☉陳秀清 吳云敏

田忌賽馬的故事在中國流傳了2000 多年，但想要深刻理解它的意義，卻要借助一個(gè)不到100年歷史的數(shù)學(xué)分支——博弈論，又稱對(duì)策論來加以解釋。

現(xiàn)實(shí)生活是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的起點(diǎn)。傳統(tǒng)的《數(shù)學(xué)廣角——田忌賽馬》的教學(xué)，教師通常更關(guān)注故事情節(jié)上的教學(xué)，強(qiáng)調(diào)獲勝方法的指導(dǎo)，卻忽視體會(huì)解決問題策略的多樣性，忽視從多樣性的策略中尋找最優(yōu)策略、發(fā)展優(yōu)化意識(shí)，缺乏引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)去分析、解答問題，把《數(shù)學(xué)廣角——田忌賽馬》當(dāng)成故事游戲活動(dòng)課，偏離了教材滲透統(tǒng)籌優(yōu)化數(shù)學(xué)思想方法的編寫意圖，從而影響了課堂教學(xué)的質(zhì)量。因此，應(yīng)該從關(guān)注知識(shí)的本質(zhì)出發(fā)，從而建構(gòu)有效課堂。

一、溯本求源，探索知識(shí)起點(diǎn)

傳統(tǒng)的《數(shù)學(xué)廣角——田忌賽馬》的教學(xué)，側(cè)重的是獲勝方法的指導(dǎo)與總結(jié)。反映到“田忌賽馬”獲勝的方法上，就是“調(diào)換順序”“用田忌最弱馬去消耗齊王最強(qiáng)的馬”等方法的概括指導(dǎo)。但是，在練習(xí)后發(fā)現(xiàn)，學(xué)生只會(huì)生搬硬套所學(xué)方法，并不理解其中原委。究其原因有兩點(diǎn)：一是學(xué)生不理解解決問題策略的多樣性；二是不習(xí)慣運(yùn)用從多樣性的策略中尋找最優(yōu)策略。因此，要提高課堂教學(xué)的有效性，教學(xué)必須從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，溯本求源，探索對(duì)策論的知識(shí)起點(diǎn)。

（一）重溫排列方法，鏈接學(xué)生思維的起點(diǎn)

教學(xué)導(dǎo)入時(shí)，可在回憶排列的方法上著手。對(duì)學(xué)生來說，他們是第一次接觸對(duì)策論，需要理解：要想找出最優(yōu)策略需要找出解決問題的所有方法，具有一定的排列組合的思想是很重要的。教師可以這樣處理：（1）提問：3，5，8 這3 個(gè)數(shù)字有哪些排列方法呢？（2）引導(dǎo)：按照一定的順序進(jìn)行排列真好，能找得又快又對(duì)，既不重復(fù)也不遺漏。（3）思考：這六組數(shù)字哪一組最好呢？（沒有對(duì)手體現(xiàn)不出最好）。這樣，通過回憶排列的方法，在學(xué)生心中埋下運(yùn)用排列的方法找出解決問題所有策略的種子，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看問題。

（二）抓住知識(shí)聯(lián)系，找準(zhǔn)學(xué)生思維的生長點(diǎn)

學(xué)生思維在特定環(huán)境中對(duì)獲得的信息進(jìn)行加工，形成了認(rèn)知活動(dòng)。教學(xué)時(shí)，教師可以設(shè)計(jì)情景再現(xiàn)、互動(dòng)游戲等一系列具有針對(duì)性、含有一定內(nèi)在邏輯的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，為學(xué)生在特定的情境中形成特定的記憶，獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，積累數(shù)學(xué)思維素材，使思維活動(dòng)有連接點(diǎn)和生長點(diǎn)。

“田忌賽馬”被公認(rèn)為是最為經(jīng)典的對(duì)策選擇案例。策略性環(huán)境在社會(huì)生活中是很常見的。學(xué)生要學(xué)會(huì)了解在策略性環(huán)境下，應(yīng)該怎樣采取行動(dòng)。讓學(xué)生經(jīng)歷自主探究的過程，體驗(yàn)解決問題策略的多樣化，理解為了確定采取的行動(dòng)是最優(yōu)方案，必須考慮對(duì)方會(huì)怎樣選擇行動(dòng)方案［1］。

二、高屋建瓴，挖掘知識(shí)本質(zhì)

