熊凡 陳永聰? 敖平

1) (上海大學(xué)物理系,定量生命科學(xué)國(guó)際研究中心,上海 200444)

2) (四川大學(xué)生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)院,成都 610065)

量子計(jì)算相比于經(jīng)典計(jì)算在處理某些復(fù)雜性問(wèn)題時(shí)具有與生俱來(lái)的獨(dú)特優(yōu)勢(shì),從而受到廣泛關(guān)注.要想實(shí)現(xiàn)大規(guī)模的量子計(jì)算,最關(guān)鍵的在于不斷提高量子比特的保真度.由于量子比特的脆弱性,環(huán)境熱噪聲對(duì)其保真度具有極大影響.本文基于偶極場(chǎng)驅(qū)動(dòng)量子比特的方式,采取隨機(jī)動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)分解方法,并應(yīng)用久保-愛(ài)因斯坦?jié)q落耗散定理研究熱噪聲環(huán)境下的量子比特控制問(wèn)題.偶極場(chǎng)具有3 個(gè)方向的分量,而不僅僅只限于一個(gè)平面,這種控制方式可以更加靈活地控制量子態(tài).在不考慮噪聲的情況下,量子態(tài)能夠100%的到達(dá)目標(biāo)態(tài).而在噪聲環(huán)境中,熱噪聲會(huì)使得實(shí)際終態(tài)和目標(biāo)終態(tài)存在由熱漲落造成的偏差,成為影響量子保真度的主要因素.為此本文利用蒙特卡羅優(yōu)化算法對(duì)驅(qū)動(dòng)場(chǎng)進(jìn)行優(yōu)化,以此來(lái)進(jìn)一步提高量子比特保真度.該方法的可行性在數(shù)值計(jì)算中得到了驗(yàn)證,可以為實(shí)驗(yàn)提供新的解決方案,用以進(jìn)一步指導(dǎo)和評(píng)估實(shí)驗(yàn).

1 引言

量子計(jì)算是一種應(yīng)用量子體系特有的性質(zhì)(如疊加態(tài)和糾纏態(tài))對(duì)量子信息單元進(jìn)行計(jì)算的新型模式.量子態(tài)巨大的希爾伯特空間,使其能夠執(zhí)行經(jīng)典計(jì)算機(jī)無(wú)法實(shí)現(xiàn)的操作[1].在處理一些復(fù)雜度大的特定問(wèn)題時(shí),量子計(jì)算理論上具有更大的優(yōu)勢(shì).例如非結(jié)構(gòu)化搜索問(wèn)題和整數(shù)素因數(shù)分解問(wèn)題,通過(guò)利用特定的量子算法(Grover 算法[2]和Shor算法[3]),量子計(jì)算具有指數(shù)級(jí)的加速效果,這些發(fā)現(xiàn)引起了廣泛的關(guān)注,為量子計(jì)算的發(fā)展提供了重要的動(dòng)力.

要想實(shí)現(xiàn)具有通用性、可擴(kuò)展性以及容錯(cuò)性的大規(guī)模量子計(jì)算機(jī),需要完成7 個(gè)基本階段,其中首當(dāng)其沖的就是對(duì)單個(gè)量子比特的運(yùn)算[4].換言之,實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算的首要任務(wù)就是對(duì)量子比特的精心制備和精確調(diào)控.目前,可以作為量子比特的物理系統(tǒng)包括超導(dǎo)量子比特[5?8]、半導(dǎo)體量子比特[9,10]、離子阱系統(tǒng)[11,12]和金剛石氮-空位(nitrogen-vacancy,NV)色心[13,14]等,這些物理系統(tǒng)在退相干時(shí)間和可擴(kuò)展性方面各自占有優(yōu)勢(shì).在量子計(jì)算的研究中,一個(gè)重要的問(wèn)題是如何設(shè)計(jì)最優(yōu)的量子控制方法,以實(shí)現(xiàn)高效、精確、穩(wěn)定的量子態(tài)演化和信息處理.一種常用的相干控制手段是應(yīng)用精確定制的交流脈沖[15,16],絕熱跟隨(adiabatic following)在原則上是相干控制的另一種方法[17,18],這種方法主要依賴于哈密頓量隨時(shí)間演化的慢性,并可能由于非絕熱轉(zhuǎn)變而遭受一些損失.2000 年,Emmanouilidou 等[19]在兩能級(jí)系統(tǒng)的背景下,研究和解決了在各種物理約束下量子態(tài)隨時(shí)間演化的控制問(wèn)題,提出一種穿越絕熱屏障的量子控制方法[20,21],該方法可以消除非絕熱躍遷,使得量子態(tài)能100%到達(dá)目標(biāo)態(tài).

