杜靜恩，許勇，賈云博，劉凌霄，高美妍

（1.201620 上海市 上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院；2.201620 上海市 上海工程技術(shù)大學(xué) 航空運(yùn)輸學(xué)院）

0 引言

折紙單元是由二維的紙通過彎曲折疊形成的具有一定功能價(jià)值的三維結(jié)構(gòu)，由于其較好的空間可折展性受到了廣泛關(guān)注。目前折紙?jiān)韽V泛應(yīng)用于機(jī)械超材料[1-3]、自折疊機(jī)器人[4]、食品包裝[5]、醫(yī)療器械[6]等領(lǐng)域，越來越多的學(xué)者研究折紙單元獨(dú)特的力學(xué)性能及其應(yīng)用場(chǎng)景。Liu 等[7]將折紙單元制成能靈活變換位姿的柔性臂；Waitukaitis 等[8]利用三浦折紙自鎖引發(fā)的強(qiáng)化效應(yīng)設(shè)計(jì)出剛度可編程的機(jī)械超材料；Feng 等[9]發(fā)現(xiàn)水彈折紙管可以通過非剛性扭轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)變剛度。但是包括折紙單元在內(nèi)的柔性單元大都存在剛度不足的情況，學(xué)界一直都在積極尋找變剛度方案。Amend 等[10]在設(shè)計(jì)的柔性抓手中加入了固體顆粒，大大加強(qiáng)了負(fù)壓狀態(tài)下柔性抓手在抓取與放置重物時(shí)的剛度與準(zhǔn)確性；Jiang 等[11]制作了基于顆粒阻塞變剛度原理的氣動(dòng)執(zhí)行器；Zhao 等[12]研究了填充顆粒的空間占用率對(duì)顆粒阻塞變剛度的影響。

本文將剛性折紙?jiān)砼c顆粒阻塞變剛度的原理結(jié)合，設(shè)計(jì)了基于顆粒阻塞原理的變剛度折紙單元，建立了折紙單元的數(shù)學(xué)模型。

1 基于顆粒阻塞原理的變剛度折紙單元設(shè)計(jì)

基于顆粒阻塞原理的變剛度折紙單元如圖1 所示，由折紙單元和多個(gè)變剛度驅(qū)動(dòng)器組成。變剛度驅(qū)動(dòng)器貼合在折紙單元的折痕處，柔性狀態(tài)時(shí)隨折痕一起變化，剛性狀態(tài)時(shí)會(huì)阻礙折痕彎折。

圖1 變剛度折紙單元三維效果Fig.1 3D effect display of variable stiffness origami unit

如圖2 所示，圖2（a）為由折紙啟發(fā)的折紙單元的立體結(jié)構(gòu)，折紙單元的上下兩平臺(tái)由折疊單元連接。圖2（b）為折紙單元平面展開圖，其中實(shí)線為山折痕，虛線為谷折痕。

圖2 折紙單元三維結(jié)構(gòu)及平面折痕Fig.2 Three-dimensional structure and plane crease of origami unit

基于顆粒阻塞原理設(shè)計(jì)了變剛度驅(qū)動(dòng)器，如圖3 所示。變剛度驅(qū)動(dòng)器由密封袋、顆粒阻塞囊和氣孔組成，氣孔外接真空泵可改變密封袋內(nèi)氣壓，單個(gè)顆粒阻塞囊由矩形透氣袋和袋內(nèi)填充顆粒組成。

圖3 基于顆粒阻塞原理的變剛度驅(qū)動(dòng)器結(jié)構(gòu)Fig.3 Variable stiffness actuator structure based on particle blocking principle

以主動(dòng)折痕G2O2處為例，變剛度驅(qū)動(dòng)器對(duì)稱固定在主動(dòng)折痕兩側(cè)，效果如圖4 所示。其余所有主動(dòng)折痕處的固定方法一致。

圖4 折紙單元的主動(dòng)折痕處的變剛度驅(qū)動(dòng)器Fig.4 Variable stiffness driver at active crease of origami unit

