四川省名山中學(xué) (625100) 高繼浩

文[1]探究了橢圓和雙曲線中一類三線斜率關(guān)系,得到了如下核心結(jié)論:

此結(jié)論結(jié)構(gòu)美觀,但E1、E2兩點(diǎn)是關(guān)于y軸對稱的,這使筆者思考: 若E1、E2兩點(diǎn)不關(guān)于y軸對稱,則k1、k2、k三者之間的關(guān)系又如何? 經(jīng)探究得到:

命題1已知橢圓= 1(a＞b＞0)和E1(λ1a,0)、E2(λ2a,0)(λ1,λ2／=±1)兩點(diǎn),A為橢圓上動(dòng)點(diǎn),直線AE2與橢圓交于另一點(diǎn)B, 直線E1A、E1B與直線x=μa(μ／=λ1,λ2)分別交于M、N兩點(diǎn),若直線ME2、NE2、AB的斜率分別為k1、k2、k,橢圓的離心率為e,則

證明如圖1, 顯然k1k2k／= 0, 設(shè)直線AB的方程為x=my+λ2a(m／=0), 與橢圓的方程聯(lián)立, 消去x得(b2m2+a2)y2+ 2λ2ab2my+a2b2(λ22-1)= 0, 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則

圖1

圖2

命題2-4 的證明與命題1 類似,從略.

對拋物線進(jìn)行探究得到:

命題5已知拋物線y2=2px(p＞0) 和E1(λ1,0)、E2(λ2,0)(λ1,λ2／=0) 兩點(diǎn),A為拋物線上動(dòng)點(diǎn), 直線AE2與拋物線交于另一點(diǎn)B, 直線E1A、E1B與直線x=μ(μ／=λ1,λ2)分別交于M、N兩點(diǎn),若直線ME2、NE2、AB的斜率分別為k1、k2、k,則