賴紅

(西南大學計算機與信息科學學院,重慶 400715)

等距張量(即張量 ω 滿足 ω?ω=I)為實現(xiàn)張量網(wǎng)絡態(tài)(tensor network states,TNSs)中確定糾纏態(tài)的壓縮提供了一種新穎而強大的數(shù)學構(gòu)造算法.結(jié)合等距張量,本文發(fā)現(xiàn)在量子密鑰分發(fā)(quantum key distribution,QKD)中可能采取完全不同的密鑰生成方法,即在不改變糾纏態(tài)結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的情況下,將任意多光子糾纏態(tài)壓縮成單光子態(tài)或者Bell 態(tài).在提出的QKD 協(xié)議中,輸入態(tài)由任意糾纏態(tài)組成,這些輸入態(tài)首先被發(fā)送方Alice 壓縮成單光子態(tài) |0〉或 |1〉 或Bell 態(tài),使得提出的協(xié)議同時達到了多模存儲和確定性傳輸?shù)囊?且減少了需要傳輸和存儲的量子比特數(shù)量,從而提高了QKD 協(xié)議的編碼能力.然后再添加誘騙態(tài)在這些單光子態(tài)|0〉和 |1〉 中,再通過量子信道一起發(fā)送給接收方Bob,以制備密鑰.最后,Alice 和Bob 利用篩選出來的壓縮態(tài)|0 〉和|1〉 以及他們對應的等距張量的共軛轉(zhuǎn)置來協(xié)商出共享密鑰.本文提出的協(xié)議比一般協(xié)議中的單光子能編碼更多的經(jīng)典比特,顯著提高了編碼效率,減少了量子資源的使用.本文提出的QKD 協(xié)議還保持了生成密鑰的完美安全性.

1 引言

最近,量子數(shù)據(jù)壓縮已成為熱門話題,因為量子存儲仍然存在非常昂貴且供不應求的問題[27-35].例如,Fan 等[27]設計了兩種量子數(shù)據(jù)壓縮協(xié)議,分別適用于壓縮四個和五個完全相同的量子比特.Bostroem 和 Felbinger[28]在他們的協(xié)議中提出了一個無損、瞬時量子數(shù)據(jù)壓縮協(xié)議.該協(xié)議應用了可變長度量子消息的框架.Plesch 和Bu?ek[30]同樣提出了利用N個相同的制備的量子編碼.Rozemae等[31]證明N個相同制備的量子比特的集合可壓縮到量子比特.而且,學者還提出使用機器學習和量子自動編碼器來改善壓縮.而基于糾纏態(tài)的QKD 研究中的一個中心問題是糾纏態(tài)是否可以被壓縮成單光子態(tài).Acoleyen 等[36]已經(jīng)肯定地回答了這個問題.他們證明糾纏壓縮可以通過在多尺度糾纏重整化假設(multiscale entanglement renormalisation ansatz,MERA)的等距和矩陣乘積算符(matrix product operator,MPO)的局域張量之間構(gòu)建映射來實現(xiàn).2023 年,Lai 等[37]將MERA壓縮方法用到QKD 協(xié)議的設計中,即提出用構(gòu)造的等距張量壓縮多光子糾纏態(tài).但是,在Lai 等[37]的協(xié)議里,沒有進一步擴展它們構(gòu)造的等距張量在QKD協(xié)議的應用,以及缺少相應的功能分析和安全性分析.

盡管量子數(shù)據(jù)壓縮帶來了很多優(yōu)勢,但也帶來了挑戰(zhàn).最重要的是它的安全性.Evenbly[38]提出了一類可用作監(jiān)督學習中的分類器的數(shù)態(tài)保跡張量網(wǎng)絡.但他發(fā)現(xiàn)糾纏態(tài)的乘積態(tài)無法將中間態(tài)與經(jīng)典數(shù)據(jù)聯(lián)系起來.這意味著可解釋性損失.然而,本文卻相信正是這種可解釋性損失可以用來確保QKD 的安全性.具體地,本文應用 Evenbly[38]提出的數(shù)態(tài)保跡的等距矩陣,基于Lai 等[37]構(gòu)造的廣義等距張量來更系統(tǒng)更全面地展示QKD 中壓縮糾纏態(tài)的優(yōu)勢及其安全性分析,同時解決BB84,Ekert91,BBM92 和基于GHZ 的QKD 協(xié)議的不足.因此,本文的擴展超越了簡單減少需要傳輸和存儲的量子比特數(shù)量以及消耗更少的量子資源(量子比特和內(nèi)存).此外,本文的 QKD 協(xié)議允許將經(jīng)典信息更有效地編碼為量子比特.更容易保護協(xié)議免受退相干.本文通過例子來介紹本文的協(xié)議.在示例中,Alice 使用等距張量從N(N3)光子 GHZ態(tài)制備一個壓縮的數(shù)態(tài)|0〉或|1〉或Bell 態(tài).然后,Alice 通過量子信道將壓縮后的數(shù)態(tài)與誘騙態(tài)一起發(fā)送給 Bob.最后,Alice 和 Bob 可以通過篩選出來的壓縮態(tài)|0〉和|1〉解壓縮達成一致密鑰.此外,本文的協(xié)議還保持了共享密鑰的完美安全性.

