鄭濤濤,韓笑笑,陶祥興,季彥颋

(浙江科技學(xué)院 理學(xué)院,浙江 杭州 310023)

近年來,災(zāi)害天氣的頻發(fā)對城市及企業(yè)的發(fā)展產(chǎn)生了很多不利影響。我國每年因氣象災(zāi)害損失慘重。2021年下半年,河南、山西等地日降雨量突破歷史極值,多地遭遇超強(qiáng)暴雨,給城市發(fā)展和人民生活帶來了極大危害。鄭州商品交易所與中國氣象局簽署戰(zhàn)略合作框架協(xié)議,雙方合作編制氣溫指數(shù)、研發(fā)天氣衍生品。2020年11月27日《應(yīng)對氣候變化報告2020:提升氣候行動力》顯示:全球變暖的趨勢仍然存在,全球氣候變化可能會嚴(yán)重威脅自然生態(tài)系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)社會的發(fā)展和人類健康,要正確認(rèn)識和防范氣候風(fēng)險。同時,非災(zāi)難性天氣變化對生產(chǎn)經(jīng)營造成影響也不容忽視,如能源公司因天氣變化而引起的需求變動導(dǎo)致銷量下降等,而天氣衍生品的推出能夠很好地幫助這類公司規(guī)避風(fēng)險,穩(wěn)定收入。

在針對天氣衍生品的研究中,定價問題備受關(guān)注。市場上大多數(shù)投資者使用歷史燃燒分析(Historical burn analysis,HBA)的定價方法[1]。然而,Jewson等[2]研究已表明:HBA方法雖然簡單易操作,但也易造成極大的定價錯誤。如今,更多的是利用動力學(xué)模型直接模擬未來溫度的變化。每日氣溫建模方法較全面地利用了日均氣溫(Daily average temperature,DAT)的歷史數(shù)據(jù),相較于HBA、精算定價法或指數(shù)建模法等其他方法,其定價更為準(zhǔn)確[2]。目前的研究中,主要有兩種方法來對DAT建模,一種是離散過程的建模,如時間序列模型AR[3]、ARMA[4]、ARIMA[5]、SARIMA[6]、AR-GARCH[7]以及基于溫度的傅里葉變換[8-9]等;另一種則是連續(xù)型隨機(jī)過程建模,根據(jù)DAT歷史數(shù)據(jù)表現(xiàn)出的均值回復(fù)特征,通常采用奧恩斯坦-烏倫貝克(Ornstein-uhlenbeck,OU)過程建模[5,9-12]。以O(shè)U過程為基礎(chǔ),采用一個正弦函數(shù)描述氣溫顯著的季節(jié)性變化[10]。同時,在氣溫波動中,季節(jié)性變化也較為明顯,根據(jù)氣溫波動的特點,將氣溫波動視為一個分段連續(xù)函數(shù),每月波動為一常數(shù)[10]。Mraoua等[13]將氣溫波動同樣也用一個OU過程進(jìn)行刻畫。然而,分段恒定的波動會低估實際的波動,導(dǎo)致天氣衍生品價格被低估,且模型的正態(tài)性檢驗假設(shè)通常不成立[8]。此外,氣溫波動表現(xiàn)出顯著的自相關(guān)特性,分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(Fractional brownian motion,FBM)能夠刻畫具有長期依賴性的隨機(jī)過程[14]。由于日均氣溫溫差近似服從正態(tài)分布,故對于噪聲部分通常采用布朗運(yùn)動[3,10,13]或Lévy過程[15]進(jìn)行刻畫。除此之外,CAR過程[6,16]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[17]和小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Wavelet neural network,WNN)[18]等方法也被用于DAT的建模。天氣衍生品的定價精度取決于氣溫預(yù)測模型的精度,筆者采用連續(xù)型隨機(jī)過程建模方法,在已有文獻(xiàn)基礎(chǔ)上,對氣溫波動的動力學(xué)模型部分深入研究,在氣溫波動項中增加時變的均值回復(fù)速度,使模型滿足正態(tài)分布的原假設(shè)。另外,采用已提出的基于時間序列與隨機(jī)過程方法構(gòu)建的3個模型,評估筆者修正后模型的有效性,分析預(yù)測模型的精度對期權(quán)定價準(zhǔn)確性的影響。