“田忌賽馬”是應(yīng)用對(duì)策論，最古老最典型的案例，故教材選這個(gè)故事作為例題，它研究的是競(jìng)爭(zhēng)，雙方采取什么對(duì)策，才能戰(zhàn)勝對(duì)手。教學(xué)必須符合學(xué)生的心理特征和年齡特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生從故事中發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題，并運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題和解決問題。其實(shí)，讓學(xué)生感受統(tǒng)籌優(yōu)化數(shù)學(xué)思想方法并不簡單。在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生會(huì)出現(xiàn)“沉浸在比賽的興奮當(dāng)中，很難冷靜思考，導(dǎo)致不能得出必勝策略”“不能按一定的順序去做，結(jié)果導(dǎo)致匯報(bào)時(shí)思路也不清晰”等各種問題。因此，要從追尋對(duì)策論數(shù)學(xué)文化的“源”和“流”，探究“反敗為勝”的概率等方面入手，引導(dǎo)學(xué)生去體驗(yàn)，挖掘?qū)Σ哒摰闹R(shí)本質(zhì)。

（一）深入教學(xué)策略

語文有同題課文，語文課教學(xué)時(shí)常常把這些策略、故事蘊(yùn)含的哲理分析得非常透徹。因此，教學(xué)時(shí)我們應(yīng)當(dāng)著重引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待故事，找尋故事背后的數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)。但是，在實(shí)際教學(xué)中，教師常常因?yàn)閷W(xué)生了解這些策略從而簡單對(duì)待，反而會(huì)導(dǎo)致教學(xué)失誤或不到位。

以“以弱勝強(qiáng)”為例，要讓學(xué)生明白策略不是憑空想象，是需要通過討論交流、推理驗(yàn)證等方式獲得解決問題的策略?！耙匀鮿購?qiáng)”策略的教學(xué)是否到位，有兩個(gè)衡量指標(biāo)。第一，是否引導(dǎo)學(xué)生通過有序思考找出各種應(yīng)對(duì)策略。策略是要基于全局考慮，這是學(xué)生生活和學(xué)習(xí)中比較缺乏的。因此，教學(xué)必須引導(dǎo)學(xué)生有序思考，一一排列，找全田忌的6 種不同應(yīng)對(duì)策略。第二，必須讓學(xué)生明白，孫臏找到的這種可贏的策略是在齊王不改變自己的出馬順序?yàn)榍疤岬摹W(xué)生在運(yùn)用田忌的6 種不同策略與齊王的馬一一比對(duì)中，找到唯一能贏的策略，從而更深刻地體會(huì)“謀略在先、以弱勝強(qiáng)”的不易，感悟“統(tǒng)籌”的魅力。學(xué)生在獨(dú)立思考、合作交流中，獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)［2］。

（二）啟發(fā)提問深入探究

不少教師在教學(xué)中常常只關(guān)注得出的結(jié)論的正確性，缺乏深入探究結(jié)論背后的數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。例如，學(xué)習(xí)《田忌賽馬》時(shí)，得出田忌的6 種不同應(yīng)對(duì)策略只有1 種是能贏的策略后，教師會(huì)小結(jié)：“我們就把這種策略叫做最優(yōu)策略。”草草結(jié)束新課的教學(xué)。但是，這樣的方式?jīng)]有讓學(xué)生的思維得到拓展，參與教學(xué)活動(dòng)沒有達(dá)到一定的深度。教師可以這樣處理：（1）提問：田忌的馬的出場(chǎng)順序一共有多少種方法？（2）引導(dǎo)：按照一定的順序進(jìn)行填表，既不重復(fù)又不遺漏。（3）觀察：這六種排列方法中只有一種能贏齊王。（4）思考：齊王每更換一次馬的出場(chǎng)順序，田忌有多少種排列方法來應(yīng)對(duì)？（6 種）。（5）追問：不管齊王的馬怎么出場(chǎng)，田忌都有贏的可能，贏得可能性是多少？（1/6）。不是說齊王的馬的實(shí)力更強(qiáng)一些嗎？（所以齊王贏的可能性是5/6）。這樣，在研究田忌有哪幾種應(yīng)對(duì)齊王的策略時(shí)，通過一一排列，找全田忌的6 種不同對(duì)策，發(fā)現(xiàn)田忌獲勝的可能性只有1/6。這樣的教學(xué)活動(dòng)給學(xué)生留下深刻的理解和長久的思維激動(dòng)，進(jìn)一步挖掘了數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。

這樣，在豐富的活動(dòng)中不僅讓學(xué)生感悟出用列舉法解決問題的策略，滲透一一對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，而且培養(yǎng)了學(xué)生的自主參與意識(shí)和自主探究能力，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的豐富內(nèi)涵，感受到數(shù)學(xué)知識(shí)就在生活中。