量子比特的控制需要一個(gè)開放的量子系統(tǒng),不可避免地會(huì)與環(huán)境發(fā)生相互作用,從而引發(fā)量子退相干[22],這將使得量子比特保真度降低.由此可見(jiàn),環(huán)境熱噪聲是量子計(jì)算走向規(guī)?；囊淮笞璧K.在對(duì)其最優(yōu)控制領(lǐng)域,常用的量子優(yōu)化算法包括GRAPE[23](gradient ascent pulse engineering)方法以及Krotov 方法[24],其中GRAPE 是通過(guò)梯度下降算法來(lái)不斷調(diào)整控制脈沖的形狀,使得目標(biāo)函數(shù)值越來(lái)越小,直至收斂到最優(yōu)解.該算法需要大量的計(jì)算資源且計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng).其次,對(duì)于復(fù)雜的系統(tǒng),使用GRAPE 方法進(jìn)行優(yōu)化可能會(huì)遇到局部極小值問(wèn)題,導(dǎo)致最終結(jié)果不是全局最優(yōu)解,且性能容易受到系統(tǒng)模型隨機(jī)性或確定性錯(cuò)誤的影響[25].Krotov 方法相對(duì)GRAPE 方法則具有更高的收斂速度,這是因?yàn)镵rotov 方法可以利用上一次迭代的結(jié)果,對(duì)下一次的迭代進(jìn)行優(yōu)化,隨迭代次數(shù)單調(diào)增長(zhǎng),需要的計(jì)算資源更少,無(wú)需線性搜索且具有更好的魯棒性等優(yōu)點(diǎn)[26].但是相對(duì)于GRAPE 方法,Krotov 方法的適用范圍更加有限,它只適用于一部分的量子控制問(wèn)題,如純態(tài)控制、譜控制等.Krotov 方法相對(duì)于GRAPE 方法需要更多的手動(dòng)調(diào)整,比如需要手動(dòng)選擇一些物理意義明確的控制場(chǎng),需要對(duì)演化過(guò)程中的噪聲進(jìn)行模擬等.它們的優(yōu)點(diǎn)是都可用于非馬爾可夫(non-Markovian)環(huán)境的量子控制優(yōu)化[27,28].

本文所采用的蒙特卡羅優(yōu)化算法通過(guò)隨機(jī)性的抽樣和搜索過(guò)程,能夠在整個(gè)參數(shù)空間中進(jìn)行更全面的探索,從而避免陷入局部極小值.此外,量子動(dòng)力學(xué)的傳統(tǒng)主流研究方法一般采用概率Lindblad 主方程[29](probabilistic Lindblad master equation)來(lái)研究開放量子系統(tǒng)的退相干和量子耗散現(xiàn)象.然而Lindblad 主方程實(shí)質(zhì)上遵循馬爾可夫過(guò)程,會(huì)忽視系統(tǒng)與熱庫(kù)耦合引起的記憶效應(yīng),因此無(wú)法解決如低溫下量子有色噪聲中的滯后問(wèn)題[30,31].

