余泉 喻平

摘要：加涅教學理論的主要思想是，用學習的結果對學習進行分類，用信息加工模式溝通學習與教學的關系，不同的學習結果對應不同的教學設計。加涅的教學設計原理對中學數(shù)學教學的重要啟示有：陳述性知識的教學應多視角呈現(xiàn)內(nèi)容、多形式訓練思維、多元化表征知識，程序性知識的教學應注重規(guī)則的遷移、設計和推廣。

關鍵詞：中學數(shù)學；加涅教學理論；陳述性知識；程序性知識；信息加工

本文系貴州省教育科學規(guī)劃課題“‘深度學習視域下初中生數(shù)學創(chuàng)新意識實踐研究”（編號：2022B057）的階段性研究成果，也系喻平教授團隊的“數(shù)學學習心理學研究及其教學啟示”（中學）系列文章之十七。

加涅的兩本著作《學習的條件和教學論》和《教學設計原理》在教學論領域有著重要的影響。雖然這兩本書的寫作背景與當下的教育改革現(xiàn)狀不完全相同，但是加涅的教學理論對當前新課程的實施仍然有指導意義。

一、 加涅教學理論的基本觀點

概括地說，加涅的教學理論主要表現(xiàn)在三個方面：用五類學習結果概括學習任務；用信息加工模式概括學習過程；教學設計的原理是，根據(jù)不同的學習結果類型創(chuàng)設不同的學習內(nèi)部條件并相應安排學習的外部條件。

（一） 用學習的結果對學習進行分類

與許多學習分類不同，加涅提出，按照學習結果進行學習分類。學習分類的主要含義是對所學到的東西的系統(tǒng)歸類，即對作為各學習事件的結果被個體獲得的各種能力的歸類。［1］學習結果就是學習后習得的各種能力。他提出了五類學習結果，即五類習得能力，分別為智慧技能、言語信息、認知策略、動作技能、態(tài)度。［2］

智慧技能是指使符號運用得以達成的能力，它對應的是程序性知識，即知道如何做某事，其表征形式是“產(chǎn)生式”。智慧技能包括四個亞類：辨別、概念、規(guī)則、高級規(guī)則。［3］（1） 辨別指將刺激物的一個特征和另一個特征或者一個符號與另一個符號區(qū)分開來的能力。（2） 概念可分為兩種形式：具體概念和定義概念。具體概念指通過例子來識別概念，確定一類事物的屬性；定義概念指通過定義來認識概念。（3） 規(guī)則指各種原理、法則、定理或定律，一般由幾個概念組成，是智慧技能中最典型的形式。（4） 高級規(guī)則指由較簡單的規(guī)則組合起來的復雜規(guī)則，與問題解決密切相關，特別是解決一些復雜問題時會表現(xiàn)出高級規(guī)則的使用。顯然，智慧技能的四個亞類在學習中也是一個進階關系，學習過程遵循辨別、概念、規(guī)則、高級規(guī)則的順序遞進，前者是后者的先決條件，后者是前者的學習進階。

言語信息是指表述習得的觀念的能力，它對應陳述性知識，即知道是什么。言語信息依照復雜性高低具體分為三種形式：命名、用簡單命題表述事實、知識群（各種命題和事實的聚合體）。言語信息借助命題的網(wǎng)絡貯存在記憶中。適當?shù)木€索有助于言語信息的提取。

認知策略是指內(nèi)部組織起來的，用來調(diào)控學習者的注意、學習、記憶和思維的能力。在學習過程中，認知策略起執(zhí)行控制作用，本質(zhì)是個體的元認知能力。智慧技能指向?qū)W習者的環(huán)境，使學習者能夠處理外在的信息；認知策略則控制學習者應對環(huán)境的行為，處理的是內(nèi)在的因素。

動作技能是指通過一系列有組織的動作執(zhí)行活動來習得的才能。動作技能由一系列聯(lián)系緊密的動作程序組成，它很少用言語影響或線索提示來掌握，只有靠活動本身的練習。

態(tài)度是指內(nèi)在的、影響個人行為選擇的心理狀態(tài)。態(tài)度影響學習者對某類事物、事件或人物采取某種行為。這種內(nèi)部狀態(tài)的影響是內(nèi)部結構的控制過程，但它并不決定行為，只是影響行為。這種影響有積極的，也有消極的。