1 天氣衍生品概述

天氣衍生品(Weather derivatives,WD)是組織或個人為了降低不利或意外天氣條件相關(guān)風(fēng)險而衍生出來的金融產(chǎn)品,對于對沖因天氣變化導(dǎo)致商品需求變化而產(chǎn)生的成交量風(fēng)險來說是一種有效的工具[19]。天氣衍生品對氣象進(jìn)行量化,將溫度、降雨和風(fēng)等氣象指數(shù)作為標(biāo)的物,收益取決于這些氣象指數(shù),主要面向于非災(zāi)難性的天氣事件,其標(biāo)的資產(chǎn)沒有價值,不能被存儲或交易。

目前,氣溫指數(shù)相關(guān)的衍生品在國外市場上最為常見,CME主要以氣溫期貨與期權(quán)交易為主,交易期限通常為月度或季度。溫度指數(shù)主要有積溫指數(shù)(Cumulative average temperature,CAT)、制熱指數(shù)(Heating degree day,HDD)以及制冷指數(shù)(Cooling degree day,CDD)。CAT主要適用于溫度季節(jié)性變化不明顯的地區(qū),根據(jù)中國的氣溫變化特點,采用HDD與CDD對衍生產(chǎn)品進(jìn)行定價。HDD定義為日均氣溫低于基準(zhǔn)溫度的度數(shù),此時認(rèn)為人們會產(chǎn)生取暖需求。芝加哥商品交易所(Chicago mercantile exchange,CME)目前將基準(zhǔn)溫度定為65 ℉(18.33 ℃),筆者研究中杭州市DAT數(shù)據(jù)的均值為18.3 ℃,故考慮取基準(zhǔn)溫度為18 ℃。HDD在一段時間的累加值,記為HDDs。CDD定義為日均氣溫高于基準(zhǔn)溫度的度數(shù),此時認(rèn)為人們會產(chǎn)生制冷需求。CDD在一段時間的累加值,記為CDDs。計算式分別為

(1)

(2)

式中:Hi為HDD;H為HDDs;Ci為CDD;C為CDDs;Tδ為基準(zhǔn)溫度;Ti為第i天的日均溫度。

2 模型建立

日均氣溫的變化表現(xiàn)為自然氣候規(guī)律的季節(jié)性變化以及近年來由于全球變暖而出現(xiàn)緩慢增長的趨勢,同時由于其他氣象因子的綜合影響,氣溫變化表現(xiàn)出隨機(jī)性,且個別氣溫出現(xiàn)極高或極低的現(xiàn)象。以氣溫指數(shù)作為標(biāo)的物的天氣衍生品主要關(guān)注的是非極端天氣的變化,故在描述氣溫變化時,參數(shù)方法可作為有效的建模工具。

2.1 模型構(gòu)建

由于差分后的DAT近似服從正態(tài)分布,且DAT表現(xiàn)出明顯的均值回復(fù)的特征,故采用OU過程進(jìn)行建模,模型為

(3)

St=a1+b1t+αsin(ωt+φ)

(4)

氣溫方差時序圖如圖1所示。由圖1可知:氣溫波動長期回復(fù)到一均值,且無明顯的趨勢,經(jīng)ADF檢驗可知序列平穩(wěn)。氣溫方差A(yù)CF圖如圖2所示。

圖1 氣溫方差的時序圖

圖2 氣溫方差的ACF圖

由圖2可知波動率中存在季節(jié)性和周期性。故σt同樣采用OU過程表示為

(5)

Yt=a2+βsin(ωt+φ)

(6)

(7)

