劉榮華，潘峰，刁奇，陳盟

（1.北京理工大學(xué) 自動化學(xué)院，北京 100081；2.中國船舶集團有限公司第七一六研究所，江蘇，連云港 222061；3.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 蕪湖機器人產(chǎn)業(yè)技術(shù)研究院，安徽，蕪湖 241000）

工業(yè)測量設(shè)備在進行自動化測量之前，通常需 要校準傳感器的內(nèi)部參數(shù)及標定傳感器坐標系、測量設(shè)備坐標系之間的空間位姿關(guān)系，傳感器內(nèi)部參數(shù)校準屬設(shè)備內(nèi)參標定，傳感器坐標系與測量設(shè)備坐標系位姿關(guān)系標定屬設(shè)備外參標定，本文僅關(guān)注外參標定.外參標定，即以剛體位姿變換為單一目標的優(yōu)化問題，在實際測量系統(tǒng)構(gòu)建中廣泛存在，如雙目或多目立體視覺系統(tǒng)需要標定出任意兩個二維相機之間的精確位姿關(guān)系[1]，自動駕駛汽車感知系統(tǒng)需要標定圖像傳感器、激光雷達等多個傳感器與全局坐標系之間的關(guān)系[2]，應(yīng)用于機器人自主規(guī)劃與操作任務(wù)的視覺傳感器，則需要標定出其到機器人基坐標系之間的關(guān)系（眼在手外）[3]或到機器人法蘭坐標系之間的關(guān)系（眼在手上）[4].測量設(shè)備傳感器的一個重要特點是工作范圍越大測量誤差也越大，對于大尺寸測量，為了獲得足夠的測量精度，不可避免地需要選擇多個傳感器進行拼接測量.對于工作空間不存在重疊的多個傳感器，為了標定彼此之間的位姿關(guān)系，則需要引入中間測量設(shè)備或大尺寸標定靶標建立傳感器之間的坐標聯(lián)系.對于大尺寸測量系統(tǒng)，測量的基準特征可能不在高精度視覺系統(tǒng)的測量范圍內(nèi)，為了建立視覺傳感器與測量基準之間的聯(lián)系，同樣需要借助中間測量設(shè)備進行標定，此時問題的關(guān)鍵轉(zhuǎn)化為兩個測量設(shè)備之間坐標系關(guān)系的求解.不同的外參標定方法依傳感器的具體形式而不同，但一般地，均是建立以外參矩陣為優(yōu)化目標的目標函數(shù)進行最小化求解.

對于雙目或多目相機的外參標定，當(dāng)兩個相機視場存在大范圍交疊時，經(jīng)過內(nèi)參標定的兩個相機可同時采集公共視野圖像，通過圖像特征匹配求解相機外參矩陣，或者建立以內(nèi)參外參為變量、以最小化重投影誤差為目標的優(yōu)化問題，同時標定相機內(nèi)參和外參[5].當(dāng)兩個相機的視場不存在重疊或重疊較少時，一般通過已知結(jié)構(gòu)參數(shù)的高精度靶標進行標定，如胡瀟琨等[6]及胡茂邦等[7]借助兩個空間位姿關(guān)系已知的固定平面靶標，通過兩個相機分別單獨采集平面靶標，建立平面靶標與相機之間的關(guān)系，進而求解相機之間的空間位姿關(guān)系.魯亞楠等[8]及徐秋宇等[9]借助精密的二軸轉(zhuǎn)臺及固定不動的單個平面靶標實現(xiàn)無重疊視場相機外參標定，其首先根據(jù)單個相機在不同轉(zhuǎn)臺角度下的靶標圖像標定靶標坐標系與轉(zhuǎn)臺坐標之間的關(guān)系，然后根據(jù)不同角度下每一個相機的每一幅圖像標定出每一個相機與轉(zhuǎn)臺之間的坐標關(guān)系，最終將所有相機坐標系轉(zhuǎn)換至同一個坐標系下描述.