信息加工心理學把知識分為陳述性知識和程序性知識兩類，程序性知識包括策略性知識（對內(nèi)調(diào)控）和操作性技能（對外辦事）兩類。將加涅的五種學習結果與信息加工心理學對知識的廣義分類進行比較，可以看到兩者之間的密切聯(lián)系（可用圖1表示）。加涅只對智慧技能做了亞類劃分，且把智慧技能排到五種學習結果之首，可見他對智慧技能的重視程度，這也是他的理論的特別之處。但是，只對智慧技能做亞類劃分也存在一些問題，因為言語信息的學習，即陳述性知識的學習也涉及辨別、概念、規(guī)則，這三個亞類不是智慧技能所特有的。而且，從學習過程來看，學習者一般是先學習陳述性知識，然后將陳述性知識轉(zhuǎn)化為程序性知識，即言語信息在先，智慧技能在后。比如，規(guī)則學習首先是理解規(guī)則（言語信息），然后才是應用規(guī)則解決問題（智慧技能），兩個階段都與規(guī)則學習相關。

教育目標的本質(zhì)就是學生要學習的結果，加涅提出五種學習結果事實上是確定了五種教學目標。因此，對學習結果的確定是課程設計的邏輯起點，而不僅僅是教學的問題?！镀胀ǜ咧姓n程方案（2017年版）》和《義務教育課程方案（2022年版）》相繼出臺后，學習結果的定位非常清晰，就是要發(fā)展學生的核心素養(yǎng)。核心素養(yǎng)包括正確價值觀、必備品格和關鍵能力，也就是說，當下的課程目標對應的學習結果是培養(yǎng)學生的正確價值觀、必備品格和關鍵能力。顯然，正確價值觀、必備品格是比較明確的概念，關鍵能力則顯得比較籠統(tǒng)，需要作出更加細致的刻畫，于是，各學科核心素養(yǎng)便應運而生?？梢钥吹剑乱惠喺n程改革的思路與加涅教學論的基本思想如出一轍。

（二） 用信息加工模式溝通學習與教學的關系

信息加工模式把人腦設想為由各個不同的構造體構成，把學習過程比擬為信息流的加工過程。加涅用信息加工心理學理論構建了一個學習與記憶的模型（如圖2所示）。［4］

其過程可描述為：（1） 通過感受器接受刺激；（2） 通過感覺登記器登記信息；（3） 為在短時記憶中貯存信息進行選擇性知覺；（4） 為在短時記憶中保留信息進行復誦；（5） 為進入長時記憶貯存實行語義編碼；（6） 從長時記憶提取至反應發(fā)生器（工作記憶）；（7） 通向效應器的反應生成；（8） 在學習環(huán)境中表現(xiàn)業(yè)績；（9） 通過執(zhí)行策略監(jiān)控整個加工過程。

加涅對信息加工模式的構建不完全在于解釋學習，而主要在于說明教學，把學習與教學緊密聯(lián)系起來。他認為，信息加工心理學理論提出的各個內(nèi)部過程正是處理教學問題需要解釋的幾個過程，就是了解哪種外部事件能夠影響正在進行的內(nèi)部過程（學習過程）。他認為，組成教學的各種事件必須源于已知的學習過程，教學過程與學習過程應保持一致。表1是加涅概括的教學事件與學習過程的對應關系。［5］

加涅用信息加工心理學理論解釋教與學的關系，其基本思想是以學定教。只有清楚了學生怎么學，才能研究教師怎么教。這是學習與教學關系的基本邏輯。長期以來，教師更多考慮如何教，即研究怎么做，而較少思考為什么要這樣做。事實上，考慮到“為什么要這樣做”的層面，就是考慮到了學生怎么學的問題，就會回到問題研究的起點。這個問題是值得教師思考的。例如，在新課程的實施中，不能把知識掌握作為目標的教學模式習慣性地用到核心素養(yǎng)培養(yǎng)的教學中，而要思考如何通過知識教學達到發(fā)展學生核心素養(yǎng)的目標，于是要回到素養(yǎng)是怎么生成的這個邏輯起點上來。因此，加涅以學定教的思想具有很強的現(xiàn)實指導意義。

（三） 不同的學習結果對應不同的教學設計

加涅在提出學習結果的五種形式，并用信息加工心理學理論建立學與教的關系后，重點針對五種學習結果的教學設計開展研究。加涅的教學設計原理主要考慮兩個問題：一是確定學習結果的類型；二是創(chuàng)設這種學習類型的內(nèi)部與外部條件。

