山東省濱州實(shí)驗(yàn)中學(xué) (256600) 李俊嶺 陳鳳華

“同構(gòu)”是源于抽象代數(shù)中的一個(gè)專業(yè)術(shù)語,指的是具有保持結(jié)構(gòu)的雙射. 換句話說,是描述具有不同表現(xiàn)形式的同一結(jié)構(gòu). 所謂同構(gòu)思想,就是通過觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,利用代數(shù)運(yùn)算性質(zhì)構(gòu)造出統(tǒng)一的形式,進(jìn)而抽象出函數(shù)或方程等熟悉的數(shù)學(xué)模型,然后或是脫去母函數(shù)的外衣,把函數(shù)值的關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的關(guān)系,或是利用方程解的知識(shí)實(shí)現(xiàn)變量表達(dá)形式的轉(zhuǎn)化,從而化繁為簡,化難為易,化生為熟,實(shí)現(xiàn)解題過程的優(yōu)化.

數(shù)列是一種特殊函數(shù), 其呈現(xiàn)方式主要有兩種: 遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式. 用遞推關(guān)系來呈現(xiàn)數(shù)列, 給出了項(xiàng)與項(xiàng)之間的內(nèi)在關(guān)系, 給出了數(shù)列的變化規(guī)律和構(gòu)造過程, 很多情況下對(duì)這種項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系式, 通過適當(dāng)變形, 易構(gòu)造成變量不同, 但結(jié)構(gòu)相同的兩個(gè)式子, 進(jìn)而抽象出一個(gè)常函數(shù)模型來求解通項(xiàng)問題. 同時(shí), 通項(xiàng)公式an=f(n)(n∈N*) 是數(shù)列的項(xiàng)關(guān)于項(xiàng)數(shù)的函數(shù), 其中f(n) 多可拆分成g(n)-g(n-1) 的形式, 再結(jié)合前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系an=Sn-Sn-1(n≥2,n∈N*),則有Sn-g(n) =Sn-1-g(n-1), 從而通過同構(gòu)構(gòu)造常數(shù)列{Sn-g(n)},結(jié)合S1-g(1)的值,即可求得Sn. 本文探究了“同構(gòu)思想”在數(shù)列中求和與求通項(xiàng)公式的一些妙用,以期拓展思維,培養(yǎng)學(xué)生抽象和化歸的思維能力,提升綜合素養(yǎng).

一、“同構(gòu)思想”在由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式中的應(yīng)用

要想用同構(gòu)的方法由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式,其關(guān)鍵是構(gòu)造常數(shù)列,即通過代數(shù)變形構(gòu)造形如f(n) =f(n+1)的等式,得到常數(shù)列{f(n)}(n∈N*),再由f(n) =f(1)求通項(xiàng)公式.

由上可知,對(duì)遞推式中加減的關(guān)于n的式子拆分也是構(gòu)造常數(shù)列的關(guān)鍵,下面通過實(shí)例對(duì)常見拆分方法進(jìn)行探究.

例2已知數(shù)列{an} 滿足a1= 2,an+1=an+ 2n(n∈N*),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解析由an+1=an+2n=an+n(n+1)-(n-1)n得an+1-n(n+1) =an-(n-1)n,即數(shù)列{an-(n-1)n}為常數(shù)列. 又a1- 1 × 0 = 2, 得an- (n- 1)n= 2, 即an=n2-n+2.

評(píng)注對(duì)形如an+1=an+λn+μ(n∈N*,λ,μ為常數(shù))的遞推式中,所含的一次式進(jìn)行拆分,要將其升冪到二次式才能實(shí)現(xiàn)同構(gòu),即

對(duì)于例2 中的遞推式求通項(xiàng),常規(guī)方法是累加法,本文不再贅述.

評(píng)注形如an+1=qnan(q／= 1)的遞推式求通項(xiàng),常規(guī)方法是累乘法. 這里通過構(gòu)造常數(shù)列,使得解答過程更加的簡潔.

二、“同構(gòu)思想”在數(shù)列求和中的應(yīng)用

知道數(shù)列的通項(xiàng),求其前n項(xiàng)和,是數(shù)列中最為常見的題型. 由數(shù)列前n項(xiàng)和的定義與上文對(duì)數(shù)列{an}的通項(xiàng)拆分方法,可以通過構(gòu)造常數(shù)列來求Sn.