本文主要以單個(gè)量子比特為研究對(duì)象,基于敖平等[19]在兩能級(jí)系統(tǒng)的研究工作基礎(chǔ)上,使用偶極場(chǎng)驅(qū)動(dòng)量子比特的方式,采取隨機(jī)動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)分解方法,并應(yīng)用久保-愛(ài)因斯坦?jié)q落耗散定理研究了熱噪聲環(huán)境下的量子比特控制問(wèn)題.通過(guò)引入布洛赫球(Bloch sphere)直觀地展示了量子態(tài)的演化過(guò)程,并利用蒙特卡羅優(yōu)化算法對(duì)磁場(chǎng)的傅里葉分量形式進(jìn)行優(yōu)化,以此來(lái)提高量子比特的保真度.該方案能夠從完全量子力學(xué)的角度進(jìn)行證明,為熱噪聲環(huán)境下的量子控制提供新的優(yōu)化方案,用以指導(dǎo)和評(píng)估實(shí)驗(yàn).

2 量子比特控制

2.1 量子態(tài)的運(yùn)動(dòng)方程

量子比特是具有兩個(gè)可獨(dú)立操控量子態(tài)的量子系統(tǒng).就單個(gè)量子比特而言可以看作一個(gè)兩能級(jí)系統(tǒng),以一個(gè)在磁場(chǎng)中自旋為 1/2 的粒子[32]為例,其哈密頓量可以寫成如下形式:

系統(tǒng)的量子態(tài)兩個(gè)組成部分通常寫成

其中α,β和γ是含時(shí)的實(shí)函數(shù),α和β分別表示布洛赫矢量的極角和方位角,γ是整體相位.量子態(tài)隨時(shí)間的演化遵循薛定諤方程:

顯然,哈密頓量的4 個(gè)參數(shù)并不是由波函數(shù)的3 個(gè)參數(shù)唯一確定的,B0可以具有任意的時(shí)間依賴關(guān)系,哈密頓量的其他參數(shù)可以寫成:

為了簡(jiǎn)化問(wèn)題,可以讓B0=0,由此可以得到量子態(tài)的運(yùn)動(dòng)方程:

(6)式表明,量子態(tài)的運(yùn)動(dòng)可以完全由外場(chǎng)的3 個(gè)場(chǎng)分量控制,該外場(chǎng)可以是一種虛擬的物理驅(qū)動(dòng)場(chǎng),不同的控制方式所對(duì)應(yīng)的驅(qū)動(dòng)場(chǎng)的形式不盡相同.在考慮一個(gè)自旋為 1/2 的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的物理模型時(shí),這里的驅(qū)動(dòng)場(chǎng)就是一個(gè)真實(shí)的磁場(chǎng),通過(guò)調(diào)節(jié)磁場(chǎng)的3 個(gè)場(chǎng)分量,從而控制量子態(tài)的轉(zhuǎn)變.磁場(chǎng)的3 個(gè)場(chǎng)分量可以由一個(gè)磁偶極子提供,通過(guò)控制磁偶極子的轉(zhuǎn)動(dòng)從而控制磁場(chǎng)的3 個(gè)分量.對(duì)于這樣一個(gè)系統(tǒng),驅(qū)動(dòng)場(chǎng)可以寫為如下的形式:

其中M是自旋粒子的磁矩,Bd是磁偶極子產(chǎn)生的磁場(chǎng).接下來(lái)展示的是如何通過(guò)磁偶極子的旋轉(zhuǎn)使得量子態(tài)由初始態(tài)到達(dá)我們所需的目標(biāo)態(tài).

2.2 磁偶極場(chǎng)

在由磁偶極子驅(qū)動(dòng)的量子比特系統(tǒng)中,磁偶極子通?？梢杂勺詈?jiǎn)單的環(huán)形電流構(gòu)成,其所產(chǎn)生的磁場(chǎng)可以表示為如下形式:

其中μ0是真空磁導(dǎo)率,m是磁偶極子的磁矩,和r分別是單位向量以及偶極子與量子比特的距離.