基于這種思想，加涅對五種學習結果分別做了細致分析，給出處方式的教學建議和策略。例如，對智慧技能，分辨別學習、概念學習、規(guī)則學習、問題解決（高級規(guī)則學習）四個方面進行論述。辨別學習的內(nèi)部條件是學生具備辨別所需的回憶或重現(xiàn)不同反應連鎖的能力，外部條件則是教師對學生的反應作出及時的反饋。概念學習的內(nèi)部條件是學生已經(jīng)習得辨別能力，外部條件則是教師給學生呈現(xiàn)概念的正例和反例，強化學生對概念的理解。

加涅的“不同的學習結果對應不同的教學設計”思想，對教學設計有重要的指導意義。但現(xiàn)實中的情況通常并非如此，而是推行某種教學模式或方法去應對所有知識的教學，似乎存在可以進行所有知識教學的萬能模式，一種“追求教學科學化”的傾向十分盛行。按照加涅的教學設計觀，我們應當追求科學的教學，即以科學的態(tài)度和方式看待和處理教學?？茖W教學觀的理念是，著眼學生的素質(zhì)發(fā)展。其教學過程應理解為：在順應教學科學性的基礎上，融教學模式與教學智慧于一體，根據(jù)教學的具體內(nèi)容、具體情境，根據(jù)學生的實際認知水平、情感態(tài)度，采用適宜的教學指導思想進行教學設計。［6］

在教學實踐中，要辯證地看待加涅的教學設計思想。其一，加涅的教學設計思想是針對所有學科提出的，具有通用性，但具體到每一門學科，應當考慮各自學科的特殊性，對加涅的教學設計思想進行適當調(diào)整，特別是在考慮內(nèi)部條件和外部條件時，更應如此。其二，加涅的教學設計思想主要是針對知識學習的，雖然也考慮到了態(tài)度，但與當前我國實施的新課程目標還是有一定差異的，即隨著社會的發(fā)展，學習結果需要作出一些新的調(diào)整。

二、 對中學數(shù)學教學的啟示

不同的歷史年代必然存在“斷代現(xiàn)象”，教學目標會發(fā)生變遷，學習結果也會重新認識，但思想?yún)s會源遠流長。如前所述，用加涅的教學設計思想指導當前的教學，不是將他提出的一招一式用于具體的課堂教學，而是從思想中得到啟示。下面，重點談談“不同的學習結果對應不同的教學設計”思想對中學數(shù)學教學的啟示。

基于信息加工心理學的廣義知識分類和加涅的學習結果分類，結合數(shù)學知識的特征，我們對數(shù)學知識作了一種分類。數(shù)學知識包括陳述性知識、程序性知識。其中，程序性知識分為智慧技能和認知策略，智慧技能又分為簡單操作性技能、復雜操作性技能；認知策略又分為策略性知識、反省認知。［7］這個數(shù)學知識的分類也就是知識學習的結果。下面，從知識分類入手，討論如何通過知識教學實現(xiàn)對學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

（一） 陳述性知識的教學策略

陳述性知識就是事實性知識，與加涅的言語信息對應。數(shù)學教材中的概念、定理、公式、法則等都是陳述性知識。

加涅指出，言語信息學習的內(nèi)部條件，一是學習者具備一些以某種方式相互聯(lián)系的知識。奧蘇伯爾將這種貯存在頭腦中的知識結構，稱為認知結構。也就是說，言語信息學習的一個前提是學習者具備先前知識的認知結構。二是學習者對先前習得的知識有良好的表征。陳述性知識的表征是指在個體頭腦中的貯存形式。如果表征恰當，在學習新知識時，就利于信息的提取。言語信息學習的外部條件，是教師為學生提供有意義的情境、突出新舊材料的區(qū)別、加強復習。顯然，加涅關注的是知識學習效果的問題。

而我們更關注如何通過陳述性知識的學習發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。與陳述性知識學習高度相關的數(shù)學核心素養(yǎng)有數(shù)學抽象（抽象能力）、邏輯推理（推理能力）、直觀想象（幾何直觀、空間觀念）。［8］因此，主要從三個方面思考教學策略：