三、兒童視角，體悟數(shù)學(xué)價(jià)值

觀察能力的培養(yǎng)是小學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)的重要組成部分。觀察是兒童有意識(shí)地對(duì)事物的數(shù)與形的特點(diǎn)進(jìn)行感知的活動(dòng)。在數(shù)學(xué)中，不論是對(duì)基本規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、數(shù)與形的結(jié)合、數(shù)據(jù)關(guān)系的掌握，還是對(duì)圖形的識(shí)別，都離不開細(xì)致的觀察。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的觀察活動(dòng)中，要細(xì)致，要有目的、有方向，才能更好地找出規(guī)律，提高教學(xué)的有效性。

《田忌賽馬》是學(xué)生熟悉的故事，可以通過再現(xiàn)兩次比賽，結(jié)合這兩次比賽的不同結(jié)果，借助信息技術(shù)手段將視頻分成兩部分，分別導(dǎo)入進(jìn)電子書包中，在學(xué)生觀看完比賽后，提問：在每次比賽中，田忌是怎樣派馬迎戰(zhàn)齊王的？其意圖有兩個(gè)：一是判斷雙方馬的實(shí)力，二是幫助學(xué)生積累觀察經(jīng)驗(yàn)——觀察中學(xué)會(huì)把握變換的關(guān)鍵性因素。電子書包環(huán)境下的視頻演示使得整個(gè)變換過程清楚明了，學(xué)生在觀看視頻的過程中很快對(duì)知識(shí)有了直觀認(rèn)識(shí)。同時(shí)，也為決策的作用及在比賽中可能產(chǎn)生的不同結(jié)果有一個(gè)整體的理解。

兒童的天性就是好“玩”?！巴妗睌?shù)學(xué)的特別之處就在于學(xué)習(xí)者在輕松愉悅的心理狀態(tài)下，有意識(shí)地去“做”。對(duì)策問題作為現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)重要研究對(duì)象，它在日常生活以及社會(huì)科學(xué)研究中都有廣泛的應(yīng)用。［3］對(duì)于四年級(jí)學(xué)生來說，他們的注意力、理解力以及認(rèn)知能力有限，領(lǐng)會(huì)對(duì)策論這種高深的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法相對(duì)是不容易的。因此，要借助學(xué)生喜歡的故事和游戲等手段，進(jìn)行教學(xué)，營造生動(dòng)活潑的教學(xué)氛圍，在輕松愉快的活動(dòng)中，使教學(xué)由難變易。

游戲激趣，體會(huì)從多樣性的策略中尋找最優(yōu)策略。博弈，是參與者使用一定的策略進(jìn)行互動(dòng)，來使自己利益最大化的一個(gè)過程。對(duì)學(xué)生來說，怎么尋找最優(yōu)策略是一個(gè)難點(diǎn)。因此，必須在學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和最優(yōu)策略中間，找到一個(gè)連接點(diǎn)，這可以用“比大小游戲”這樣生動(dòng)的例子來實(shí)現(xiàn)。（1）明確游戲規(guī)則：用3，5，8（紅牌）這幾張數(shù)字牌和4，6，9（黑牌）進(jìn)行比大小，三局兩勝。（2）觀察：紅牌（3，5，8）有且只有2 張大于黑牌（4，6，9）2 張牌，明顯4，6，9 的實(shí)力強(qiáng)。（3）思考：3，5，8（紅牌）這幾張數(shù)字牌的6 組排列中，有能戰(zhàn)勝4，6，9 的排列嗎？（4）操作：運(yùn)用貼牌的方式讓紅牌（3，5，8）的6 種排列一一與黑牌（4，6，9）進(jìn)行比賽。尋找能獲勝的排列。（5）追問：紅牌（3，5，8）的這6 種排列中，能戰(zhàn)勝4，6，9 的有幾種？（1 種）

通過比大小游戲，讓學(xué)生體會(huì)運(yùn)用不同的排列方法進(jìn)行比賽有不同的結(jié)果。在操作中，讓學(xué)生感受到獲得實(shí)力稍弱的紅牌獲勝的方法不是碰運(yùn)氣的，而是通過有序思考，一一排列獲得的，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度分析問題，體悟數(shù)學(xué)價(jià)值［4］。這樣，不僅把適當(dāng)?shù)膬?nèi)容設(shè)計(jì)成兒童喜愛的游戲?qū)W習(xí)活動(dòng)，而且使課堂變得更有生命力，更有活力。

四、關(guān)注知識(shí)本質(zhì)、構(gòu)建有效課堂策略

（一）創(chuàng)設(shè)生活情境，合理引入數(shù)學(xué)概念知識(shí)

