)公式,得出三類基本三角函數(shù)的周期,了解周期的不唯一性和最小正周期的概念,并借助三角函數(shù)線予以直觀理解．

任務(wù)5:按照周期函數(shù)的定義和三類基本三角函數(shù)的周期,會推導(dǎo)求解y=Asin(ωx+φ)類函數(shù)的周期,并得出周期公式．能用周期公式快速求解三角函數(shù)的周期．

結(jié)合上述分析,可以將本節(jié)課的教學(xué)目標設(shè)定為:

經(jīng)歷函數(shù)周期性概念的抽象過程,會用符號語言刻畫周期性概念,理解函數(shù)周期性的實質(zhì),逐步養(yǎng)成數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)直觀等核心素養(yǎng)．

經(jīng)歷三角函數(shù)周期公式的推導(dǎo)過程,體會函數(shù)三角函數(shù)是刻畫周期性重要數(shù)學(xué)模型,會用周期公式快速求解一般三角函數(shù)的周期．

2 立足思維培養(yǎng)的問題設(shè)計的教學(xué)展示

(下文記錄了本課中重點教學(xué)片段,其中學(xué)生的回答做了適當?shù)恼恚?

情境1:(課件演示)點在圓周上勻速運動(如圖1)．

圖1

情境2:(圖片展示)潮汐變化圖．

問題1上述情境都體現(xiàn)了什么現(xiàn)象?有什么共同特征?你們還能再舉一些例子嗎?

生:周而復(fù)始、循環(huán)、重復(fù)出現(xiàn)．

師:能說得具體一點嗎?

生:間隔一定的時間,現(xiàn)象就會重復(fù)出現(xiàn)．

師:說的很好,我們把這種現(xiàn)象叫做周期性現(xiàn)象,在我們生活經(jīng)驗中已經(jīng)有了周期的初步概念,如情境2中點運動一周所用的時間就是一個周期．

學(xué)生找出生活中各種周而復(fù)始的現(xiàn)象:“日出日落”、“寒來暑往”、“四季輪回”、“月亮從虧到盈的變化”、“摩天輪”等．

生:今天禮拜二,7天以后還是禮拜二,再過7天,還是禮拜二．

師:這個更形象,一周7天．這里有兩個變量,一個是天數(shù),一個是周幾．那么從函數(shù)的角度,我們?nèi)绾蝸硌芯恐芷谛阅?

設(shè)計意圖設(shè)計源于學(xué)生的生活及已學(xué)知識的兩個情境,共同指向于“有什么共同特征”這一問題,讓學(xué)生根據(jù)自己的生活經(jīng)驗感知周期性,用自己的語言概括蘊含在情境中的數(shù)學(xué)本質(zhì)．問題1實際上是承前啟后的一個“大問題”,在本章的章首語就已出現(xiàn),點在圓周上作勻速運動是貫穿本章始終的“大背景”,因此,問題1是基于學(xué)生已有的“感受”和“直覺”而提出的,是基于已有認知經(jīng)驗形成的驅(qū)動性問題.

問題2在情境1中,若點P從半徑為1的圓O上A點位置開始在圓周上按逆時針方向進行勻速運動,每4分鐘轉(zhuǎn)動一周．O點到地面的距離為2．設(shè)點P到地面的距離為y,運動時間為x分鐘,則y是x的函數(shù),記為y=f(x)．如何用函數(shù)的語言來刻畫點P的運動規(guī)律呢?

留給學(xué)生一定的時間進行自主探究,允許學(xué)生適當?shù)慕涣饔懻?教師不要旁白,也不要提示．部分學(xué)生有結(jié)論后,展示結(jié)論并要求說明理由．

生:我的結(jié)論是f(x)=f(x+4)．

師:你是怎樣得到的?