1 多視角呈現(xiàn)內(nèi)容

內(nèi)容呈現(xiàn)方式多樣化的目標是發(fā)展學生的數(shù)學抽象能力。陳述性知識的呈現(xiàn)方式較多，可以從知識生成的來源考慮：從現(xiàn)實生活中生成，從先前知識的發(fā)展邏輯中生成，在解決問題中生成；也可以從知識引入的形式考慮：從特殊到一般地引入，從一般到特殊地引入……無論采用什么方式呈現(xiàn)知識，都蘊含了數(shù)學抽象的因素，特別是從現(xiàn)實生活中生成、從特殊到一般地引入，與數(shù)學抽象關系更加密切。

例如，觀察一組函數(shù)：f（x）＝x2，f（x）＝x4＋x2，f（x）＝x2＋1，f（x）＝1x6＋5……代入一對相反數(shù)進行計算，可以發(fā)現(xiàn)f（－1）＝f（1），f（－2）＝f（2），f（－3）＝f（3），f（－4）＝f（4）……于是通過數(shù)學抽象得到f（－x）＝f（x），x∈D，從而抽象出偶函數(shù)的概念。這是從特殊到一般的概念形成方式，直接指向?qū)W生數(shù)學抽象能力的培養(yǎng)。

之所以強調(diào)內(nèi)容呈現(xiàn)方式多樣化，是因為每種呈現(xiàn)方式都與數(shù)學抽象有一定的關系，而數(shù)學抽象的方式也不是單一的。例如，在事物的具體背景中，從數(shù)量或圖形性質(zhì)的角度抽象出一般的規(guī)律或結構；從一個概念或命題出發(fā)，采用減小內(nèi)涵的方式得到概括程度更高的概念或命題；對一個概念或命題，采用增大內(nèi)涵的方式得到一個新概念或命題；等等。因此，內(nèi)容呈現(xiàn)方式多樣化，才能全方位地培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力。

2 多形式訓練思維

思維訓練方式多樣化的目標是發(fā)展學生的邏輯推理能力。邏輯推理的形式有演繹推理和合情推理，教學中不可揚此抑彼。當前的數(shù)學教學過分偏重演繹推理而忽視合情推理，證實性思維占上風甚至完全消解證偽思想，讓學生相信真理、無條件地接受真理，而產(chǎn)生這些真理所經(jīng)歷的無數(shù)證偽的思想被消解。這種局面不利于學生邏輯推理能力的全面發(fā)展。因此，數(shù)學教學應當將合情推理納入其中，使演繹推理與合情推理有機融合，促進學生數(shù)學思維的全面發(fā)展。比如，這樣的題：

（1） 用計算器計算，得到算式的結果：34×34＝，334×334＝，3334×3334＝。

（2） 從上面的算式和結果中，你得到了什么規(guī)律？

（3） 利用上面得到的規(guī)律，不用計算器計算，直接寫出算式的結果：33334×33334＝，333334×333334＝。

這組題要求學生用計算器計算得到算式的結果，并利用得到的規(guī)律直接寫出算式的結果，所以不是考查學生的數(shù)學運算能力。第（1）問到第（2）問考查學生的歸納推理能力，第（2）問到第（3）問考查學生的演繹推理能力。因此，這道題很好地融合了合情推理與演繹推理，體現(xiàn)了多形式訓練思維的功能。

3 多元化表征知識

知識表征方式多樣化的目標是培養(yǎng)學生的直觀想象能力。陳述性知識學習的基本目的是理解知識，理解的前提是表征。命題表征和表象表征是陳述性知識的基本表征方式。命題表征指由某些關系將基本命題聯(lián)系起來，在頭腦中形成網(wǎng)絡；表象表征指借助于對事物的知覺表象來記憶陳述性知識。表象指人在知覺事物時，一般會在頭腦中形成該事物的形象，而在回憶事物時，會以形象的方式呈現(xiàn)出來。顯然，表象表征與學習者的直觀想象直接相關。直觀想象指借助圖形感知對象的形態(tài)，由此理解問題和解決問題。許多數(shù)學問題需要借助圖形來描述，往往通過建立形與數(shù)的聯(lián)系去理解，通過構建直觀模型去探索解決的思路。毫無疑問，理解幾何概念、命題時，表象表征是主要形式。