2 背景知識

首先介紹等距矩陣的定義及其性質(zhì),然后給出了用于糾纏壓縮的廣義等距張量的嚴格數(shù)學定義.

2.1 等距矩陣及其性質(zhì)

定義1 (等距矩陣[38])給定一個d1×d2矩陣ω使得ω?ω=I(當d1＜d2)或ωω?=I(當d1＞d2),則ω稱為等距矩陣.

(1)式表明等距矩陣ω保證兩個量子態(tài)在小空間的內(nèi)積等于它們映射到大空間的像的內(nèi)積.

2.2 廣義等距張量及其性質(zhì)

定義2 (第一類廣義的等距張量[37])廣義的等距張量w(wN1,wN2),N≥3 定義如下:

并且

同時，通過區(qū)塊鏈技術(shù)將共享維修站采集的數(shù)據(jù)存儲于云端，而區(qū)塊鏈技術(shù)本身的防篡改、可追溯等特點為實現(xiàn)數(shù)據(jù)資產(chǎn)確權(quán)提供了可能性。即數(shù)據(jù)可面向需求者，創(chuàng)造出更多的新應用。而數(shù)據(jù)提供及參與者，將在數(shù)據(jù)被使用后拿到相應的利益回報。此開放性舉措的提出與落實，相信對于汽車行業(yè)乃至整個消費行業(yè)來說，都將具有革新性的意義。

第一類廣義等距張量可用于壓縮任何N-光子GHZ 糾纏態(tài)為單光子態(tài).

定義3 (第二類廣義的等距張量[37])廣義的等距張量定義如下:

注意在等距張量wN′1的第2,3 行,非零元的個數(shù)為 2N-1-1 .

注意在等距張量wN′2的第1,4 行,非零元的個數(shù)為 2N-1-1 .其中w′(w′N1,w′N2) 滿足以下條件:

第二類廣義等距張量可用于壓縮任何N-光子GHZ糾纏態(tài)為Bell 態(tài).

3 基于糾纏壓縮的QKD 協(xié)議

本節(jié)將展示如何使用廣義等距張量設計兩個基于糾纏壓縮的QKD 協(xié)議.設計這樣協(xié)議的目的是減少通信和存貯的開銷和全面的揭示糾纏壓縮的QKD 協(xié)議的優(yōu)勢.在這里,通信和存儲開銷被理解為在協(xié)議執(zhí)行期間交換和存儲的量子比特數(shù).由于量子信息處理設備的許多想法都是基于在網(wǎng)絡節(jié)點之間用一個相對較小的量子處理器發(fā)送量子信息的,因此找到用于壓縮傳輸?shù)牧孔訑?shù)據(jù)的協(xié)議具有重要的實際意義.更一般地,大部分量子信息理論都涉及在局域約束[39]下對數(shù)據(jù)的進行操作,因此本文提出協(xié)議自然地與這些研究需求相關(guān)聯(lián).在協(xié)議中,本文假設Alice 可以制備任何糾纏態(tài)且獨立地利用一系列等距張量將這些糾纏態(tài)壓縮為單光子態(tài)或者Bell 態(tài),然后將壓縮后的單光子態(tài)或者Bell 態(tài)糾纏光子通過量子信道發(fā)送給 Bob,Bob隨機選擇測量基測量這些壓縮的單光子態(tài),然后對篩選后的壓縮的單光子態(tài)或者Bell 態(tài)糾纏光子進行解壓縮來得到密鑰.