磁偶極子可以應(yīng)用在多種量子比特系統(tǒng)中,通過(guò)改變它的位置、方向和大小來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)量子比特的控制.為了方便討論,假定磁偶極子與量子比特沿y軸放置,其在量子比特所在位置產(chǎn)生的磁場(chǎng)可以表示為

其中θ和?分別是磁偶極子磁矩的極角和方位角.自旋量子比特在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是由泡利矩陣和外部磁場(chǎng)的相互作用決定.泡利矩陣描述了自旋在不同方向上的投影,并與外部磁場(chǎng)相互作用,產(chǎn)生能量差異.在外部磁場(chǎng)的作用下,自旋會(huì)繞著磁場(chǎng)方向發(fā)生進(jìn)動(dòng),因此這就要求初始時(shí)刻和終止時(shí)刻的磁場(chǎng)方向分別與量子比特的初態(tài)和末態(tài)相平行.其對(duì)應(yīng)關(guān)系如下:

在選定量子比特的初態(tài)和末態(tài)后即可求得所對(duì)應(yīng)的初始時(shí)刻和終止時(shí)刻的磁場(chǎng)方向.若要使得量子態(tài)在偶極場(chǎng)的控制下精確到達(dá)目標(biāo)終態(tài)而不發(fā)生較大的進(jìn)動(dòng),就要求偶極子在開始和結(jié)束短暫時(shí)間內(nèi)有較小的變化速度,且滿足

由此,可以構(gòu)造出一條磁偶極子的變化軌跡:

其中Ts=tf-ti表示初始時(shí)刻到終止時(shí)刻的總時(shí)間.磁矩在初始時(shí)刻的方向?yàn)?(θi,?i),在經(jīng)過(guò)時(shí)間Ts=tf-ti后到達(dá) (θf(wàn),?f).

2.3 量子調(diào)控過(guò)程的優(yōu)化

由于量子比特在短時(shí)間內(nèi)容易發(fā)生退相干,這就要求提高量子態(tài)的演化速度,因此需要對(duì)磁偶極子的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行優(yōu)化.可以將上述偶極子的變化形式作傅里葉變換,由此可以得到磁場(chǎng)的傅里葉分量形式:

在得到磁場(chǎng)的傅里葉分量后,偶極子的磁場(chǎng)形式可以近似為

其中N是傅里葉分量的數(shù)量,由于較多的傅里葉分量容易在實(shí)驗(yàn)上造成困難,因此需要選取盡可能少的傅里葉分量以達(dá)到量子比特的高保真度.

將磁場(chǎng)進(jìn)行傅里葉變換后,得到的幾個(gè)傅里葉分量用以確定初始磁場(chǎng),然后通過(guò)蒙特卡羅優(yōu)化算法在傅里葉分量的系數(shù)Bj,n上加上一個(gè)隨機(jī)變量,其隨機(jī)性滿足正態(tài)分布,以此來(lái)尋找合適的路徑使得初始量子態(tài)在短時(shí)間內(nèi)高保真度的到達(dá)目標(biāo)態(tài).在這里實(shí)際終態(tài)和目標(biāo)終態(tài)的重疊度是衡量量子保真度的依據(jù),因此保真度的定義可以表示為

其中Ω(tf)是實(shí)際量子終態(tài),Ωf是目標(biāo)終態(tài).Ω(tf)和Ωf的內(nèi)積的具體形式為

2.4 環(huán)境熱噪聲的影響

上述過(guò)程均發(fā)生在無(wú)環(huán)境噪聲的理想情況下,而在實(shí)際的量子比特調(diào)控過(guò)程中不可避免的存在環(huán)境噪聲,量子比特易與環(huán)境發(fā)生耦合,引起量子退相干從而影響量子比特的保真度,因此,在通過(guò)偶極場(chǎng)調(diào)控量子比特的過(guò)程中,需要考慮環(huán)境噪聲的影響.這里定義量子態(tài)的態(tài)矢量X≡(α,β)?,通過(guò)引入系統(tǒng)勢(shì)能

在無(wú)噪聲的情況下,將運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行隨機(jī)動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)分解[33],量子態(tài)的演化方程可以改寫為

其中?X=(?α,?β)?,A是一個(gè) 2×2 的反對(duì)稱矩陣,具體形式為

它是一個(gè)橫向矩陣,相當(dāng)于電磁場(chǎng)中的洛倫茲力.

