譚 睿，于 博，王平陽(yáng)

（1.上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200240；2.上海空間推進(jìn)研究所 電推進(jìn)事業(yè)部，上海 201112）

0 引言

霍爾推進(jìn)器是一種技術(shù)成熟的電推進(jìn)器，適用于各種各樣的太空任務(wù)［1-2］。近年來(lái)，隨著航天技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展，對(duì)大推力、高比沖的霍爾推力器的需求日益提升［3-4］。然而傳統(tǒng)單通道霍爾推進(jìn)器受到自身幾何條件的局限，其尺寸和運(yùn)行功率受到限制［5］。將推進(jìn)器進(jìn)行并聯(lián)集成，可以利用現(xiàn)有型號(hào)的推進(jìn)器，但是存在尺寸過(guò)大且推力密度低的問(wèn)題［6］。采用嵌套形式的霍爾推進(jìn)器是合理的解決方案。美國(guó)國(guó)家航天局（NASA）和格林研究中心（Green Research Center）設(shè)計(jì)研制的第一個(gè)10 kW雙流道嵌套霍爾推進(jìn)器X2 取得了點(diǎn)火成功和相關(guān)數(shù)據(jù)測(cè)量［7］。基于嵌套推進(jìn)器X2 和多個(gè)傳統(tǒng)霍爾推進(jìn)器型號(hào)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，研制的三通道嵌套霍爾推進(jìn)器X3 目前正處于地面實(shí)驗(yàn)階段［8-9］。

嵌套霍爾推進(jìn)器以傳統(tǒng)單通道霍爾推進(jìn)器為原型，將多個(gè)通道嵌套在同一推進(jìn)器上，嵌套霍爾推進(jìn)器能夠?qū)崿F(xiàn)大功率運(yùn)行，以及任何通道之間的組合［10-11］。與此同時(shí)，由于地面試驗(yàn)受到成本、設(shè)備等因素的制約，最優(yōu)運(yùn)行工況往往難以找到，而探索不同的配置和參數(shù)，找到最佳運(yùn)行工況是優(yōu)化推進(jìn)器結(jié)構(gòu)的重要手段［12］。數(shù)值模擬在很大程度上解決了這個(gè)問(wèn)題，同時(shí)也彌補(bǔ)了地面試驗(yàn)成本高、有背壓等諸多不利因素，成為推進(jìn)器可行性驗(yàn)證和設(shè)計(jì)優(yōu)化的重要方法［13］。由于目前國(guó)內(nèi)嵌套霍爾推進(jìn)器還處于初步發(fā)展階段［14］，數(shù)值模擬結(jié)果對(duì)嵌套推進(jìn)器型號(hào)設(shè)計(jì)和實(shí)驗(yàn)平臺(tái)搭建起到重要的作用。

PIC（Particle-in-Cell）和流體方法是確定所有帶電物種空間分布的2 種主要數(shù)值方法［15-16］。PIC方法相對(duì)于流體方法具有較高的計(jì)算精度，因?yàn)樵撃Ｐ筒捎没痉匠虥](méi)有過(guò)度簡(jiǎn)化，跟蹤真實(shí)的物理過(guò)程，包括粒子傳輸、粒子碰撞和電場(chǎng)計(jì)算［17］。靜電場(chǎng)和磁場(chǎng)通過(guò)求解泊松方程和麥克斯韋方程來(lái)計(jì)算［18］。本文所采用的幾何和磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)參考了NASA-457M，NASA-400M 以 及X2 等多種型號(hào)［19-20］。仿真羽流場(chǎng)分布結(jié)果對(duì)于磁場(chǎng)設(shè)計(jì)改進(jìn)，幾何結(jié)構(gòu)進(jìn)一步優(yōu)化和實(shí)驗(yàn)設(shè)備搭建具有重要的參考意義。