3.1 第一個協(xié)議的描述

給定N≥3,本文取N光子 GHZ 糾纏態(tài).本文的 QKD 協(xié)議按以下步驟執(zhí)行.

步驟1 制備壓縮單光子態(tài).該步驟由 Alice 執(zhí)行.利用(2)式和(3)式中的等距張量w(wN1,wN2).N光子 GHZ 糾纏態(tài)被 Alice 壓縮為數(shù)態(tài)|0〉和|1〉(參見圖1). 即使用w(wN1,wN2)后被壓縮的數(shù)態(tài)分別為|0〉和|1〉,具體數(shù)學表達式為

圖1 利用wN1, wN2,N 光子GHZ 糾纏態(tài)(/2)(|00···0〉+|11···1〉)被隨機壓縮為數(shù)態(tài) |0〉 或 |1〉,利用,|0〉 或|1〉被解壓縮為N 光子GHZ 糾纏態(tài) (/2)(|00···0〉+|11···1〉) 示意圖Fig.1.The schematic compression of (/2)(|00···0〉+|11···1〉) into |0〉or |1〉 using wN1,wN2,and decompression of |0〉 or|1〉 into (/2)(|00···0〉+|11···1〉) using .

步驟2 壓縮單光子態(tài)的傳輸.Alice 通過一個量子信道將壓縮后的單光子態(tài)發(fā)送給Bob.在這里Alice 和Bob 約定,當?shù)玫綁嚎s態(tài)為數(shù)態(tài)|0〉和|1〉時,分別解壓縮得到n比特的經(jīng)典信息00···0和 11···1 .這些通過量子信道的傳輸?shù)膲嚎s單光子態(tài)受到誘騙態(tài)的保護.

步驟3 用于竊聽檢測的誘騙態(tài).Alice 隨機選擇基Bz={|0〉,|1〉},Bx={|+〉,|-〉}用于產(chǎn)生誘騙態(tài),其中|+〉=(|0〉+|1〉)/.隨后將誘騙態(tài)隨機插入到壓縮單光子態(tài)序列中,并記錄這些誘騙態(tài)的位置及初始態(tài).一旦Bob 確認收到粒子后,Alice公布誘騙態(tài)的位置及測量這些誘騙態(tài)的測量基.Bob 完成測量后,通過認證廣播信道通知Alice 他的測量結(jié)果.通過比較誘騙態(tài)的初始態(tài)與參與者測量得到的態(tài),Alice 可計算這些誘騙態(tài)的錯誤率.如果錯誤率高于某個預先設定的閾值,則協(xié)議中止,否則繼續(xù).

步驟4 壓縮糾纏態(tài)的測量.該步驟類似于BB84[1]的相應步驟.在接收到一個壓縮糾纏態(tài)后,Bob 隨機選擇一個基進行測量.接下來,Bob 用認證廣播信道告訴Alice 其選擇的基.最后,通過對基后,Alice 通過認證廣播信道通知Bob 等距張量用于解壓縮相應的壓縮糾纏態(tài).最后,他們使用解壓縮最后篩選出來的壓縮糾纏態(tài)如下所示:

整個過程如表1 所示.

步驟5 密鑰協(xié)商.此步考慮被解壓縮回N光子GHZ 態(tài)所編碼的經(jīng)典比特信息.當Alice 和Bob解壓縮被篩選出來的單光子為(/2)(|00···0〉+|11···1〉),他們根據(jù)步驟2 的約定,可得到經(jīng)典信息 00···0 和 11···1,把它們串接到一起就得到了生密鑰.

3.2 第二個協(xié)議的描述

本節(jié)描述了一種將任何N光子GHZ 態(tài)壓縮為Bell 態(tài)的協(xié)議(參見圖2).其實很多量子信息理論都與局域約束下[39]的量子數(shù)據(jù)操作有關(guān),因此本文的協(xié)議自然與這些研究相關(guān).對于任何糾纏態(tài),本文基于Lai 等[37]定義的廣義等距張量展示了一種最佳壓縮它們的方法,且充分利用了 Alice和 Bob 之間壓縮貝爾態(tài)的相關(guān)性來實現(xiàn)QKD.本文的第2 個 QKD 協(xié)議步驟如下.