相機與激光傳感器的聯(lián)合標定同樣廣泛應(yīng)用于測量系統(tǒng)、機器人自主操作及自動駕駛等領(lǐng)域.康國華等[10]借助標定板實現(xiàn)相機與激光雷達之間關(guān)系的標定，其分別獲取多組標定板點云中心點在相機坐標系和激光雷達坐標系下的坐標，利用迭代最近點算法精配準實現(xiàn)相機與激光雷達的聯(lián)合標定.ZHOU等[11]借助直線建立相機與線激光傳感器之間的約束關(guān)系，通過兩步實現(xiàn)二者之間投影矩陣的求解：首先通過奇異值分解計算投影矩陣的線性解，最后通過Levenberg-Marquardt 優(yōu)化線性解獲取投影外參矩陣的最優(yōu)解.YING 等[12]同樣借助直線建立相機坐標系與線掃激光雷達坐標系直接的聯(lián)系，但其通過解析法直接求解二者之間的投影矩陣.祝飛等[13]則利用V 型棋盤格，綜合點-面、線-面和點-線約束優(yōu)化和求解相機與線激光傳感器的外參矩陣，具有更高的精度和穩(wěn)定性.也存在兩個三維傳感器之間坐標關(guān)系的標定研究，如董方新等[14]為了實現(xiàn)雙目立體視覺系統(tǒng)與三維激光系統(tǒng)之間位姿關(guān)系的標定，設(shè)計一種鏤空棋盤格以便定位三維空間特征點，以外參矩陣的歐拉角參數(shù)和平移參數(shù)為變量，將特征點誤差作為最小化目標進行優(yōu)化求解.石照耀等[15]設(shè)計一種特征標準件結(jié)合儀器運動解耦線激光傳感器與儀器之間的位姿關(guān)系，先求姿態(tài)參數(shù)歐拉角，再計算平移分量.王向周等[16]利用線掃描相機的高分辨率特性，采用平面二維棋盤格進行標定，首先推導(dǎo)線陣相機的圖像坐標系和世界坐標系轉(zhuǎn)化關(guān)系，再矯正標定棋盤格的圖像畸變，在求解標定參數(shù)時，引入改進的遺傳優(yōu)化算法求解過程，提高成像系統(tǒng)的標定精度.馬少鵬等[17]在研究室外競技狀態(tài)下運動員姿態(tài)攝像測量時，通過在運動員關(guān)節(jié)處粘貼標志點的方式獲得關(guān)節(jié)點二維圖像坐標、標定的相機參數(shù)進而獲得關(guān)節(jié)點的三維坐標，計算各肢體的真實長度.常亮等[18]在進行相機和雷達聯(lián)合標定時，首先建立雷達與圖像的轉(zhuǎn)換關(guān)系，實現(xiàn)目標從雷達坐標系到像素坐標系的轉(zhuǎn)換，然后構(gòu)建雷達特征圖.

如圖1 所示的大尺寸圓柱體工件，需要精確測量左側(cè)插槽中分線在右端基準坐標平面內(nèi)的投影角度.圓柱體工件右端基準坐標系B由自身圓柱軸線和上下兩段沿徑向貫穿的小圓柱軸線構(gòu)建，圓柱體左側(cè)插槽中分線由一套三維視覺測量系統(tǒng)通過掃描插槽點云測量.

圖1 大尺寸圓柱體工件及視覺測量系統(tǒng)Fig.1 Large size cylinder workpiece and vision measurement system

為了實現(xiàn)測量目標，首先需要標定三維視覺測量系統(tǒng)坐標系S相對于基準坐標系B的空間位姿關(guān)系，然后將三維視覺測量系統(tǒng)測量的中分線坐標轉(zhuǎn)換至基坐標系B下即可快速計算目標投影角度.

針對以上問題，提出一種大尺寸視覺測量系統(tǒng)標定方法，首先通過激光跟蹤儀和三維視覺傳感器采集固定不動的球體擬合球心數(shù)據(jù)，根據(jù)球心點集進行對齊實現(xiàn)三維視覺傳感器坐標系S到激光跟蹤儀坐標系L之間的關(guān)系標定，其次通過激光跟蹤儀多次測量基坐標系B計算剛體變換矩陣的算術(shù)平均，建立激光跟蹤儀坐標系L與基坐標系B之間的聯(lián)系，最終獲得三維視覺傳感器坐標系S與測量基坐標系B之間的關(guān)系.