在實(shí)際情況中,環(huán)境噪聲總是存在的.由溫度引起的熱噪聲會(huì)使得控制場(chǎng)B(t) 具有一個(gè)高斯?jié)q落,即

其中ξ(t) 是一個(gè)三分量的隨機(jī)場(chǎng),表示隨機(jī)熱噪聲[34].根據(jù)愛(ài)因斯坦關(guān)系,熱噪聲的強(qiáng)度與系統(tǒng)的溫度成正比.在經(jīng)典極限下,熱噪聲可以被建模為高斯白噪聲,其方差具有馬爾可夫性:

其中δ(t)是狄拉克函數(shù),ηj是黏滯系數(shù),表示熱接觸力的強(qiáng)度,kB是玻爾茲曼常數(shù),T是環(huán)境的溫度.因此,隨機(jī)場(chǎng)ξ(t) 的存在相當(dāng)于在方程(19)的右邊增加了一項(xiàng)隨機(jī)噪聲矢量,具體形式為

其方差可以寫為

其中,S是一個(gè)對(duì)稱半正定矩的 2×2 矩陣,對(duì)應(yīng)于隨機(jī)動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)分解中的耗散矩陣.其具體形式如下:

對(duì)于典型的開放系統(tǒng),根據(jù)久保-愛(ài)因斯坦?jié)q落耗散定理(Kubo-Einstein’s fluctuation-dissipation theorem)可知漲落總是伴隨著耗散[35].因此可以在方程(19)的左邊增加一項(xiàng)進(jìn)行修正.在環(huán)境的影響下,確定性的量子態(tài)演化方程(19)變成如下含有隨機(jī)項(xiàng)的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)方程:

此方程即為在噪聲環(huán)境下量子態(tài)演化的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)方程的形式.對(duì)于該方法的詳細(xì)討論可以參考Ao等[33,36]的工作.以費(fèi)米環(huán)境(Fermionic environment)中的歐姆熱庫(kù)(Ohmic bath)為例[37,38],歐姆熱庫(kù)可以表示為如下形式:

其中ωc是其譜函數(shù)的一些截?cái)嘀?而環(huán)境的影響則可以歸類到這樣一組耗散譜中,由于熱噪聲引起的熱漲落,因此需要引入一個(gè)“絕熱項(xiàng)”,于是將方程(18)進(jìn)一步修正,其系統(tǒng)勢(shì)能可寫為

這是為了抵消整體相位的絕熱效應(yīng),因此方程(26)可變?yōu)?/p>

2.5 熱噪聲環(huán)境下的量子調(diào)控優(yōu)化

由于環(huán)境噪聲的存在,量子態(tài)在演化的過(guò)程中,實(shí)際終態(tài)和目標(biāo)終態(tài)會(huì)存在一個(gè)由漲落造成的偏差,其具體形式可以表示為

其中D是擴(kuò)散矩陣,它與摩擦矩陣S有關(guān),可表示為

W是一個(gè)權(quán)重矩陣,其與終態(tài)Ω(tf)的極角α和方位角β有關(guān),可以表示為

在噪聲環(huán)境下,需要對(duì)無(wú)噪聲環(huán)境下量子比特的保真度公式(16)進(jìn)行修正,可以定義為

3 結(jié)果

本節(jié)主要展示的是利用偶極場(chǎng)控制量子比特,分別在無(wú)噪聲和有熱噪聲的情況下對(duì)量子比特的保真度進(jìn)行優(yōu)化.通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到量子態(tài)的演化路徑,并引入布洛赫球,直觀展現(xiàn)了量子態(tài)的演化過(guò)程.