生:點P運動的規(guī)律是“間隔固定的時間,點P就會重復(fù)出現(xiàn)在同一位置”．對函數(shù)而言就是“自變量增加固定的長度,函數(shù)值相同”．

師:你說的“固定的長度”可以表達成“固定的數(shù)量”．換句話說,就是“轉(zhuǎn)一圈后,點P回到了原來的位置．”

設(shè)計意圖問題2旨在引導(dǎo)學(xué)生將實際問題數(shù)學(xué)化,用數(shù)學(xué)語言表征周期性現(xiàn)象,由于學(xué)生在之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了大量的符號語言,已初步形成了符號語言表征系統(tǒng),學(xué)生已經(jīng)具備運用抽象的符號語言來表征數(shù)學(xué)關(guān)系的能力,因而直接設(shè)問“如何用函數(shù)的語言來刻畫點P的運動規(guī)律”,這體現(xiàn)了問題設(shè)計的適切性.如果將問題設(shè)問成“你可以得到哪些結(jié)論”,像這樣的開放設(shè)問容易誤導(dǎo)學(xué)生去尋找周期運動的性質(zhì),必然沖淡學(xué)習(xí)的主題.同時,這一環(huán)節(jié)中也無需設(shè)計過多瑣碎的鋪墊性問題,旨在讓學(xué)生在一定的思維空間中進行深層思考,從而體現(xiàn)問題的發(fā)展性．

問題3我們已經(jīng)學(xué)會了用符號語言來刻畫函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性這兩個重要的概念．現(xiàn)在我們能否用類似的方法來刻畫函數(shù)的周期性呢?

學(xué)生獨立思考,嘗試在筆記本上寫出“自己的表達”,再給學(xué)生一定時間進行討論.隨后展示一部分學(xué)生的成果,共同討論,教師給予適當引導(dǎo),讓大部分學(xué)生都能理解周期性的符號語言．

設(shè)計意圖問題3是引導(dǎo)學(xué)生進行抽象表征的驅(qū)動性問題,驅(qū)動學(xué)生從感性思考到理性思考,從形象表征到抽象表征的關(guān)鍵問題.由于問題的抽象性比較強,要給予學(xué)生充分思考的時間,這當中不僅要有學(xué)生獨立思考的活動,還需有同伴間進行討論與交流的活動,并且根據(jù)學(xué)生的“思維現(xiàn)場”,教師作適當?shù)奶崾九c指導(dǎo),讓學(xué)生處于“跳一跳,夠得到”的思維碰撞中．這一過程旨在讓學(xué)生認識到奇偶性、單調(diào)性和周期性這三個性質(zhì)的符號化定義的共同特征——均是從自變量的關(guān)系和函數(shù)值的關(guān)系兩個維度進行刻畫,本質(zhì)都是等式恒成立,因而也有“任意……,都……”的同一格式．實際教學(xué)時,大部分學(xué)生是能夠?qū)懗鰂(x)=f(x+T),但對“任意……,都……”的理解還是存在一定的困難,這就說明在形式化語言表征過程中學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力還需進一步加強.

問題4你能用函數(shù)周期性的定義判斷y=sinx,y=cosx,y=tanx是周期函數(shù)嗎?并指出它們的周期分別是多少?

生:因為終邊相同的角三角函數(shù)值相等,所以有

sin(x+2π)=sinx,cos(x+2π)=cosx,

tan(x+2π)=tanx;

按照函數(shù)周期性的定義,2π都是它們的周期．

師:有沒有其他想法或不同意見?

生:正切函數(shù)的周期應(yīng)該是π,因為根據(jù)誘導(dǎo)公式有tan(x+π)=tanx．

師:兩位同學(xué)的結(jié)論都有道理,因為都符合周期函數(shù)的定義,這說明什么?

生:一個周期函數(shù)的周期不止一個,如果T是f(x)的一個周期,則nT(n∈Z,n≠0)一定也是它的周期.

師:如果一個周期函數(shù)的周期存在一個最小的正數(shù),那么這個最小的正數(shù)就叫這個函數(shù)的最小正周期．如果不作特殊說明,周期就是指最小正周期．

追問:正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的最小正周期分別是多少?

生:y=sinx,y=cosx最小正周期是2π,y=tanx最小正周期是π.

師:除了用定義驗證,有沒有方法證明或驗證嗎?