1 PIC-DSMC 算法概述

1.1 PIC 算法

PIC 方法是等離子體物理中粒子模擬的最重要方法之一。國(guó)內(nèi)外也有很多學(xué)者采用了有限粒子法對(duì)等離子體流動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行模擬［21，22］。在PIC 模擬中，通常求解在網(wǎng)格點(diǎn)上進(jìn)行，網(wǎng)格內(nèi)的仿真粒子基于特定原則被分配到節(jié)點(diǎn)上。一般情況下對(duì)平面區(qū)域，主要應(yīng)用面積權(quán)重法，而三維時(shí)則選擇體積權(quán)重法。PIC 方法中帶電粒子的電荷分配和仿真流程如圖1 所示。

圖1 PIC 方法中帶電粒子的電荷分配和PIC 算法仿真流程Fig.1 Charge assignment of charged particles to nodes and simulation program of a single time step in the PIC method

電荷分配給網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的電量為

式中：qi為第i個(gè)節(jié)點(diǎn)分配到的電量；q為電荷電量。

通過(guò)PIC 算法進(jìn)行模擬時(shí)的流程如圖1（b）所示：1）設(shè)有大量帶電粒子，對(duì)其位置和速度參數(shù)進(jìn)行初始化，基于統(tǒng)計(jì)平均的方法計(jì)算求解域中的電磁場(chǎng)；2）獲得每個(gè)粒子在該時(shí)刻電磁場(chǎng)作用下所受到的電場(chǎng)力和洛倫茲力；3）接著計(jì)算出其加速度和速度；4）循環(huán)迭代，達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后對(duì)粒子統(tǒng)計(jì)平均輸出結(jié)果。

1.2 DSMC 算法

DSMC（Direct-Simulation-of-Monte-Carlo-Collision）是為了求解等離子體粒子時(shí)間碰撞而引入的算法［23-24］。DSMC 方法是基于如下幾方面假設(shè)建立的［25］。1）假設(shè)在所有計(jì)算網(wǎng)格內(nèi)均發(fā)生二元碰撞；2）分子平均間距遠(yuǎn)大于分子維度，僅在碰撞瞬間考慮分子間作用力；3）碰撞后分子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)只可基于隨機(jī)抽樣方法計(jì)算出。

1.3 PIC-DSMC 算法

鑒于電推力器羽流屬于超音速稀薄等離子體［26］，其實(shí)際流動(dòng)過(guò)程極其復(fù)雜。單一的PIC（不考慮粒子間的動(dòng)量和電荷交換碰撞）或DSMC 法（不考慮電磁場(chǎng)作用）都不能有效模擬其流動(dòng)問(wèn)題［27］。20 世紀(jì)90 年代，OH 等［28-29］結(jié)合上述2 種方法，提出了PIC-DSMC 混合方法，并運(yùn)用該法對(duì)SPT-100、NASA GRC 實(shí)驗(yàn)室SPT 等離子體羽流穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)進(jìn)行流動(dòng)仿真，并取得令人滿意的效果。仿真中DSMC 模擬與PIC 模擬相對(duì)獨(dú)立，前者主要用于計(jì)算粒子的運(yùn)動(dòng)及碰撞，而后者主要用于模擬等離子體自洽電場(chǎng)及其對(duì)帶電粒子的加速作用，兩者涉及的粒子加速、排序、運(yùn)動(dòng)等能在一個(gè)時(shí)間步內(nèi)同時(shí)完成，使得PIC-DSMC 混合法編程過(guò)程易于實(shí)現(xiàn)。此外，DSMC 仿真在單元進(jìn)行，而PIC 仿真則在網(wǎng)格點(diǎn)上進(jìn)行［29］。

PIC-DSMC 算法流程如圖2 所示。

2 幾何條件和邊界條件

嵌套霍爾推進(jìn)器有內(nèi)外2 個(gè)通道，共有3 種工作模式，推進(jìn)工質(zhì)為氙氣。與傳統(tǒng)單通道霍爾推進(jìn)器相比，嵌套推進(jìn)器工作范圍更廣，推進(jìn)力更高，能適應(yīng)未來(lái)航天發(fā)展多任務(wù)化的需求。仿真共采用20 組算例，研究在內(nèi)外流道采用不同質(zhì)量流量，以及磁場(chǎng)強(qiáng)度條件下，對(duì)推進(jìn)器羽流流場(chǎng)分布乃至推進(jìn)器整體推進(jìn)性能的影響。推進(jìn)器幾何結(jié)構(gòu)如圖3 所示。