圖1 所示是在無(wú)噪聲環(huán)境下量子態(tài)不同的演化軌跡.在不考慮噪聲的環(huán)境下,自旋與磁場(chǎng)相偏置,引起自旋粒子發(fā)生拉莫爾(Lamor)進(jìn)動(dòng),其演化時(shí)間t=?/(MBd) ,由普朗克常數(shù) ?、自旋粒子的磁偶極矩M以及磁場(chǎng)強(qiáng)度Bd共同決定,表明Bd=1 T 時(shí),時(shí)間t的尺度是 10-11s 的量級(jí)[39],其中M～10-4eV/T.磁場(chǎng)強(qiáng)度Bd可以通過(guò)調(diào)節(jié)磁偶極子的磁矩大小m和其與量子比特的距離r確定.實(shí)驗(yàn)中控制量子比特的磁場(chǎng)大小可以根據(jù)具體的實(shí)驗(yàn)需求而變化.自旋量子比特通常所需的磁場(chǎng)強(qiáng)度在幾百微特斯拉到幾特斯拉的范圍,本文選取的磁場(chǎng)強(qiáng)度Bd=0.4 T,在實(shí)驗(yàn)允許的合理范圍之內(nèi)[40].

圖1 在無(wú)噪聲環(huán)境下,初態(tài)為 (π/2,π/6) ,末態(tài)為(π,π/3)的量子態(tài)在布洛赫球上不同的演化軌跡,其保真度都為1Fig.1.In the noiseless environment,the quantum states with initial state (π/2,π/6) and final state (π,π/3) have different evolutionary trajectora on the Bloch sphere.They all have a fidelity of 1.

首先設(shè)置量子態(tài)的初態(tài) (αi,βi)和終態(tài) (αf,βf),從而確定磁偶極子的磁矩初始方向 (θi,?i) 和終止方向 (θf(wàn),?f) .這里設(shè)置的初態(tài)為 (π/2,π/6),末態(tài)為(π,π/3),在數(shù)值計(jì)算中,令 ?=1 ,Ts=0.5 .利用方程(12)和方程(13)得到磁偶極子的初始軌跡,接下來(lái)通過(guò)方程(15)和方程(16)對(duì)磁場(chǎng)的形式進(jìn)行傅里葉變換,得到磁場(chǎng)的傅里葉分量的形式,這里選取傅里葉分量N=2,將其作為初值.將最終得到的磁場(chǎng)形式代入量子態(tài)的運(yùn)動(dòng)方程(6),利用歐拉法數(shù)值求解出每一時(shí)刻的量子態(tài),得到量子態(tài)的演化路徑,并通過(guò)(17)式計(jì)算實(shí)際終態(tài)和目標(biāo)終態(tài)的重疊度來(lái)衡量無(wú)噪聲環(huán)境下量子比特的保真度.

接著通過(guò)蒙特卡羅優(yōu)化算法,對(duì)磁場(chǎng)的傅里葉分量進(jìn)行優(yōu)化,以此來(lái)提高量子比特的保真度.最終通過(guò)優(yōu)化得到圖1 中3 條量子態(tài)演化軌跡其量子比特保真度都為1.表明在不考慮噪聲的情況下,利用偶極場(chǎng)驅(qū)動(dòng)量子比特的方式可以100%的控制量子態(tài)到達(dá)目標(biāo)態(tài).