生:通過三角函數(shù)線驗證．

師:(幾何畫板演示)觀察三角函數(shù)線的變化規(guī)律,你能從定義(符號語言)和圖象(圖形語言)直觀感受到三種三角函數(shù)的周期嗎?

設(shè)計意圖問題4是一個任務(wù)性問題,引導(dǎo)學(xué)生完成了“是不是”——“為什么”——“是多少”的學(xué)習(xí)任務(wù).這一問題旨在引導(dǎo)學(xué)生從周期性定義出發(fā)解釋三種函數(shù)的周期性,并借助已學(xué)知識(如誘導(dǎo)公式)來理解三種函數(shù)的周期性,加強周期性定義的形式化理解,再引導(dǎo)學(xué)生從“形”的角度(三角函數(shù)線)解決思維困惑,以此促進學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)的提升.

問題5由函數(shù)的周期性定義你能推出函數(shù)f(x)=Asinωx及f(x)=Acosωx(其中A,ω為常數(shù),且A≠0,ω>0)的周期嗎?

這個問題提出后,學(xué)生陷入沉思.

師:這里采用了換元法.你能進一步地求f(x)=Asin(ωx+φ),f(x)=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ為常數(shù),且A≠0,ω>0)的周期嗎?

設(shè)計意圖問題5的設(shè)計是體現(xiàn)了問題的發(fā)展性,它是解決完問題4后的拓展升華,也是對周期性定義更抽象的認識.問題5的解決旨在引導(dǎo)學(xué)生回歸定義,借助整體和化歸的思想進行形式化的推演,加深對周期性定義的理解,設(shè)計螺旋上升的問題鏈,讓概念理解的過程成為學(xué)生主動同化與順應(yīng)的過程,實現(xiàn)思維的進階.

3 立足思維培養(yǎng)的有效問題設(shè)計的幾點思考

3.1 有效問題設(shè)計要關(guān)注學(xué)科育人的目標

數(shù)學(xué)作為一門思維性較強的學(xué)科,數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目標是培養(yǎng)學(xué)生的理性思維和理性精神,思維培養(yǎng)在本質(zhì)上是促進學(xué)生思維品質(zhì)的自然覺醒,通過設(shè)計有效問題,引導(dǎo)學(xué)生深度思考,留足學(xué)生思考問題的時間與空間,充分暴露學(xué)生的思維過程,才能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中提升思維品質(zhì).

本節(jié)課的目標之一是讓學(xué)生在問題的思考與解決中深刻理解周期性定義的本質(zhì),提升學(xué)生抽象思維能力.這就要求在問題的設(shè)計時要以思維能力為立意,借助知識載體設(shè)計出引發(fā)學(xué)生深度思考的問題.從問題1到問題5的過程是抽象思維不斷進階的過程,學(xué)生在整個過程中從現(xiàn)象到抽象,從情境到問題,逐步抽象出周期性定義的本質(zhì),不斷形成對周期性定義的抽象認知,同時也具備了運用已有知識建構(gòu)新知識的基本活動經(jīng)驗.實際上,經(jīng)驗與能力是不可能直接教給學(xué)生的,都需要學(xué)生在問題解決中經(jīng)歷獨立思考、自主探究、合作交流與體驗感悟.設(shè)計問題時要充分研究教學(xué)內(nèi)容,研究學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)與認知心理,進而設(shè)計出適宜于學(xué)生思考的問題素材.

3.2 有效問題設(shè)計要關(guān)切思維訓(xùn)練的價值

首先,有效問題的設(shè)計應(yīng)具有邏輯訓(xùn)練的價值.數(shù)學(xué)是一門邏輯性較強的學(xué)科,數(shù)學(xué)思維的邏輯性是數(shù)學(xué)學(xué)科與其他學(xué)科不同之處,只有那些環(huán)環(huán)相扣、層層深入的問題鏈才能促使學(xué)生整體地邏輯地思考問題.這節(jié)課的五個問題是按照如下的邏輯設(shè)計的:研究什么問題→怎么研究→是否有可借鑒的經(jīng)驗→從哪些方面進行研究→如何應(yīng)用.五個問題的順序與知識生成的內(nèi)在邏輯一致,也與學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑一致.借助這樣有邏輯的思考,問題與問題之間環(huán)環(huán)相扣,將問題串聯(lián)起來形成了一個邏輯清晰、驅(qū)動有力的問題系統(tǒng),通過問題將五個任務(wù)串成了一個邏輯連貫的“任務(wù)群”,學(xué)生在“任務(wù)群”中進行探究、思考與解決問題,達到了訓(xùn)練思維的目標.

