湯玲

摘? ?要：分析了單球面折射系統(tǒng)的折射原理，根據(jù)該原理計(jì)算了光線在水球里的兩種不同傳播路徑下的折射規(guī)律。在不同物距條件下，對(duì)第一種路徑的折射規(guī)律進(jìn)行了詳細(xì)計(jì)算，并分別得出結(jié)論；利用依次成像法分析了第二種路徑的成像規(guī)律。利用分析結(jié)果解釋了天宮課堂水球光學(xué)實(shí)驗(yàn)的“一球雙像”的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。

關(guān)鍵詞：折射光；成像；單球面；水球

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1003-6148（2023）8-0049-4

隨著我國(guó)航天事業(yè)的迅猛發(fā)展，我們不僅在深空探索方面取得了巨大成就，而且也給科學(xué)研究創(chuàng)造了一個(gè)全新的太空試驗(yàn)平臺(tái)。２０２１年１０月，我國(guó)在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心利用神州十三號(hào)飛船成功將三名航天員送入到我國(guó)空間站。在為期六個(gè)月的航天工作中，航天員王亞平開展了兩次天宮課堂的直播授課任務(wù)。她在空間站失重的環(huán)境中做了很多有趣的物理實(shí)驗(yàn)。其中，水球光學(xué)實(shí)驗(yàn)中，王亞平利用液體的表面張力制作了一個(gè)水球［１］，然后在水球內(nèi)部注入了一個(gè)氣泡，透過(guò)這樣的水球，我們看到了一正一倒兩個(gè)王亞平人像，如圖１所示。這個(gè)奇妙的物理現(xiàn)象頓時(shí)引起了學(xué)生們濃厚的興趣。那么它究竟是如何產(chǎn)生的呢［２］？實(shí)際上，它是光線折射的結(jié)果。可以把水球當(dāng)作透鏡，但是由于水球近似圓形，它的厚度顯然不能忽略，所以不能簡(jiǎn)單地將其視為薄透鏡成像來(lái)處理。要系統(tǒng)地分析這種現(xiàn)象，就必須從單球面光學(xué)系統(tǒng)的折射原理出發(fā)。

１? ? 單球面折射原理

如圖２所示，單球面半徑為ｒ， Ｃ為圓心。直線ＰＣ為軸線。左右兩側(cè)介質(zhì)折射率分別為ｎ１和ｎ２。軸線上有一物點(diǎn)Ｏ發(fā)出兩條光線ＯＡ，ＯＰ，經(jīng)單球面折射后匯聚于點(diǎn)Ｑ。根據(jù)折射定律有［３］

ｎ１ｓｉｎｉ１＝ｎ２ｓｉｎｉ２（１）

設(shè)ＯＡ為近軸光線，故α， β，θ，ｉ１，ｉ２都很小，所以（１）式可近似為

ｎ１ｉ１＝ｎ２ｉ２（２）

根據(jù)圖示角度關(guān)系可知ｉ１=α+θ，ｉ２=θ-β，所以（２）式可變形為ｎ１（α+θ）=ｎ２（θ-β），即

ｎ１α+ｎ２β=（ｎ２-ｎ1）θ（３）

上式中ｌ，ｌ'分別表示物距和像距。顯然ｌ'可正可負(fù)，與ｎ１，ｎ２有關(guān)。當(dāng)ｌ'為負(fù)值時(shí)，折射光線并沒有匯聚（但反向延長(zhǎng)線匯聚了），所以成一虛像；另外，若將Ｑ當(dāng)作物點(diǎn)，根據(jù)光路的可逆性，則Ｏ即為像點(diǎn)，（４）式關(guān)系仍然成立，但是具體代入（４）式后，（４）式右邊分子變?yōu)椋睿?ｎ２，和原（４）式相比可理解為ｒ取負(fù)值。故上式中ｒ的正負(fù)可依據(jù)從物方看單球面的凸凹形狀來(lái)判斷，簡(jiǎn)單歸納為“凸為正，凹為負(fù)” ［４］。

２? ? 實(shí)心水球光學(xué)成像分析

通過(guò)水球左側(cè)面的折射光線，一部分避開空心部分直接從右側(cè)單球面折射出去，此時(shí)可忽略空心部分當(dāng)作實(shí)心水球分析；另一部分依次經(jīng)過(guò)水球的四個(gè)單球面折射成像。所以，可將折射光線分為兩部分討論［５］。

首先，分析實(shí)心水球成像。設(shè)水球的外徑和內(nèi)徑分別為Ｒ，ｒ（Ｒ＞ｒ），如圖３所示。水和空氣的折射率分別為１．３３和１，水球左側(cè)折射時(shí)根據(jù)（４）式可得

現(xiàn)考慮一特殊情況：當(dāng)光線經(jīng)水球左側(cè)面（凸面）后沿平行于軸線折射出去時(shí)，即l'→∞，由（５）式可得l=3.03R，如圖３所示。以該特殊位置為臨界點(diǎn)對(duì)ｌ進(jìn)行分類討論。