2 顆粒阻塞變剛度驅(qū)動(dòng)器剛度分析

變剛度驅(qū)動(dòng)器的剛度k的計(jì)算公式為

為獲得顆粒阻塞囊剛度，需分析顆粒阻塞囊的彎曲變形。本文遵循平面內(nèi)常曲率彎曲假設(shè)，如圖5 所示，c為彎曲弧段中心O到彎曲軸線的距離，即彎曲部分曲率半徑。矩形橫截面長(zhǎng)、寬為d、L。

圖5 未受載時(shí)顆粒阻塞囊高剛度狀態(tài)彎曲變形模型Fig.5 Bending deformation model of particle blockage capsule under high stiffness without load

密封袋內(nèi)壓強(qiáng)為Pb、袋外壓強(qiáng)為Pa，內(nèi)外壓強(qiáng)差為Pa-Pb，在此壓強(qiáng)差作用下密封袋會(huì)將松散的顆粒擠壓成致密的剛體顆粒團(tuán)，且隨著內(nèi)外壓強(qiáng)差的增大，整個(gè)驅(qū)動(dòng)器的剛度也增大。當(dāng)顆粒阻塞囊受到載荷F時(shí)，其彎曲角度由未受載時(shí)的θ增大至θ+δ，如圖6 所示。

圖6 受載時(shí)顆粒阻塞囊高剛度狀態(tài)彎曲變形模型Fig.6 Bending deformation model of particle blockage capsule under high stiffness loading

抽真空后顆粒阻塞囊為高剛度狀態(tài)，填充顆粒在顆粒阻塞囊內(nèi)的空間占用率定義為

式中：——顆粒阻塞囊中所有填充顆粒的體積總和，由顆粒阻塞囊中填充顆粒的數(shù)量N和填充顆粒的半徑r決定，其值為

式中：Vc——變剛度驅(qū)動(dòng)器的密封袋容積，由變剛度驅(qū)動(dòng)器最大體積Vmax真空泵抽氣速率S和抽氣時(shí)間t決定，關(guān)系式為

且存在邊界條件：Vc≥V0，其中V0為顆粒阻塞囊彎曲部分處于立方體狀態(tài)下占用的空間，其值為

變剛度驅(qū)動(dòng)器為剛性狀態(tài)且顆粒阻塞囊彎曲角為θ時(shí)，填充顆粒在顆粒阻塞囊內(nèi)的空間占用率Δ1為

顆粒阻塞囊在剛度變化后，在不受外力情況下空間占用率為定值，故彎曲角為θ時(shí)彎曲部分占用的空間V1=V2。受到外力F的作用，曲率中心由O轉(zhuǎn)移到O'，此時(shí)變剛度驅(qū)動(dòng)器中顆粒在高剛度狀態(tài)下占用的空間V2為

式中：C'——彎曲中心到矩形橫截面形心的距離；γ——中心角；——帶增量角的彎曲角，即

此狀態(tài)下的空間占用率Δ2為

顆粒阻塞囊體積與填充顆粒的空間占用率間有如下關(guān)系

此時(shí)彎曲角增量與填充顆粒的空間占用率的關(guān)系為

顆粒阻塞囊在剛性狀態(tài)下承受外力時(shí)，顆粒與透氣袋間摩擦力產(chǎn)生的曲率中心所在的軸的摩擦力矩為Mf。由流體加壓模型可知，變剛度驅(qū)動(dòng)器內(nèi)外壁各部分受到的壓力是相等的。施加外力后顆粒阻塞囊會(huì)發(fā)生一定的變形，因此顆粒阻塞囊內(nèi)的壓強(qiáng)會(huì)變大，根據(jù)兩圓球赫茲接觸模型可知，顆粒間的等效壓力為

由圖7 可知，顆粒阻塞囊與透氣袋間的摩擦力提供的鎖緊力關(guān)于軸線SS'對(duì)稱，且總的鎖緊力為

圖7 變剛度驅(qū)動(dòng)器內(nèi)靜態(tài)力f1 及鎖緊力矩Mf 方向Fig.7 Direction of static force f1 and locking torque Mf in variable stiffness driver

