安徽省合肥市肥東縣城關(guān)中學(xué) (231600) 王東海

在解析幾何研究中,直線與圓錐曲線相交問題一直是高考及各地?？嫉臒狳c(diǎn)和難點(diǎn),這其中分點(diǎn)弦定值問題頗受命題專家的青睞. 事實(shí)上,分點(diǎn)弦定值問題就是在撲朔迷離的變化中去尋找分點(diǎn)弦比值之和、差的不變性. 正如張冀宙教授所言: 數(shù)學(xué)中到處都是變與不變的矛盾統(tǒng)一,數(shù)學(xué)研究變化,卻以找到其中的不變性作為歸宿. 尋找并欣賞數(shù)學(xué)中無處不在的不變性質(zhì),是把握數(shù)學(xué)的鑰匙之一.

1 考題呈現(xiàn)

題目(2023 年江蘇省高三二模)已知拋物線C:y2=2px(p＞0),過焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于M,N兩點(diǎn),交y軸于E點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1 時(shí),|MF|=2.

(1)若直線l的斜率為1,求弦長|MN|.

易得第(1)問C:y2=4x,|MN|=8. 第(2)問可以利用同構(gòu)方程、直線參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程解答,得λ1+λ2=-1.試題平中見奇,內(nèi)涵豐富,是具有研究性學(xué)習(xí)價(jià)值的好題.

2 背景探究

近年來,命題者開始挖掘高等幾何中一些素材來命制高考和模考中的圓錐曲線試題. 本文探討的?？碱}的命題背景是高等幾何中的極點(diǎn)和極線這塊內(nèi)容. 為了能夠闡述清楚,先來探討一下本題涉及到的概念和性質(zhì):

定義1給出線段AB的內(nèi)分點(diǎn)C和外分點(diǎn)D, 若, 則稱C,D調(diào)和分割線段AB(或線段AB被C,D調(diào)和分割),也稱點(diǎn)列A,B,C,D為調(diào)和點(diǎn)列.

定義2設(shè)兩點(diǎn)C,D的連線與圓錐曲線Γ 相交于A,B,若線段AB被C,D調(diào)和分割,則稱C,D是關(guān)于圓錐曲線Γ的一對(duì)調(diào)和共軛點(diǎn).

定義3一點(diǎn)P關(guān)于圓錐曲線Γ的所有調(diào)和共軛點(diǎn)的軌跡為一條直線p,此時(shí)稱直線p為點(diǎn)P(關(guān)于Γ)的極線,點(diǎn)P稱為直線p(關(guān)于Γ)的極點(diǎn).

如圖1, 此題中焦點(diǎn)F對(duì)應(yīng)的極線恰為準(zhǔn)線直線l交準(zhǔn)線于S點(diǎn),則由上述極點(diǎn)極線知識(shí)可知,M,N,F,S成調(diào)和點(diǎn)列,即有

圖1

再化簡此式得-2λ1-1=2λ2+1,從而解得λ1+λ2=-1.故而本題的命題背景實(shí)際上是極點(diǎn)極線理論的進(jìn)一步推導(dǎo).

事實(shí)上,掌握了以上命題背景,還可命制類似于考題的試題,比如將y軸換成其它直線,或?qū)佄锞€換成其它圓錐曲線等.

3 一般性探究

能否將試題第(2)問中的拋物線推廣至一般的拋物線?能否將焦點(diǎn)與準(zhǔn)線推廣至一般的極點(diǎn)和極線呢?

4 類比探究

5 拓展探究

6 高考溯源

題1(2018 年高考北京卷第19 題)如圖2,已知拋物線C:y2=2px(p＞0) 經(jīng)過點(diǎn)P(1,2), 過點(diǎn)Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B,且直線PA交y軸于M,直線PB交y于N,設(shè)O為原點(diǎn),求證:為定值.

圖2

證明設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),直線l:y=kx+1. 聯(lián)立直線l和C方程并消去y整理得:k2x2+(2k-4)x+1=0. 則