理解知識，應當適當采用多元表征的方式，這樣才能達到深度理解。例如，偶函數(shù)概念的定義是：如果對于任意的x∈D（D為定義域），都有f（－x）＝f（x）成立，那么稱函數(shù)f（x）是偶函數(shù)。當學習者以這個定義方式來記憶時，就是命題表征。但是，要對偶函數(shù)概念有更深入的理解，就還應知道“偶函數(shù)y＝f（x）的圖像關于y軸對稱”。這個命題就說明了偶函數(shù)的圖像特征，而將直觀的圖像貯存于頭腦中，就是表象表征。比如，這樣的題：

圖3是兩個函數(shù)的圖像。請你根據(jù)這兩個圖像，解決兩個問題：

（1） 分別寫出兩個函數(shù)的解析式；

（2） 就給定圖像想象出一個現(xiàn)實問題。

函數(shù)的表達方式有解析式、圖像、表格等，學生能在多種表達方式之間進行轉(zhuǎn)化就體現(xiàn)了多元表征。第（1）問可以用分段函數(shù)解析式進行表達。第（2）問的設計思路是，給出一個數(shù)學問題，要求學生想象相應的現(xiàn)實情境。它可以培養(yǎng)學生的逆向思維和發(fā)散思維能力。一個合適的現(xiàn)實情境是：小明的父母出去散步，從家走了20分鐘到一個離家900米的報亭，母親隨即按原來的速度返回，如圖（a）所示；父親在報亭看報10分鐘，然后用15分鐘返回，如圖（b）所示。

（二） 程序性知識的教學策略

程序性知識是關于人們怎么做事的知識，即做一件事情的程序的知識。程序性知識是動態(tài)的形式，陳述性知識是靜態(tài)的形式，這是兩者的區(qū)別。從兩類知識的表征來看，其實沒有嚴格的分界。如果把一個概念或規(guī)則作為一種靜態(tài)的知識看待，它就是陳述性知識；如果把這個概念或規(guī)則用于解決問題，它就成為一種程序性知識。換句話說，程序性知識是由陳述性知識轉(zhuǎn)化而來的。

程序性知識的表征方式是產(chǎn)生式。產(chǎn)生式是一條有邏輯關系的因果鏈，表現(xiàn)為“如果……那么……”的指令。例如，三角形的三個內(nèi)角之和等于180°。這條定理由條件和結論組成，是一條典型的產(chǎn)生式。而把第一條產(chǎn)生式中的“那么”作為第二條產(chǎn)生式的“如果”，則形成一條“重疊產(chǎn)生式”；一系列“重疊產(chǎn)生式”就組成一個所謂的產(chǎn)生式系統(tǒng)。

我們認為，概念、規(guī)則的學習在理解階段可視為陳述性知識，在應用（解決問題）階段可視為程序性知識，包括智慧技能和認知策略。這樣的認識，既符合知識分類，又體現(xiàn)數(shù)學學習的特殊性。而與程序性知識學習高度相關的數(shù)學核心素養(yǎng)有邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析。［9］基于此，提出程序性教學的三種策略：

1 注重規(guī)則的遷移

規(guī)則遷移有兩種情形。一是一個規(guī)則在數(shù)學學科內(nèi)不同知識結構中的應用，即一個結構中的規(guī)則用于解決另一個結構中的問題，這是學科內(nèi)部的知識遷移；二是數(shù)學學科中的規(guī)則用于解決其他領域的問題，這是跨學科的知識遷移。顯然，規(guī)則的遷移運用與數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模等多種數(shù)學核心素養(yǎng)都密切關聯(lián)。

學習了一個規(guī)則之后，一般是先在一個相對狹窄的領域應用。隨著學習內(nèi)容的增加，不同知識體系的問題相繼出現(xiàn)。一般來說，新的問題需要用新的規(guī)則來解決；但從思想方法的層面看，由前后知識引出的問題又可能是一脈相承的，在這種情形下，原來的規(guī)則就可能用于解決新知識結構中的問題，產(chǎn)生知識在學科內(nèi)部遷移的情形。事實上，這也就是數(shù)學課程標準中強調(diào)的“通性通法”。

例如，在初中一元二次方程的代數(shù)結構中，使用韋達定理可以解決許多問題，如：（1） 不解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，求兩根x1、x2與系數(shù)a、b、c相聯(lián)系的代數(shù)表達式；（2） 不解一元二次方程，求以兩根的代數(shù)式為根的另一個一元二次方程；（3） 已知一元二次方程的一根，不解方程，求另一根；（4） 已知一元二次方程的兩根，求此方程；（5） 利用方程兩根之間的關系，求一元二次方程系數(shù)之間的關系……到高中階段，學生學習了解析幾何之后，韋達定理還可以用于解決相關知識結構中的一些問題，如：（1） 求解二次曲線的中點弦；（2） 求解二次曲線一組平行弦的中點軌跡；（3） 求二次曲線的弦長……這就是學科內(nèi)部不同知識結構之間的規(guī)則遷移。

