孟凡斌，張渤洋，侯月婷，王震南

（1.天津大學(xué) 精密儀器與光電子工程學(xué)院，天津 300070；2.河北工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300401；3.天津航天機(jī)電設(shè)備研究所 天津市微低重力環(huán)境模擬技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300301；4.哈爾濱工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001）

0 引言

空間展開機(jī)構(gòu)［1-2］高精度展開是衛(wèi)星天線［3］、太陽能列陣［4］等航天部組件穩(wěn)定運(yùn)行的前提。但是受設(shè)計(jì)公差、加工和裝配誤差，以及部組件運(yùn)行過程中間隙接觸、擠壓、摩擦造成的關(guān)節(jié)變形等［5-6］因素影響，間隙大小呈現(xiàn)區(qū)間不確定現(xiàn)象，造成系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性難以精確預(yù)示的問題。在含區(qū)間不確定的多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模過程中，將不確定參數(shù)［7-9］認(rèn)定為隨機(jī)變量與區(qū)間變量，是研究含不確定參數(shù)多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)常用方法。其中，將不確定參數(shù)認(rèn)定為隨機(jī)變量常采用蒙特卡洛方法或者多項(xiàng)式混沌展開逼近方法［10］。由于航天機(jī)構(gòu)場地與成本的限制，無法進(jìn)行大量試驗(yàn)來補(bǔ)充試驗(yàn)數(shù)據(jù)庫，采用傳統(tǒng)的不確定性分析模型對(duì)空間展開機(jī)構(gòu)整體進(jìn)行可靠性分析難以實(shí)現(xiàn)。為解決小樣本航天機(jī)構(gòu)中認(rèn)知不確定分析問題，將航天機(jī)構(gòu)中不確定參數(shù)進(jìn)行處理。

針對(duì)區(qū)間不確定量化［11-12］方法，對(duì)代理模型［13］（包括多項(xiàng)式模型）、Kringing 模型以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［14-17］等進(jìn)行量化分析，其中通常選取多項(xiàng)式模型為代理模型。WU 等［18］利用泰勒多項(xiàng)式展開與子區(qū)間技術(shù)相結(jié)合的方法與切比雪夫區(qū)間方法研究了含區(qū)間參數(shù)多體系統(tǒng)的響應(yīng)分析，從而有效避免區(qū)間誤差疊加導(dǎo)致長時(shí)間計(jì)算精度不準(zhǔn)的問題，降低含區(qū)間參數(shù)求解中的“過度估計(jì)”。鄧漢卿［19］針對(duì)空間展開索網(wǎng)天線對(duì)機(jī)構(gòu)自由度進(jìn)行分析，通過運(yùn)動(dòng)螺旋系提出廣義機(jī)構(gòu)的逆運(yùn)動(dòng)綜合方法，并給出展開天線的測地線索網(wǎng)生成方法。肖劍［20］基于極限狀態(tài)函數(shù)、有限元方法與反向傳播（Back Propagation，BP）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，提出針對(duì)空間展開繩系的高精度全局代理模型。XIANG 等［21］基于切比雪夫區(qū)間求解方法對(duì)考慮不確定間隙參數(shù)與旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)摩擦系數(shù)的多體系統(tǒng)進(jìn)行了靈敏度分析，彌補(bǔ)了預(yù)測與測量之間的偏差，提高了機(jī)構(gòu)響應(yīng)參數(shù)變化的靈敏度。MA 等［22］建立了基于實(shí)驗(yàn)擬合參數(shù)的改進(jìn)薄層單元（TLEs）方法來模擬界面上接頭的動(dòng)態(tài)特性，并基于切比雪夫多項(xiàng)式分析了含區(qū)間參數(shù)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)。

然而，上述分析方法在進(jìn)行不確定性分析時(shí)，由于區(qū)間參數(shù)取不同樣本點(diǎn)時(shí)，得到的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)出現(xiàn)不同的頻率與相位差，且隨著時(shí)間的增大而逐步擴(kuò)大，導(dǎo)致瞬時(shí)相位累積效應(yīng)。由此，CUI 等［24］結(jié)合不確定分析方法與信號(hào)分解，將系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)分解為若干振動(dòng)項(xiàng)與趨勢(shì)項(xiàng)的疊加，并在每一時(shí)刻下建立相應(yīng)代理模型，解決了傳統(tǒng)不確定分析長時(shí)域信號(hào)瞬時(shí)相位累積效應(yīng)。