（1）l=3.03R

根據(jù)（５）式，當(dāng) l=3.03R時(shí)，l'→∞。即經(jīng)過(guò)左側(cè)面折射光為平行于軸線的光線。該折射光線再次經(jīng)右側(cè)單球面（凹面）折射時(shí)根據(jù)（４）式可得

由于左側(cè)折射光線是右側(cè)入射光線（也可理解為左側(cè)像即為右側(cè)物），所以式中L→∞，由（６）式得 L'=3.03R，如圖３所示。即當(dāng) l=3.03R時(shí)，經(jīng)過(guò)實(shí)心水球在另一側(cè)成等大倒立的實(shí)像。

（2）l>3.03R

根據(jù)（５）式，當(dāng)l>3.03R時(shí)

由（７）式可知，l'隨l增大而減小，且當(dāng)l>3.03R時(shí)，l' >4.03R。因此，左側(cè)成像應(yīng)在右側(cè)球外，但右側(cè)球面在左側(cè)折射光線成像前再次折射，所以左側(cè)折射光線實(shí)際并未成像。那么，右側(cè)入射光線即可視為左側(cè)虛物所發(fā)出。所以，右側(cè)球面折射時(shí)（虛）物距L=-（l'-2R），虛物用負(fù)號(hào)表示（下同）。l'是左側(cè)面距離，L是右側(cè)面距離，兩者距離需要換算（下同）。右側(cè)面折射時(shí)根據(jù)（４）式可得

由（７）（８）式可得L' >0，右側(cè)成實(shí)像。且L'隨l增大而減小，當(dāng)l>3.03R，即l'>4.03R，則1.01R3.03R時(shí)，經(jīng)過(guò)實(shí)心水球在另一側(cè)成倒立縮小的實(shí)像，如圖４所示。

（3）l<3.03R

根據(jù)（５）式，當(dāng)l<3.03R時(shí)

由（９）式可知 l'<0，且|l'|>1.33l，所以左側(cè)折射后成虛像，與物同側(cè)且靠后。該虛像經(jīng)右側(cè)球面再次折射時(shí)可將其視為實(shí)物。所以，右側(cè)球面折射時(shí)物距L=|l' |+2R。再次應(yīng)用（４）式得

聯(lián)合（９）（１０）式分析：

當(dāng)l=1.02R時(shí)，|l'|=2.03R，L=4.03R，則L'→∞，不成像，如圖５所示。

當(dāng)0

當(dāng)1.02R2.03R，L>4.03R，則L' >3.03R，成倒立放大的實(shí)像，如圖7所示。

根據(jù)天宮課堂視頻畫面推測(cè)當(dāng)時(shí)航天員距離水球的距離大約為４Ｒ，成像應(yīng)符合l>3.03R的情形，實(shí)際成像為圖１所示的倒立縮小的實(shí)像。

３? ? 空心水球光學(xué)成像分析

２號(hào)面折射時(shí)根據(jù)（４）式可得

進(jìn)一步分析圖9 所示狀態(tài)，根據(jù)（１）式可知，當(dāng)１號(hào)面的物點(diǎn)由圖9的無(wú)限遠(yuǎn)逐漸靠近時(shí)，圖9的光線以軸線為界，上下光線將同時(shí)分別有逆時(shí)針和順時(shí)針的角度旋轉(zhuǎn)。所以，當(dāng)物點(diǎn)無(wú)限接近１號(hào)面時(shí)，２號(hào)面的虛像位置最近。即l1→0，根據(jù)（５）式可知l'1<0且l'1→0。１號(hào)面虛像可作為２號(hào)面實(shí)物，則l2=R-r，代入（１１）式可計(jì)算出２號(hào)面虛像最近的位置

反之，如圖9所示狀態(tài)的２號(hào)面虛像位置最遠(yuǎn)。即l1→∞，根據(jù)（７）式可知l'1=4.03R，１號(hào)面實(shí)像可作為２號(hào)面虛物，則l2=-[4.03R-（R-r）]=-（3.03R+r），代入（１１）式可計(jì)算出２號(hào)面虛像最遠(yuǎn)的位置

綜上所述，空心水球的２號(hào)面始終只能成虛像（l'2<0），并且在該面左側(cè)。具體位置（距離２號(hào)面）范圍為

因?yàn)椋蔡?hào)面所成像為虛像，可當(dāng)作３號(hào)面的實(shí)物，如圖10所示。所以

３號(hào)面折射時(shí)根據(jù)（４）式可得

４號(hào)面折射時(shí)根據(jù)（４）式可得

４? ? 結(jié)論與討論

本次天宮課堂開展的意義重大，通過(guò)對(duì)課堂實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的分析，在一定程度上激發(fā)了青少年的科學(xué)探索興趣，培養(yǎng)了他們用實(shí)驗(yàn)來(lái)探索真理的科學(xué)態(tài)度。

參考文獻(xiàn)：

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（欄目編輯? ? 劉? ?榮）