為了探究在不同工況下嵌套霍爾推進(jìn)器的推進(jìn)性能，總共采用20 組工況分別研究?jī)?nèi)外通道在一系列質(zhì)量流量與磁場(chǎng)強(qiáng)度下的羽流場(chǎng)特征。質(zhì)量流量和磁場(chǎng)強(qiáng)度的選擇參考了NASA-457M，NASA-400M 以及X2 等多種型號(hào)，并通過(guò)初步仿真篩選出潛在的最佳工況組合。20 組工況見(jiàn)表1。

表1 自變量為質(zhì)量流量和磁場(chǎng)強(qiáng)度的最佳工況陣列Tab.1 Optimal working condition array with independent variables of the magnetic field strength and mass flow rate

為提高程序計(jì)算效率，如圖4 所示，對(duì)求解域進(jìn)行劃分而得到7 個(gè)子區(qū)域，其中各子區(qū)域的網(wǎng)格長(zhǎng)度為等比級(jí)數(shù)，各網(wǎng)格含4 個(gè)子網(wǎng)格，進(jìn)行劃分后總共獲得336 00 個(gè)矩形計(jì)算網(wǎng)格。計(jì)算網(wǎng)格的最小尺度為0.1 mm×0.1 mm，而嵌套霍爾推進(jìn)器羽流出口處的碰撞的平均自由程約為1 m，德拜長(zhǎng)度約為5×10-5m［12］，因此模型基本滿足等離子體二元碰撞假設(shè)。粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間步長(zhǎng)取10-8s，滿足等離子體頻率限制和碰撞過(guò)程仿真要求。在流場(chǎng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，取100 次抽樣均值當(dāng)做為一組結(jié)果，共輸出50次，最后再取均值。仿真中總共使用了240 000 個(gè)仿真粒子（不包含背壓粒子）。

圖4 計(jì)算網(wǎng)格與邊界條件Fig.4 Computational grid and boundary conditions

本次仿真過(guò)程中，內(nèi)通道內(nèi)外半徑分別為51.5、84.5 mm；外通道內(nèi)外半徑分別為151.1、198.5 mm。模擬區(qū)域采用二維旋轉(zhuǎn)對(duì)稱模型，旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸虛線表示如圖4（b）所示，對(duì)稱軸處采用反射邊界條件，徑向電場(chǎng)強(qiáng)度等于0；固體壁面均采用反射邊界條件，電勢(shì)取0；計(jì)算區(qū)域長(zhǎng)度取1 000 mm，計(jì)算區(qū)域半徑取600 mm，邊界面均認(rèn)為是與真空交界面，采用出流邊界條件，且出垂直于邊界面的電場(chǎng)強(qiáng)度取0?；亓鲄^(qū)域長(zhǎng)度取300 mm。

3 仿真結(jié)果及分析

3.1 羽流場(chǎng)結(jié)果云圖

本次模擬結(jié)果所展示云圖均為Case1 工況條件下結(jié)果云圖，如圖5 所示，圖5 中，橫軸表示沿著推力器軸線方向的距離，m；縱軸表示距離推力器中心的距離，m。

圖5 Case1 工況條件下結(jié)果云圖（長(zhǎng)度單位：m）Fig.5 Result contours under Case1 working condition（m）

3.2 羽流發(fā)散角

嵌套霍爾推進(jìn)器羽流發(fā)散半角為25°～33°。從發(fā)散角總體變化趨勢(shì)來(lái)看。隨著推進(jìn)器質(zhì)量流量減小，推進(jìn)器羽流發(fā)散角會(huì)減小。在保持質(zhì)量流量恒定時(shí)，內(nèi)通道磁場(chǎng)強(qiáng)度適當(dāng)增大有利于羽流發(fā)散角減小，外流道磁場(chǎng)強(qiáng)度增大則會(huì)導(dǎo)致羽流發(fā)散角增大。因此，一定范圍內(nèi)提高內(nèi)通道的質(zhì)量流量和磁場(chǎng)強(qiáng)度有利于約束羽流發(fā)散角，提高推進(jìn)效率，從而改善推進(jìn)器整體性能。羽流發(fā)散角隨質(zhì)量流量和最大磁場(chǎng)強(qiáng)度的變化如圖6 所示。