在考慮熱噪聲的情況下,量子態(tài)的演化時(shí)間受普朗克常數(shù) ? 和溫度TB的影響,對(duì)于這樣一個(gè)系統(tǒng),Bd=1 T 所對(duì)應(yīng)的溫度TB=1 K,時(shí)間t的尺度也是 ?/(kBTB)～10-11s 的量級(jí).在數(shù)值計(jì)算中,令 ?=1 且 ??η,要求黏滯系數(shù)η的值很小來(lái)實(shí)現(xiàn)較長(zhǎng)的相干時(shí)間,在此令ηx=0.08,ηy=0.01,ηz=0.01.kB=1 ,環(huán)境溫度T=0.1 K,Ts=0.5 .在熱噪聲環(huán)境的影響下,其控制方式與在無(wú)噪聲環(huán)境下相同,所不同的是量子態(tài)演化方程變成如下含有隨機(jī)項(xiàng)的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)方程(26),熱噪聲所帶來(lái)的熱漲落會(huì)使得實(shí)際終態(tài)和目標(biāo)終態(tài)存在偏差,利用(34)式可以計(jì)算出噪聲環(huán)境不同軌跡對(duì)量子保真度的影響.通過(guò)改變磁場(chǎng)的傅里葉分量Bj,n來(lái)尋找量子態(tài)的不同運(yùn)動(dòng)軌跡,以此降低熱噪聲影響,從而提高量子比特在熱噪聲環(huán)境下的保真度.

設(shè)置的初態(tài)為 (π/2,π/6) ,末態(tài)為 (π,π/3),利用蒙特卡羅優(yōu)化算法對(duì)磁場(chǎng)的傅里葉分量進(jìn)行優(yōu)化,這里選取傅里葉分量N=2,通過(guò)求解量子態(tài)的運(yùn)動(dòng)方程,從而得到在熱噪聲環(huán)境下量子態(tài)不同的演化軌跡如圖2 所示,通過(guò)方程(34)可以看到,由于熱噪聲的影響,存在一個(gè)指數(shù)形式漲落項(xiàng),即熱漲落會(huì)造成實(shí)際終態(tài)和目標(biāo)終態(tài)存在偏差,使得量子態(tài)不能100%的到達(dá)目標(biāo)態(tài).這3 條演化軌跡的保真度分別為0.9996,0.9995 和0.9996.

圖2 噪聲環(huán)境下,初態(tài)為 (π/2,π/6) ,末態(tài)為 (π,π/3) 的量子態(tài)在布洛赫球上不同的演化軌跡,其保真度分別為實(shí)線:0.9996;點(diǎn)實(shí)線: 0.9995;點(diǎn)線: 0.9996Fig.2.In the noisy environment,the quantum states of the initial state (π/2,π/6) and the final state (π,π/3) have different evolution tracks on the Bloch sphere.Their fidelity is respectively solid line: 0.9996;dot solid line: 0.9995;dot line: 0.9996.

為說(shuō)明該方法的普適性,選取了不同的初態(tài)對(duì)量子比特進(jìn)行調(diào)控,如圖3 所示是初態(tài)為 (π/2,π/6),末態(tài)為 (π,π/3) 時(shí)量子態(tài)的不同演化路徑,其保真度分別為0.9988,0.9996 和0.9986.

圖3 噪聲環(huán)境下,初態(tài)為 (π/2,π/6) ,末態(tài)為 (π,π/3) 的量子態(tài)在布洛赫球上不同的演化軌跡,其保真度分別為點(diǎn)線:0.9988;實(shí)線: 0.9996;點(diǎn)實(shí)線: 0.9986Fig.3.In the noisy environment,the quantum states of the initial state (π/2,π/6) and the final state (π,π/3) have different evolution tracks on the Bloch sphere.Their fidelity is respectively dot line: 0.9988;solid line: 0.9996;dot solid line: 0.9986.

4 討論

本文主要研究了偶極場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下的量子比特動(dòng)力學(xué)問(wèn)題.在無(wú)噪聲環(huán)境下,通過(guò)磁偶極子轉(zhuǎn)動(dòng)所產(chǎn)生的偶極場(chǎng)具有3 個(gè)方向的分量,而不僅僅只限于一個(gè)平面,根據(jù)數(shù)值計(jì)算的結(jié)果表明這種控制方式可以更加靈活的控制量子態(tài)并避免系統(tǒng)發(fā)生非絕熱躍遷,從而在短時(shí)間內(nèi)使得量子態(tài)100%到達(dá)目標(biāo)態(tài).