1 基于最小二乘標定方法的數(shù)學(xué)分析

1.1 基于最小二乘的點集配準

首先通過點集配準獲得激光跟蹤儀與三維視覺傳感器之間的聯(lián)系[19].假設(shè)三維視覺傳感器的工作空間大部分處于激光跟蹤儀的工作空間內(nèi)，通過一個球面度較高的標準球放置在視覺傳感器工作空間的n個不同位置，利用視覺傳感器測得球心點集P={p1,p2,...,pn} ，利用激光跟蹤儀測得球心點集Q={q1,q2,...,qn} ， 顯然點集P和 點集Q之間的點對點對應(yīng)關(guān)系已知，且存在如下變換關(guān)系

式 中：pi，qi，t，vi都 為 三 維 向量；R為 旋轉(zhuǎn) 矩 陣；t為平移向量；R和t表征激光跟蹤儀和視覺傳感器之間的位姿關(guān)系；vi為對應(yīng)球心誤差，包含設(shè)備誤差和擬合誤差.

假設(shè)球心誤差服從高斯分布，位姿關(guān)系的最小二乘解為

式中：wi為點對 (pi,qi) 的權(quán)重，且有wi＞0.式（2）中若令

則f(R,t) 為關(guān)于R,t的實值二次函數(shù)，通過坐標變換可將該二次函數(shù)轉(zhuǎn)換為標準二次型，又f(R,t)≥0則該二次型至少是半正定的，因此該實值二次函數(shù)存在極值，且極值在偏導(dǎo)數(shù)等于0 處取得，也即

為此，固定旋轉(zhuǎn)矩陣R，獲得誤差權(quán)重平方和關(guān)于平移向量t的函數(shù)為

式(5)對t求導(dǎo)，有

將式(8)代入目標函數(shù)(5)，得

令xi=pi-,yi=qi-，其 中xi，yi均 為 三 維 向 量，則得

因此，原優(yōu)化問題等價于

故上述目標函數(shù)變?yōu)?/p>

優(yōu)化問題(11)等價于

對式(13)，再令

則有

也即

式中令A(yù)=XWYT，對矩陣A進行奇異值分解，得

再令

則矩陣B為正交矩陣，矩陣C為正定矩陣，又對任意的正交矩陣R，正定矩陣C滿足

也即

式(20)對任意正交矩陣R都成立，說明當(dāng)B等于正交矩陣VUT時，可使BUΣVT的跡最大化，也即

上式中，如果正交矩陣R的行列式為1，則R為旋轉(zhuǎn)矩陣，如果R的行列式為-1，則R為鏡像矩陣.

考慮在無噪聲的情況下，對于非共面點集P，矩陣A的奇異值均為正數(shù)，此時正交矩陣R必為旋轉(zhuǎn)矩陣；對于共面但不共線點集P，矩陣A的最小奇異值為0，此時存在唯一一個旋轉(zhuǎn)變換和一個鏡像變換滿足配準平方誤差和為0；對于共線但不重合點集P，矩陣A的奇異值有兩個為0，則存在無數(shù)個旋轉(zhuǎn)變換和鏡像變換滿足配準平方誤差和為0.

當(dāng)點集P共面但不共線時，對矩陣A進行奇異值分解，有

且奇異值 σ1＞σ2＞σ3=0，

由于 σ3=0 ，單位向量u3和v3的方向不會改變A，也即存在兩個正交矩陣

均能滿足配準平方誤差和為0，其中R1和R2一個為旋轉(zhuǎn)矩陣，另一個為鏡像矩陣.

考慮在有噪聲的情況下，點集P共面或點集Q共面時，此時矩陣A的最小奇異值接近0；當(dāng)矩陣A的所有奇異值均大于0，而正交矩陣R的行列式為-1 時，則是由于噪聲過大，使該方法失效.

根據(jù)以上分析，顯然當(dāng)球心均勻立體分布在三維視覺傳感器工作空間內(nèi)時，標定結(jié)果具有更高的精度和可靠性.

1.2 基于最小二乘的旋轉(zhuǎn)矩陣算術(shù)投影平均

為了建立激光跟蹤儀與基坐標系之間的聯(lián)系，通過多次測量基準特征建立基坐標系，獲得多組基坐標系變換矩陣取平均以避免單次測量可能引入的隨機誤差.考慮基坐標系相對于激光跟蹤儀的位姿矩陣表示為

其中對于三維歐氏空間，n次測量位置分量的算術(shù)平均為

類比歐式空間的算術(shù)平均，將下式最優(yōu)解作為姿態(tài)分量的算術(shù)平均

式(27)中下標F表示矩陣的Frobenius 范數(shù).通過式(26)和式(27)基于最小二乘分別計算位置向量的平均和姿態(tài)矩陣的平均，其中，姿態(tài)平均通過投影算術(shù)平均進行計算[20].