圖2 利用 w′N1,wN′2,N 光子 GHZ 糾纏態(tài) (/2)(|00···0〉+|11···1〉)被隨機壓縮為Bell 態(tài) (/2)(|00〉+|11〉) 或(/2)(|01〉+|10〉),利用,Bell 態(tài) (/2)(|00〉+|11〉) 或 (/2)(|01〉+|10〉) 被解壓縮為N 光子 GHZ 糾纏態(tài)(/2)(|00···0〉+|11···1〉)示意圖Fig.2.The schematic compression of (/2)(|00···0〉+|11···1〉) into (/2)(|00〉+|11〉) or (/2)(|01〉+|10〉) usingwN′1,wN′2,and decompression of (/2)(|00〉+|11〉) or (/2)(|01〉+|10〉) into (/2)(|00···0〉+|11···1〉) using .

步驟2 壓縮Bell 態(tài)的傳輸.Alice 通過量子信道將每個壓縮后的Bell 態(tài)中的一個光子發(fā)送給Bob,另一個自己保留.在這里,Alice 和Bob 約定: 當?shù)玫綁嚎sBell 態(tài)分別為 (/2)(|00〉+|11〉),(/2)(|01〉+|10〉),解壓縮得到n比特的經(jīng)典信息就分別為 00···0 和 11···1.這些通過量子信道的傳輸?shù)膲嚎sBell 態(tài)糾纏光子受到誘騙態(tài)的保護.

步驟3 用于竊聽檢測的誘騙態(tài).Alice 隨機選擇基Bz={|0〉,|1〉},Bx={|+〉,|-〉}用于產(chǎn)生誘騙態(tài),其中|+〉=(|0〉+|1〉)/.隨后將誘騙態(tài)隨機插入到壓縮單光子態(tài)序列中,并記錄這些誘騙態(tài)的位置及初始態(tài).一旦在Bob 確認收到粒子后,Alice公布誘騙態(tài)的位置及測量這些誘騙態(tài)的測量基.Bob 完成測量后,通過認證廣播信道通知Alice 他的測量結(jié)果.通過比較誘騙態(tài)的初始態(tài)與參與者測得的態(tài),Alice 可計算這些誘騙態(tài)的錯誤率.如果錯誤率高于某個預先設定的閾值,則協(xié)議中止,否則繼續(xù).

步驟4 壓縮Bell 態(tài)的測量.該步驟類似于BBM92[4]的相應步驟.在接收到一個壓縮糾纏態(tài)光子后,Bob 隨機選擇一個基進行測量.接下來,Bob 用認證廣播信道告訴Alice 其選擇的基.然后通過對基后,根據(jù)步驟1 的約定,Alice 和Bob 可以得到相應的壓縮Bell 態(tài).最后,Alice 通過認證廣播信道通知Bob 等距張量用于解壓縮相應的壓縮糾纏態(tài),即他們使用解壓縮最后篩選出來的壓縮Bell 態(tài).這里以等式(12)和(13)為例說明,可得如下等式:

步驟5 密鑰協(xié)商.考慮被解壓縮回N光子GHZ態(tài)所編碼的經(jīng)典比特信息.當Alice 和Bob 解壓縮被篩選出來的單光子為(|00···0〉+|11···1〉),他們根據(jù)步驟2 的約定,可得到經(jīng)典信息 00···0 和11···1,把它們串接到一起就得到生密鑰.

4 性能分析

4.1 壓縮性和解壓縮性

不僅壓縮和解壓縮的過程非常簡單,而且使用等距張量進行糾纏壓縮可以使用量子電路和當前技術(shù)來實現(xiàn).由于量子信息處理設備的許多想法都是基于在網(wǎng)絡節(jié)點之間用一個相對較小的量子處理器發(fā)送量子信息的,因此找到用于壓縮傳輸?shù)牧孔訑?shù)據(jù)的協(xié)議具有重要的實際意義.更一般地,大部分量子信息理論都涉及在局域約束[39]下對數(shù)據(jù)的進行操作,因此本文提出的協(xié)議自然地與這些研究需求相關(guān)聯(lián).

4.2 抗退相干性

在Ekert91[3]和BBM92[4]協(xié)議中和基于GHZ態(tài)的QKD 協(xié)議中[7-23]要求是糾纏態(tài).然而,糾纏粒子在實際傳輸和存儲過程中會相互作用,從而導致糾纏系統(tǒng)的粒子之間的退相干(或糾纏退化).這在本文的第一個協(xié)議中是可以避免的,因為糾纏態(tài)被壓縮成一個單光子態(tài).因此,本文的協(xié)議可以抗退相干.更多的細節(jié)在下面的表2 可見.