比如,在等差數(shù)列{an}中,an=pn+q(n∈N*,p,q為常數(shù)),為求其前n項(xiàng)和Sn,由

例4在數(shù)列{an}中,已知an=(2n+1)·3n(n∈N*),求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

解析由變式3 中的方法,an=n·3n+1-(n-1)·3n,即Sn-Sn-1=n·3n+1-(n-1)·3n(n≥2),進(jìn)一步整理得Sn-n·3n+1=Sn-1-(n-1)·3n,即數(shù)列{Sn-n·3n+1}為常數(shù)列. 又S1- 32= 0, 所以Sn-n·3n+1= 0, 即Sn=n·3n+1.

評(píng)注對(duì)于“差比數(shù)列”求前項(xiàng)和,常規(guī)的方法是錯(cuò)位相減,即轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和. 但過程煩瑣,計(jì)算復(fù)雜,學(xué)生難以得出正確答案. 通過構(gòu)造常數(shù)列,大大簡化了求解過程,提高了正確度. 同時(shí)要看到,這種對(duì)通項(xiàng)拆分構(gòu)造常數(shù)列與裂項(xiàng)相消的在形式上相近,但本質(zhì)不同. 在“同構(gòu)思想”指導(dǎo)下的裂項(xiàng)要求必須把a(bǔ)n=f(n)拆分成an=g(n)-g(n-1)的形式,進(jìn)而有Sn-g(n)=Sn-1-g(n-1),要保證Sn的角標(biāo)與項(xiàng)中n的取值相一致,才能實(shí)現(xiàn)同構(gòu),而裂項(xiàng)相消中的裂項(xiàng)只需把有關(guān)項(xiàng)順次相消,項(xiàng)中n的變化未必鄰項(xiàng)連續(xù).

變式5在數(shù)列{an}中,已知an=n2·3n(n∈N*),求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

解析由

三、結(jié)束語

在學(xué)習(xí)中,換一種視角去觀察和思考所研究的對(duì)象,會(huì)有不同的感受與認(rèn)識(shí),把這些不同的感受和認(rèn)識(shí)聯(lián)系與對(duì)比,又會(huì)產(chǎn)生新的認(rèn)識(shí),形成更高的觀點(diǎn),使我們達(dá)到更高的境界. 將同構(gòu)的思想引入到數(shù)列中來,也就是從代數(shù)和函數(shù)兩個(gè)角度進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)列. 數(shù)列作為代數(shù)傳統(tǒng)意義上的內(nèi)容,豐富的代數(shù)運(yùn)算和代數(shù)變形應(yīng)是處理相關(guān)問題的重要途徑,而在教學(xué)中,往往演變成了過多依賴套公式求和、求通項(xiàng),以及求解其他數(shù)列問題,對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和數(shù)學(xué)思維能力的提高是不利的. 在同構(gòu)思想的指導(dǎo)下,根據(jù)解題目標(biāo),對(duì)通項(xiàng)公式、遞推式進(jìn)行代數(shù)變形,構(gòu)造同一結(jié)構(gòu)的代數(shù)式,讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)內(nèi)容是通過相關(guān)形式表達(dá)和發(fā)展的,從而對(duì)代數(shù)知識(shí)形成正確的認(rèn)識(shí),也為進(jìn)一步的代數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ). 再就是在數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和等知識(shí)中,函數(shù)思想貫穿始終,數(shù)列的同構(gòu)實(shí)際上是對(duì)函數(shù)思想的進(jìn)一步應(yīng)用. 我們?cè)趯?duì)項(xiàng)數(shù)和項(xiàng)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系的探究中,獲取規(guī)律,抽象出同構(gòu)式,既是在變化和動(dòng)態(tài)中,尋找兩個(gè)量始終不變的函數(shù)關(guān)系. 教學(xué)中只有不斷地為學(xué)生創(chuàng)設(shè)情景,對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法不斷地去思考、探究、總結(jié)、提煉、應(yīng)用,學(xué)生才會(huì)真正地對(duì)其理解與掌握.