在考慮噪聲環(huán)境的情況下,采用隨機(jī)動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)分解研究了熱噪聲環(huán)境下的量子比特控制的優(yōu)化問(wèn)題,并利用久保-愛(ài)因斯坦?jié)q落耗散定理構(gòu)造了噪聲環(huán)境下量子態(tài)演化的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)方程,提出了一種在熱噪聲環(huán)境下量子控制的優(yōu)化方案,以此來(lái)提高量子比特的保真度,最后通過(guò)布洛赫球可視化的展現(xiàn)了量子態(tài)的演化軌跡.根據(jù)數(shù)值計(jì)算的結(jié)果可以看出熱噪聲帶來(lái)的熱漲落項(xiàng)使得量子比特的實(shí)際終態(tài)和目標(biāo)終態(tài)存在偏差,成為影響保真度的主要因素,而熱漲落的大小與溫度以及量子態(tài)的運(yùn)動(dòng)軌跡有關(guān),因此可以通過(guò)降低溫度以及優(yōu)化量子態(tài)的運(yùn)動(dòng)軌跡來(lái)提高量子比特的保真度.

本文所計(jì)算的溫度為100 mK,在高溫條件下,熱漲落會(huì)更加顯著,熱噪聲對(duì)量子比特的影響可能會(huì)增大.通過(guò)蒙特卡羅優(yōu)化算法可以對(duì)量子態(tài)的演化軌跡進(jìn)行優(yōu)化從而降低熱噪聲對(duì)量子比特的保真度的影響.該算法具有跳出局部極小值的能力,可以全局搜索最優(yōu)解,并提供相對(duì)較好的性能.在高溫條件下,蒙特卡羅優(yōu)化算法仍然適用,對(duì)于提高量子比特的工作溫度具有指導(dǎo)意義.在低溫條件下,熱噪聲的影響相對(duì)較小,量子噪聲的影響較為顯著,我們將在未來(lái)的工作中考慮這一影響.

該方案可以應(yīng)用于多種通過(guò)磁場(chǎng)控制的量子比特系統(tǒng)中.例如,在半導(dǎo)體量子比特[41]中,可以通過(guò)在量子點(diǎn)或量子阱附近引入一個(gè)磁性粒子或使用一個(gè)納米磁鐵控制磁場(chǎng).通過(guò)對(duì)磁場(chǎng)的精細(xì)控制,可以實(shí)現(xiàn)半導(dǎo)體量子比特的單比特甚至多比特操作.磁偶極場(chǎng)的控制也可以通過(guò)外加靜態(tài)磁場(chǎng)和微波控制磁場(chǎng)等方式實(shí)現(xiàn).在N-V 色心量子比特[42]中,通過(guò)外加一個(gè)外加靜態(tài)磁場(chǎng),可以讓量子比特的自旋軸沿著磁場(chǎng)方向排列,然后通過(guò)施加微波來(lái)控制量子比特的狀態(tài).這些控制方式可能等效為一種偶極場(chǎng),偶極場(chǎng)是一種真實(shí)存在的物理約束場(chǎng),其形式比較直觀,在實(shí)驗(yàn)上比較利于設(shè)計(jì).

該方法也可以用來(lái)解決低溫下量子有色噪聲的相關(guān)問(wèn)題,通過(guò)Caldeira 和 Leggett[43]使用過(guò)的影響泛函(influence function)[44]可以驗(yàn)證該方法的有效性.隨著不斷發(fā)展的量子控制技術(shù),本工作在將來(lái)或許有更多的應(yīng)用場(chǎng)景,也可以推廣到多量子比特系統(tǒng)中.

特別感謝上海納諾巴伯納米科技有限公司對(duì)本研究的幫助與支持.