表2 本文的協(xié)議與文獻[4,16,20]中的協(xié)議進行了比較Table 2.Our protocol compares with the protocols in Refs.[4,16,20].

4.3 低量子傳輸和量子存儲開銷

對于Ekert91[3]和BBM92[4]協(xié)議和基于GHZ態(tài)的QKD 協(xié)議[7-23],每個光子最多只能生成兩個密鑰,故需要傳輸和存儲大量的光子.而在QKD中,量子比特比經(jīng)典比特更昂貴,主要是因為其技術(shù)成本高、安全性要求高和易失性高等原因.本文的協(xié)議是先將任何糾纏態(tài)壓縮為單光子態(tài)或Bell態(tài),再發(fā)送給接收方.即本文使用相應的等距張量來實現(xiàn)了大大減少需要傳輸和存儲的量子光子數(shù).盡管等距張量構(gòu)造和存儲本身應該也有開銷,但是,眾所周知,經(jīng)典的傳輸和存儲開銷比量子的開銷要低很多.更重要的是由于等距張量在本文的構(gòu)造很有規(guī)律性(見等式(2),(3),(6),(7)),因此,可以通過優(yōu)化算法來構(gòu)造和存儲協(xié)議中使用的等距張量進一步減少相應的開銷.綜上所述,本文的QKD 協(xié)議具有較低的量子傳輸和量子存儲開銷.

4.4 高編碼容量

對于BB84[1],Ekert91[3]和BBM92[4]協(xié)議,以及基于GHZ 態(tài)的QKD 協(xié)議[7-23],每個成功傳送并被正確測量光子只能編碼1 比特經(jīng)典信息.這極大地限制了QKD 協(xié)議的實際使用效率.相比之下,在本文的協(xié)議中,一個壓縮數(shù)態(tài)|0〉或|1〉或以同樣的方式成功傳送并被正確測量,卻可以被編碼成多位經(jīng)典信息.因為我們可以通過等距張量方法將一個n比特的糾纏態(tài)壓縮為一個2 量子比特的糾纏態(tài)或者1 量子比特的單光子,其中2＜n.然后可以使用這個2 量子比特糾纏態(tài)或者1 量子比特單光子來傳輸和存儲信息.在接收端,可以使用等距張量轉(zhuǎn)置方法將這個2 量子比特糾纏態(tài)或者1 量子比特單光子解壓縮為一個n量子比特的糾纏態(tài),從而恢復出原始的信息.也就是說,Alice 只需要傳輸和存儲1 量子比特的光子,就可以結(jié)合相應的等距張量來生成n比特的生密鑰.從而實現(xiàn)高效量子比特的利用率和高編碼能力.因此,我們的協(xié)議實現(xiàn)了高容量編碼.故壓縮的態(tài)不僅減少了需要傳輸和存儲的量子位元的數(shù)量,而且還增加了一個額外的定性特性,即增加了QKD 協(xié)議的編碼能力.這就同時實現(xiàn)了多模式存儲和確定性傳輸?shù)囊?

5 結(jié)論

本文研究了在 QKD 協(xié)議中對糾纏態(tài)源執(zhí)行壓縮的問題.研究發(fā)現(xiàn)可以利用QKD 協(xié)議中的壓縮的相關(guān)性來提高眾所周知的 BB84 和 BBM92的編碼能力.該協(xié)議的優(yōu)點是普遍使用的糾纏態(tài)包括Bell 態(tài)和N光子GHZ 態(tài)都可以通過使用特定的等距張量壓縮成和單光子態(tài)|0〉,|1〉.這種方法在使用量子態(tài)的數(shù)量上比傳統(tǒng)使用糾纏態(tài)的QKD 更有效.同時,展示了如何獲得一個類似的等距張量來獲得解壓縮的壓縮糾纏態(tài).此外,結(jié)合等距張量,本文還可以獲得糾纏態(tài)的系數(shù),克服其他糾纏壓縮的主要限制.最重要的是,由等距張量構(gòu)造的張量網(wǎng)絡等價于量子電路,使本文的提出的協(xié)議在當前技術(shù)下具有可實施性,也同時實現(xiàn)了多模式存儲和確定性傳輸?shù)囊?