圖6 不同工況下的羽流發(fā)散角Fig.6 Plume divergence angles under different working conditions

3.3 推力和比沖

推進(jìn)力和比沖受質(zhì)量流量、磁場(chǎng)強(qiáng)度的影響見(jiàn)表2。

表2 推進(jìn)力和比沖受質(zhì)量流量、磁場(chǎng)強(qiáng)度的影響Tab.2 Effects of the mass flow and magnetic field strength on the propulsion and specific impulse

在相同磁場(chǎng)強(qiáng)度下，推進(jìn)力與質(zhì)量流率成正相關(guān)。在相同質(zhì)量流量下，推進(jìn)力與磁場(chǎng)強(qiáng)度成正相關(guān)。推進(jìn)力大小為1.5～2.5 N，比沖為2 300～3 200 s。

4 結(jié)束語(yǔ)

推進(jìn)力、比沖和羽流發(fā)散角是衡量推進(jìn)器推進(jìn)性能的重要物理參數(shù)。推進(jìn)力可以衡量推進(jìn)器在短時(shí)間內(nèi)的最大工作負(fù)荷。比沖和羽流發(fā)散角可以衡量推進(jìn)工質(zhì)利用效率。本次數(shù)值模擬針對(duì)嵌套霍爾推進(jìn)器羽流進(jìn)行數(shù)值仿真，得到雙通道質(zhì)量流率和最大磁場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)推進(jìn)性能的影響。

本次模擬推進(jìn)力大小為1.5～2.5 N，與磁場(chǎng)強(qiáng)度和質(zhì)量流率成正相關(guān)。推進(jìn)器比沖為2 300～3 200 s，與質(zhì)量流量和磁場(chǎng)強(qiáng)度成正相關(guān)。質(zhì)量流率越大，經(jīng)過(guò)電離而產(chǎn)生的正價(jià)粒子也越多，推進(jìn)力越大。同時(shí)，在特定條件下找到合適的最大磁場(chǎng)強(qiáng)度能夠?qū)崿F(xiàn)推進(jìn)器的高效率運(yùn)行。

本次模擬半羽流發(fā)散半角為25°～33°。嵌套霍爾推進(jìn)器羽流發(fā)散角高于一般單通道霍爾推進(jìn)器，這是由嵌套霍爾推進(jìn)器特殊的幾何結(jié)構(gòu)所決定的。隨著質(zhì)量流率的減小，羽流發(fā)散角也會(huì)隨之減小。在保持質(zhì)量流量恒定時(shí)，內(nèi)通道磁場(chǎng)適當(dāng)增大有利于羽流發(fā)散角減小，外通道磁場(chǎng)強(qiáng)度增大則會(huì)導(dǎo)致羽流發(fā)散角增大。因此在設(shè)計(jì)嵌套霍爾推進(jìn)器時(shí)，一定范圍內(nèi)提高內(nèi)通道的質(zhì)量流量和磁場(chǎng)強(qiáng)度有利于提升推進(jìn)效率，改善推進(jìn)性能。

基于此次仿真結(jié)果，后續(xù)將進(jìn)一步增大內(nèi)通道質(zhì)量流量和磁場(chǎng)強(qiáng)度進(jìn)行羽流仿真，從而達(dá)到進(jìn)一步約束羽流發(fā)散角的目的。同時(shí)，在該型號(hào)嵌套霍爾推進(jìn)器完成點(diǎn)火實(shí)驗(yàn)并進(jìn)行性能評(píng)估后，會(huì)進(jìn)一步與本次仿真結(jié)果和國(guó)外X2 等現(xiàn)有型號(hào)進(jìn)行性能對(duì)比，從而對(duì)推力器結(jié)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步的優(yōu)化。