在S O(3)空間，定義旋轉(zhuǎn)矩陣的算術(shù)平均為

根據(jù)式(21)可知，

式中

為通常意義上三階實矩陣空間上的算術(shù)平均，由于旋轉(zhuǎn)矩陣列向量相互正交，多次測量同一個姿態(tài)情況下，其姿態(tài)矩陣算術(shù)平均后的列向量仍然線性無關(guān)，故Rˉ的奇異值均大于0.式(29)和式(30)表明，基于Frobenius 矩陣范數(shù)的旋轉(zhuǎn)矩陣平均，實為旋轉(zhuǎn)矩陣關(guān)于歐氏空間上的算術(shù)平均在空間SO(3)上的投影.

1.3 空間坐標變換關(guān)系計算

假設(shè)激光跟蹤儀坐標系L與基坐標系B的關(guān)系矩陣為，假設(shè)激光跟蹤儀坐標系L與視覺傳感器坐標系S與的關(guān)系為，假設(shè)視覺傳感器坐標系S與基坐標系B的關(guān)系為，則可得到空間坐標變換關(guān)系

2 實驗驗證

2.1 仿真實驗驗證

通過仿真實驗驗證最小二乘點集配準方法求解坐標系關(guān)系的有效性.針對最小二乘點集配準方法，設(shè)計三組仿真實驗驗證點集大小、傳感器精度和傳感器位姿關(guān)系對標定結(jié)果的影響.為了評估配準精度，除了衡量用于配準點集的配準誤差外，另通過傳感器工作空間固定柵格點進行驗證.實驗設(shè)定兩個三維傳感器A 和B 工作空間大小均為40 mm×40 mm×40 mm，工作距離均為60 mm，驗證精度的柵格點間隔10 mm，傳感器候選精度設(shè)定為0.04，0.06，0.08 mm，隨機生成三個傳感器位姿關(guān)系設(shè)計值

仿真實驗1，設(shè)定配準點集大小分別為10，20，30，傳感器精度為0.06 mm，傳感器位姿關(guān)系為T2，如圖2 所示為對齊點集后的配準誤差，圖3 為柵格點驗證誤差，對應(yīng)不同點集大小其誤差均值分別為0.026 9，0.009 8，0.008 2 mm，誤差標準偏差分別為0.011 5，0.004 3，0.002 5 mm.

圖2 仿真實驗1 配準誤差Fig.2 Registration error in simulation test 1

圖3 仿真實驗1 驗證誤差Fig.3 Validated error in simulation test 1

仿真實驗2，設(shè)定配準點集大小10，傳感器精度分別為0.04、0.06、0.08 mm，傳感器位姿關(guān)系為T2，如圖4 所示為點集對齊后的配準誤差，圖5 所示為柵格點驗證誤差，對應(yīng)不同傳感器精度其誤差均值分別為0.008 2，0.015 8、0.027 7 mm，誤差標準偏差分別為0.002 5，0.004 9，0.010 1 mm.

圖4 仿真實驗2 配準誤差Fig.4 Registration error in simulation test 2

圖5 仿真實驗2 驗證誤差Fig.5 Validated error in simulation test 2

仿真實驗3，配準點集大小10，傳感器精度為0.06 mm，傳感器位姿關(guān)系分別為T1、T2、T3，如圖6所示為配準誤差，圖7 所示為柵格點驗證誤差，對應(yīng)不同傳感器位姿其誤差均值分別為0.005 8，0.008 2，0.007 3 mm.

圖6 仿真實驗3 配準誤差Fig.6 Registration error in simulation test 3

圖7 仿真實驗3 驗證誤差Fig.7 Validated error in simulation test 3

根據(jù)仿真實驗1 可知，用于配準的點集數(shù)量越大配準精度越高，但點集增大到一定程度后，配準精度不再顯著提升.因此，在實際標定中，可綜合考慮數(shù)據(jù)采集效率和標定精度確定采集數(shù)據(jù)的數(shù)量.根據(jù)仿真實驗2 可知，傳感器自身的測量精度越高，配準后在驗證點集上測試的誤差越小，對應(yīng)地說明配準精度越高.根據(jù)仿真實驗3 可知，最終的配準精度也取決于兩個傳感器自身的位姿關(guān)系，這可以用來指導(dǎo)實際傳感器的空間安裝位置，使傳感器自身位姿關(guān)系對標定精度影響較小.