鎖緊區(qū)域A1上的靜態(tài)力f1由顆粒與透氣袋間的正壓力P'決定，故單個(gè)顆粒阻塞囊由鎖緊力Ff提供的鎖緊力矩為

顆粒阻塞囊的剛度即為變剛度驅(qū)動(dòng)器的剛度。

3 變剛度驅(qū)動(dòng)器性能仿真

變剛度驅(qū)動(dòng)器中顆粒阻塞囊的參數(shù)設(shè)置：彎曲部分的彎曲中心到矩形橫截面形心距離C=5 mm，矩形橫截面的長(zhǎng)L=20 mm，寬d=5 mm，總高H=20 mm，彎曲部分的曲率半徑R=2.5 mm，彎曲部分外側(cè)最大長(zhǎng)度h=5 mm，填充顆粒半徑r=0.5 mm，材質(zhì)為ABS，彎曲部分能裝滿該尺寸的顆粒數(shù)N=3 819，真空泵抽氣速率S=50 mm3/s，變剛度驅(qū)動(dòng)器內(nèi)壓強(qiáng)Pb=0.02 MPa，變剛度驅(qū)動(dòng)器外壓強(qiáng)Pa=0.101 MPa。

通過MATLAB 按式（2）—式（5）計(jì)算空間占用率，結(jié)果如圖8 所示。由圖8（a）可知，隨著真空泵對(duì)變剛度驅(qū)動(dòng)器內(nèi)部抽氣，顆粒的空間占用率會(huì)逐漸提高，最大占用率約為72%。由圖8（b）可知，變剛度驅(qū)動(dòng)器內(nèi)部壓強(qiáng)越小空間占用率越高。

圖8 填充顆?？臻g占用率Δ 隨t 和Pb 的變化Fig.8 Change of space occupancy of filled particles Δ with t and Pb

由式（12）、式（15）可知，變剛度驅(qū)動(dòng)器內(nèi)壓強(qiáng)Pb與顆粒阻塞囊內(nèi)填充顆粒半徑都是影響最終鎖緊力矩的因素。由圖9 可知，變剛度驅(qū)動(dòng)器內(nèi)壓強(qiáng)越大顆粒阻塞囊的鎖緊力矩越小。顆粒阻塞囊的鎖緊力矩隨著填充顆粒半徑的增大而減小，如圖10 所示。

圖9 顆粒阻塞囊內(nèi)壓強(qiáng)與鎖緊力矩的關(guān)系Fig.9 Relationship between pressure and locking torque in particle blocking capsule

圖10 填充顆粒半徑與鎖緊力矩的關(guān)系Fig.10 Relationship between filling particle radius and locking torque

由式（1）、式（12）、式（15）可知，顆粒阻塞囊的剛度k隨著Pb的減小而增大，剛度仿真結(jié)果如圖11 所示。

圖11 顆粒阻塞囊剛度k 隨Pb 的變換曲線Fig.11 Transformation curve of particle blockage capsule stiffness k with Pb

4 結(jié)論

（1）將折紙?jiān)砼c顆粒阻塞變剛度原理相結(jié)合，提出了全新的變剛度折紙單元的設(shè)計(jì)方案。

（2）建立了變剛度折紙單元的靜力學(xué)模型，推導(dǎo)出顆粒阻塞囊剛度的計(jì)算方法，以及填充顆粒半徑、變剛度驅(qū)動(dòng)器內(nèi)負(fù)壓強(qiáng)與顆粒阻塞囊剛度間的關(guān)系。

（3）使用顆粒阻塞原理設(shè)計(jì)的變剛度驅(qū)動(dòng)器通過改變內(nèi)部的壓強(qiáng)實(shí)現(xiàn)自身變剛度，改變其填充顆粒的參數(shù)，如顆粒半徑、顆粒硬度等，可以改變變剛度驅(qū)動(dòng)器的最大剛度。

顆粒阻塞原理可以很好地彌補(bǔ)包括折紙單元在內(nèi)的柔性單元或柔性關(guān)節(jié)剛度不足的缺點(diǎn)，后續(xù)可利用顆粒阻塞變剛度原理設(shè)計(jì)變剛度柔性關(guān)節(jié)，這樣可以在保留柔順性能的同時(shí)保證機(jī)構(gòu)的剛度。