2 注重規(guī)則的設計

使用規(guī)則是指根據(jù)已有的公式、法則進行運算，根據(jù)已有的定理進行推理。而設計規(guī)則有兩層含義：一是在多種規(guī)則中選擇恰當?shù)囊?guī)則進行運算和推理，也可能是運算和推理涉及多個規(guī)則，需要對這些規(guī)則的使用進行排序、組合，從而設計運算與推理程序；二是面對一個問題，沒有現(xiàn)成的規(guī)則可以使用，需要設計新的算法或找到中間的過渡命題，達到解決問題的目的。比如，這樣的題：

有一塊長4米、寬3米的園地?，F(xiàn)要在園地上開辟一個花園，使花園的面積是原來園地面積的一半，應該如何設計？盡可能對你設計的圖案，通過有關計算說明面積的關系。

對此，可以給出一些設計方案（如圖4所示），然后計算分出的面積，看其是否為原來長方形面積的一半。這里，每個圖形面積的算法都沒有給出，需要解題者自己設計。這就是規(guī)則的設計。

其實，數(shù)學建模就是典型的規(guī)則設計問題。數(shù)學建模過程主要包括：在實際情境中，從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題。在分析問題、建立模型、確定參數(shù)的階段，解題者需要選擇恰當?shù)臄?shù)學工具，比較各種算法的優(yōu)劣，確定最優(yōu)算法。這就是規(guī)則設計的過程。

3 注重規(guī)則的推廣

規(guī)則推廣是指將已有規(guī)則推廣到一個更大的范圍內(nèi)去使用。例如，勾股定理是余弦定理的特例，由勾股定理發(fā)展到余弦定理就是規(guī)則的推廣。簡單地說，數(shù)學命題的一般化過程就是規(guī)則的推廣過程。規(guī)則推廣是數(shù)學研究常用的思維方式，推廣的過程是數(shù)學抽象的過程，是歸納推理或類比推理的過程，與數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)直接相關。因此，數(shù)學教學應當把規(guī)則的推廣納入其中。

例如，將一個分數(shù)的分子和分母乘以同一個不為零的數(shù)時，分數(shù)的值不會改變，那么，將一個分數(shù)的分子和分母加上同一個數(shù)時，會產(chǎn)生什么情況呢？此時，分數(shù)的值發(fā)生了變化，所得到的分數(shù)與原來的分數(shù)不再相等。進一步思考：這種不等關系是否存在一定的規(guī)律？

考察分數(shù)32，將分子和分母同時加1，得到3＋12＋1＝43＜32。進一步舉例，將這個分數(shù)的分子和分母上同時加上2、3……得到3＋22＋2＝54＜32、3＋32＋3＝65＜32……于是得出猜想1：a、b、m是正整數(shù)，則a＋mb＋m＜ab。

再舉反例駁斥這個猜想：對于分數(shù)12來說，1＋22＋2＝34＞12。分析不能成立的原因，發(fā)現(xiàn)必須對分子和分母加以限制，于是得到猜想2：a、b、m是正整數(shù)，且a＞b，則a＋mb＋m＜ab。

容易證明這個猜想是成立的。在證明過程中發(fā)現(xiàn)，“a、b、m是正整數(shù)”這個條件太強，可以弱化，得到猜想3：a、b、m是正實數(shù)，且a＞b，則a＋mb＋m＜ab。

上述猜想得到證明后，便成為一個定理。對這個定理進行推廣，可以得到一系列結論：（1） 已知a、b是正實數(shù)，x1、x2是非負實數(shù)，且a＞b，x2＞x1，則a＋x2b＋x2＜a＋x1b＋x1；

（2） 已知a1、a2、b1、b2是正實數(shù)，且a1b1＜a2b2，則a1b1＜a1＋a2b1＋b2＜a2b2；

（3） 已知ai、bi是正實數(shù)（i＝1，2，…，n），且a1b1＜a2b2＜…＜anbn，

則a1b1＜∑ni=1ai∑ni=1bi＜anbn。

參考文獻：

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