2.2 真實實驗驗證

針對圖1 所示的大型圓柱體工件（實驗選用標準工件，長度5 923.5 mm，測量目標角度值為55.23°），搭建大尺寸視覺測量系統(tǒng)，測量系統(tǒng)包括三部分構(gòu)成：一套傳感控制系統(tǒng)精確定位右側(cè)基準小圓柱軸線方向，一套機械定心機構(gòu)精密限位大圓柱軸線方向，以及一套三維視覺傳感器（由KEYENCE LJ-V7080激光輪廓儀和IAI RCS-SA4R 滑臺組成，綜合精度0.05 mm）精確掃描左側(cè)插槽及測量左側(cè)插槽中分線.

通過激光跟蹤儀Leica AT960（精度0.025 mm+0.006 mm/m）建立基準坐標系與三維視覺傳感器之間的關(guān)系，其中激光跟蹤儀坐標系與基準坐標系之間通過多次測量直接求算術(shù)平均獲得二者之間的位姿關(guān)系，激光跟蹤儀與三維視覺傳感器通過點集配準方法進行關(guān)系的標定.

通過傳感控制系統(tǒng)及機械定心機構(gòu)重復(fù)定位工件基準6 次，通過激光跟蹤儀測量工件基準得

按第1.2 節(jié)，計算平均位姿得

將一個標準陶瓷球（標稱直徑20.003 8 mm，球面度0.001 mm）放置在三維視覺傳感器工作空間不同位置，采集球面點云數(shù)據(jù)并擬合球心，同時保持標準陶瓷球固定不動，通過激光跟蹤儀測量球心.如圖8所示，通過三維視覺傳感器采集陶瓷球點云，手動剔除非球面點云及邊緣噪聲較大區(qū)域點云，最后通過高斯濾波減少整體噪聲獲得目標點云，對于通過三維視覺傳感器獲得的陶瓷球表面點，統(tǒng)一采用基于正交距離的最小平方擬合算法擬合球心[21].

圖8 三維視覺傳感器采集的陶瓷球點云數(shù)據(jù)Fig.8 Ceramic ball dot-cloud collected by 3D vision sensor

考慮到實際測量時視覺傳感器的測量誤差是復(fù)雜的，且激光跟蹤儀為接觸式測量，為降低隨機誤差影響，將標準陶瓷球放置在20 個不同位置，且盡可能均勻分布于傳感器工作空間內(nèi)，測量球心點集如表1 所示.

表1 擬合球心數(shù)據(jù)Tab.1 Imitated ball center data

根據(jù)以上測量點集，進行最小二乘配準，配準誤差均值為0.093 mm，標準偏差為0.040 mm，配準轉(zhuǎn)換矩陣為

考慮到激光跟蹤儀與三維視覺傳感器的實際距離，以上配準誤差矩陣是合理的.

通過以上計算結(jié)果，得到基準坐標系與三維視覺傳感器之間的位姿關(guān)系為

根據(jù)以上標定結(jié)果，反復(fù)測量該標準圓柱體工件的測量角度，連續(xù)測量10 次，測量結(jié)果如表2 所示，盡管測量存在固定偏差，但是測量值接近標準值，通過補償可使測量系統(tǒng)角度測量達到較高測量精度.

表2 10 次角度測量值Tab.2 Measurement values for 10 angles

3 結(jié) 論

本文提出了一種基于最小二乘的視覺測量系統(tǒng)標定方法，該方法通過最小化點集配準誤差解析計算兩個坐標系之間的坐標轉(zhuǎn)換關(guān)系，考慮到直接測量特征建立坐標系存在隨機誤差，基于最小二乘計算剛體變換矩陣的算術(shù)平均以減小誤差.通過仿真實驗分析了點集大小、傳感器精度以及傳感器坐標關(guān)系對配準精度的影響，仿真結(jié)果表明，點集大小對配準結(jié)果影響較小，傳感器自身的測量精度越高，配準精度越高，同時也注意到傳感器自身位姿也影響配準精度，且這種影響關(guān)系復(fù)雜，有待后續(xù)進一步研究.最后通過真實試驗驗證該方法的有效性.