其次,問題設(shè)計應(yīng)具有思維導(dǎo)引的功能.問題1中“有何共同特征”是引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)抽象的驅(qū)動性問題,問題3中“如何用數(shù)學(xué)語言刻畫”是進行數(shù)學(xué)抽象時最直接的設(shè)問,這兩個問題是引導(dǎo)學(xué)生進行思維訓(xùn)練的導(dǎo)向性問題,讓學(xué)生在問題導(dǎo)向下不會迷失思考探究的方向.在設(shè)計問題2和問題4時,充分考慮到思維訓(xùn)練時的“思考空間”,沒有過多地設(shè)計子問題或鋪墊性問題,目的就是充分讓學(xué)生自由去思考,這對于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和探究性思維是有積極意義的.

3.3 有效問題設(shè)計要重視高階思維的培養(yǎng)

有效問題設(shè)計是促進學(xué)生高階思維發(fā)展的關(guān)鍵.教師設(shè)計一系列有思維梯度、有層次的問題情境,將知識點分解成一系列相互關(guān)聯(lián)的、相對容易的“問題串”,或是將某個問題的解決思維和過程加以分解,成為相互關(guān)聯(lián)的“任務(wù)群”,然后通過總結(jié)各個階段的有效方法,最終獲得問題解決的完整思維過程,進而使學(xué)生分析、解決數(shù)學(xué)問題的思維能力不斷提升.筆者認為學(xué)生通過完成高階問題最終形成的思維都是高階思維,這些“問題串”和“任務(wù)群”都屬于高階問題.教師創(chuàng)設(shè)高階問題情境讓學(xué)生由淺入深、由易入難、前后連貫地思考問題,培養(yǎng)學(xué)生獨立地分析問題、辨別問題并對問題做出評價的能力,最終形成高階思維.

本節(jié)課的五個主問題構(gòu)成了訓(xùn)練學(xué)生的思維鏈,從歸納到抽象再到概括,從表征到理解再到遷移,無一不指向培養(yǎng)學(xué)生思維的抽象性和深刻性.基于學(xué)生的認知起點,充分尊重學(xué)生的思維狀態(tài)來設(shè)計問題,并根據(jù)學(xué)生臨場的不同思維狀態(tài)調(diào)整教學(xué)策略.對思維空間較小的問題,教師應(yīng)留足思考時間讓學(xué)生充分思考;對思維空間稍大的問題,要求學(xué)生先獨立思考,嘗試表達,再讓學(xué)生互相交流與討論;對于具有探索性的問題(如問題4),可能還需要在生生互動、師生互動的共同活動中,逐步解決問題.只有給予學(xué)生思維的時間與空間,關(guān)注學(xué)生思維的生成,適當調(diào)整教學(xué)方式,學(xué)生才能拾級而上,形成高階思維．

數(shù)學(xué)教學(xué)要在提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力上下功夫,體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科對學(xué)生思維品質(zhì)的教育,培養(yǎng)學(xué)生的理性思維品質(zhì),這理應(yīng)是數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的重要內(nèi)容之一.教學(xué)中,要通過有效的問題設(shè)計來充分展示數(shù)學(xué)思維的本質(zhì),讓學(xué)生在問題解決中提升數(shù)學(xué)素養(yǎng),通過有效的問題設(shè)計讓探索與發(fā)現(xiàn)在課堂上真正發(fā)生,這樣才能讓創(chuàng)新思維在課堂上真正發(fā)生.