數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)入練習(xí)，對(duì)激發(fā)學(xué)生深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)有很大幫助，也是整個(gè)數(shù)學(xué)概念理解教學(xué)中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。一個(gè)優(yōu)秀有效的數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)入練習(xí)，可以迅速激發(fā)學(xué)生對(duì)未來所學(xué)新知識(shí)的強(qiáng)烈好奇心，讓他們迅速與繼續(xù)學(xué)習(xí)相關(guān)新知識(shí)的能力聯(lián)系起來，有一個(gè)相對(duì)清晰的系統(tǒng)認(rèn)識(shí)，并在心里有一定深度的學(xué)習(xí)期待，使他們未來的后續(xù)學(xué)習(xí)達(dá)到事半功倍的效果。目前，國內(nèi)的教育工作者也越來越重視對(duì)學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)導(dǎo)入進(jìn)行相關(guān)研究，并由此提出和設(shè)計(jì)了許多關(guān)于課堂知識(shí)導(dǎo)入的教學(xué)方法，包括從培養(yǎng)學(xué)生興趣的實(shí)際生活情況出發(fā)，創(chuàng)設(shè)生活情境，有效、快速吸引學(xué)生的主觀注意力；引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)開始就自覺跟隨數(shù)學(xué)教師的思路步伐，深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念……

（二）培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力，加強(qiáng)實(shí)踐操作

錢守望教授一直主張，在課堂教學(xué)內(nèi)容中，要為學(xué)生提供更多的獨(dú)立觀察、思考和探索的時(shí)間，提供更多的實(shí)踐活動(dòng)空間，為學(xué)生提供更多的展示才華的機(jī)會(huì)，提供更多的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，提供成功學(xué)習(xí)帶來的精神愉悅，讓所有學(xué)生自始至終參與和體驗(yàn)自己知識(shí)形成和獲取的全過程。因此，教師在課堂上要進(jìn)一步改變傳統(tǒng)的灌輸式課堂和教學(xué)管理方式，倡導(dǎo)創(chuàng)新的小組教學(xué)合作和教學(xué)研究方式，注重對(duì)學(xué)生實(shí)驗(yàn)和動(dòng)手綜合能力的系統(tǒng)培養(yǎng)，使低年級(jí)學(xué)生在各種小組實(shí)踐和合作環(huán)境中逐步發(fā)揮出最大的創(chuàng)造性和主觀能動(dòng)性，并親身體驗(yàn)一個(gè)數(shù)學(xué)概念最終形成體系的復(fù)雜過程，進(jìn)一步加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的全面認(rèn)識(shí)，促進(jìn)教師專業(yè)水平和能力的進(jìn)一步提高，為教師今后更好地學(xué)習(xí)和實(shí)踐奠定良好的基礎(chǔ)［5］。

（三）回歸數(shù)學(xué)課本，正確解讀數(shù)學(xué)概念

培根曾提出，“數(shù)學(xué)是思維的體操”。因此，數(shù)學(xué)教師在數(shù)字化教學(xué)實(shí)施活動(dòng)中，要真正有效實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂的實(shí)際教學(xué)任務(wù)目標(biāo)，就必須正確解讀數(shù)學(xué)概念。每一個(gè)講解數(shù)學(xué)概念的課堂教學(xué)環(huán)節(jié)都需要有自己獨(dú)特的實(shí)踐教學(xué)思路。因此，廣大教師在實(shí)踐教學(xué)活動(dòng)前要正確解讀這些數(shù)學(xué)概念，并投入到研究中去，從而更加正確、深入地解讀自己的數(shù)學(xué)概念，挖掘這些數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)而構(gòu)建高效的數(shù)學(xué)課堂。開展小學(xué)數(shù)學(xué)概念理解教學(xué)，最重要的內(nèi)容是讓低年級(jí)學(xué)生深入理解抽象數(shù)學(xué)知識(shí)所包含的知識(shí)本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生逐步揭開抽象數(shù)學(xué)知識(shí)的厚重神秘面紗。這必然要求一線教師要有合適的方法正確引導(dǎo)學(xué)生，結(jié)合相關(guān)教材逐步為學(xué)生解讀概念的本質(zhì)。

總之，數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)是一種數(shù)學(xué)意識(shí)和數(shù)學(xué)思想精神，數(shù)學(xué)與生活的相互交融。在課堂中引導(dǎo)學(xué)生喜愛數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)、挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，不僅有利于學(xué)生思維能力與道德情感的綜合發(fā)展，而且有利于學(xué)生數(shù)學(xué)精神的培養(yǎng)。［6］