2.2 參數(shù)估計方法

對于St與Yt,首先將式(4,6)簡化,然后采用最小二乘法估計其參數(shù),計算式分別為

St=a1+b1t+c1sinωt+d1cosωt

(8)

Yt=a2+c2sinωt+d2cosωt

(9)

式中:c1=αcosφ;d1=αsinφ;c2=βcosφ;d2=βsinφ。

氣溫的月波動雖然同比差異不大,但是環(huán)比差異較大,故認(rèn)為σt為一分段連續(xù)函數(shù)[10]。氣溫月波動率的計算式為

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

3 模型仿真

對St與Yt進(jìn)行擬合,擬合結(jié)果分別如表1,2所示。

表2 Yt參數(shù)估計結(jié)果

考察Yt的殘差,由Yt殘差的ACF圖3可知:季節(jié)性基本消除,且序列不存在自相關(guān)。將式(5)離散化為

圖3 Yt殘差的ACF圖

(15)

圖4 氣溫波動的月波動

圖5 氣溫的月波動

考察σt的殘差,由ACF圖6可知式(6)基本消除氣溫波動序列的季節(jié)性。σt殘差的QQ圖和直方圖分別如圖7,8所示。由圖7,8可知:經(jīng)過Kolmogorov-Smirnov檢驗,P顯著大于0.05,殘差序列服從正態(tài)分布。

圖6 σt殘差的ACF圖

圖7 σt殘差的QQ圖

圖8 σt殘差的直方圖

由上述結(jié)果估計κt及λt,參數(shù)估計結(jié)果如表3所示。

表3 參數(shù)估計結(jié)果

由表3估計結(jié)果可知:κt夏季較低,冬季較高,λt則相反,表明氣溫波動較大時,氣溫被拉回的速度更快,且在等價鞅測度下,風(fēng)險的市場價格更高。結(jié)合以往相關(guān)文獻(xiàn)可以得出:數(shù)據(jù)中的有效信息提取得越充分,估計的風(fēng)險市場價格就越低。

4 模型評估

基于上述模型,對杭州市2021年的DAT進(jìn)行預(yù)測,預(yù)測結(jié)果如圖9所示。由圖9可知時變OU模型可以很好地模擬杭州市DAT的基本走向。

圖9 氣溫預(yù)測結(jié)果

為了評估筆者模型的有效性,采用Svec等[8]提出的時間序列模型與Benth等[3]提出的隨機(jī)過程模型作對比。其中,時間序列模型中DAT的長期趨勢、季節(jié)性變化和氣溫波動項分別由一次線性函數(shù)、低階傅里葉級數(shù)以及ARCH模型刻畫,該模型記為M1。然而在仿真氣溫變化的過程中發(fā)現(xiàn):DAT的波動項中存在明顯的季節(jié)性、自相關(guān)特征以及ARCH效應(yīng),單一的ARCH模型無法充分提取這些信息,故對其進(jìn)行修正,加入低階傅里葉級數(shù)描述波動項的季節(jié)性,采用ARMA-GARCH描述自相關(guān)特征并消除ARCH效應(yīng),修正后的模型記為M2。隨機(jī)過程模型則是采用OU模型在刻畫氣溫波動部分,均值回復(fù)速度為恒定不變的常數(shù),該模型記為M3。在M3模型的基礎(chǔ)上,修正氣溫波動的均值回復(fù)速度為隨時間變動的函數(shù),解決了模型殘差項不能通過正態(tài)性檢驗的問題,模型記為M4。

基于上述4個模型,進(jìn)一步結(jié)合蒙特卡洛(Monte carlo,MC)模擬方法,模擬氣溫指數(shù),并通過相對誤差評估4個模型的精度。經(jīng)計算,杭州市2021年1月至2021年3月的HDDs以及2021年5月至2021年7月的CDDs的真實值分別為1 251.0和1 251.2,MC模擬對比結(jié)果如表4所示。

表4 氣溫指數(shù)MC模擬對比結(jié)果

由表4的模擬結(jié)果可以看出:M4在該數(shù)據(jù)集上的表現(xiàn)優(yōu)于其他3個模型,且HDDs和CDDs具有相近相對誤差,結(jié)果較為穩(wěn)定,表明連續(xù)型模型更能反映氣溫的變化情況;即使優(yōu)化后的M2精度有所提升,其在該數(shù)據(jù)集上的表現(xiàn)整體來說也并沒有比連續(xù)型模型M3,M4更優(yōu)秀,尤其在對HDDs擬合時偏差較大。

M1,M2殘差的QQ圖和直方圖如圖10,11所示。由圖10,11可以看出:模型M2的殘差項雖然得到了修正,但是并未滿足正態(tài)性假設(shè)條件。

圖10 M1殘差的QQ圖和直方圖

圖11 M2殘差的QQ圖和直方圖

5 期權(quán)定價

以氣溫期權(quán)季度交易為例,利用上述4個模型100 000次HDDs與CDDs的MC模擬結(jié)果,采用風(fēng)險中性定價方法,對氣溫期權(quán)進(jìn)行定價研究。以CDD歐式看漲期權(quán)為例,合約如表5所示。

表5 CDD歐式看漲期權(quán)合約

C(t+1,T)-K,0),U]}t∈[0,T]

(16)

式中:rf為無風(fēng)險利率,rf取為2.576%(取自2021年5月的3月期SHIBOR利率);T為合約到期日;t為現(xiàn)在時刻;Np為單位氣溫指數(shù)名義價值,設(shè)為10 CNY;K為執(zhí)行價;U為合約上限值,設(shè)為10 000 CNY;C(t1,t2)為從t1到t2時刻的CDDs;C(0,t)為實際值;C(t+1,T)為蒙特卡洛模擬的預(yù)測值。基于上述4個模型,根據(jù)式(16),2021年5月1日該合約的價格分別為1.65,5.50,9.61,16.89 CNY。然而事實上,當(dāng)日真實合約價格為85.26 CNY,基于M4的期權(quán)定價偏差較M1,M2,M3分別下降了17.87%,13.36%,8.54%,因此,高精度的氣溫預(yù)測模型能夠有效改善期權(quán)定價錯誤被放大的問題,減小因模型精度不高等問題帶來的經(jīng)濟(jì)損失。

6 結(jié) 論

筆者首先在已有研究的基礎(chǔ)上,對氣溫預(yù)測模型進(jìn)行改進(jìn),將氣溫波動的均值回復(fù)速度修正為隨時間變動的函數(shù),通過對杭州市氣溫數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真,結(jié)果顯示模型殘差項滿足正態(tài)分布的假設(shè);然后通過與前人提出的模型以及修改后的模型作對比來評估筆者模型的有效性,蒙特卡洛模擬結(jié)果表明筆者模型精度高于其他3個模型;最后以筆者模型的預(yù)測結(jié)果為基礎(chǔ),對天氣期權(quán)進(jìn)行合理定價,結(jié)果顯示筆者模型有效改善了期權(quán)定價錯誤被放大的問題。氣象變化是多因素的,參數(shù)方法建模雖然能夠捕捉到有規(guī)律的氣溫變化,但是對于夏季氣溫過低或冬季氣溫過高等異常天氣的不規(guī)則變化,預(yù)測則會出現(xiàn)偏差。另外,當(dāng)前的模型不夠精簡,這為模型的應(yīng)用及推廣造成了一定困難,后續(xù)將尋找既簡單又行之有效的建模方法,如非參數(shù)方法,這將作為下一步研究的主要方向。目前,針對國內(nèi)現(xiàn)存的天氣衍生品發(fā)展問題,提出以下建議:1) 提高氣象測量水平,降低數(shù)據(jù)壁壘;2) 因地制宜,加快主要城市氣溫指數(shù)的編制;3) 加強(qiáng)專業(yè)人才的培養(yǎng),拓展天氣衍生品種類。

本文得到了浙江科技學(xué)院研究生教學(xué)改革項目(2021yjsjg09)的資助。