本文通過對(duì)不確定間隙進(jìn)行描述，結(jié)合傳統(tǒng)接觸模型提出含不確定區(qū)間間隙接觸模型，并將其嵌入系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，通過切比雪夫擴(kuò)張函數(shù)對(duì)含不確定區(qū)間系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行求解，提出一種相適應(yīng)的局部均值分解方法、瞬時(shí)疊加方法與區(qū)間擴(kuò)張方法進(jìn)行區(qū)間疊加處理，揭示系統(tǒng)區(qū)間累加下動(dòng)力學(xué)響應(yīng)邊界分布規(guī)律。

1 不確定間隙描述

在傳統(tǒng)含間隙多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析過程中，普遍將間隙認(rèn)定為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)孔半徑與軸半徑的相減，推導(dǎo)過程基于初始最大間隙所得。在展開機(jī)構(gòu)運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，由于多間隙的耦合作用，針對(duì)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)間隙處發(fā)生接觸碰撞-碰撞分離-再次碰撞的運(yùn)動(dòng)過程中的碰撞分離過程，旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)產(chǎn)生碰撞分離過程并不是每次都可以到達(dá)初始間隙最大值再次發(fā)生下次碰撞，如圖1 所示。每一次發(fā)生接觸碰撞的初始間隙是一個(gè)不確定量，其不確定長度可以表示為

圖1 旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)軸心任意時(shí)刻位置Fig.1 Diagram of the position of the axis of the rotary joint at any moment

式中：ΔRx為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)初始間隙不確定量橫向投影距離；ΔRy為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)初始間隙不確定量縱向投影距離。

將旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)間隙與相連接的連桿長度簡化為開環(huán)機(jī)械臂兩段，利用歐氏運(yùn)動(dòng)群上的卷積探究開環(huán)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)傳播問題，給出兩端機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)工作空間密度為ρ1(g)與ρ2(g)，g=(R，x)∈SE(n)，對(duì)這2 個(gè)工作空間密度進(jìn)行卷積，得到整體機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)范圍密度為

式中：SO(n)為機(jī)械臂橫向運(yùn)動(dòng)區(qū)域量，R為全域量。

在旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)運(yùn)轉(zhuǎn)空間環(huán)境中，假設(shè)間隙角θ在運(yùn)轉(zhuǎn)角度[0，2π]內(nèi)均勻分布：

間隙角θ在X方向累計(jì)分布函數(shù)可以表示為

同理，間隙角θ在Y方向累計(jì)分布函數(shù)可以表示為

對(duì)間隙角在X與Y方向上的累計(jì)分布函數(shù)分別求導(dǎo)，可得間隙角在X與Y方向上的概率密度函數(shù)ρx與ρy：

利用歐氏運(yùn)動(dòng)群上的卷積公式對(duì)式（6）與式（7）間隙角概率密度函數(shù)進(jìn)行卷積積分，可得間隙角末端點(diǎn)在間隙圓內(nèi)分布概率密度函數(shù)為

根據(jù)卷積在Rn的性質(zhì)，可以得到

結(jié)合式（9）與式（10），間隙角末端點(diǎn)分布概率密度函數(shù)均值μ與σ可表示為

式中：Qn為n×n的單位矩陣。

對(duì)于運(yùn)動(dòng)范圍不受限制的旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，其間隙角末端點(diǎn)分布可能為間隙圓內(nèi)任意一點(diǎn)，根據(jù)中心極限定理與迭代關(guān)系，利用高斯概率函數(shù)構(gòu)建間隙角末端點(diǎn)在X方向與Y方向分布概率密度函數(shù)：

結(jié)合式（13）與式（14）間隙角末端點(diǎn)在X方向與Y方向分布概率密度函數(shù)，可得間隙角末端點(diǎn)全域聯(lián)合分布概率密度函數(shù)為

在不考慮嵌入量的情況下，間隙角末端點(diǎn)分布最大值為間隙圓邊界ΔR，因此在考慮機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)行程與分布區(qū)間大小，給出間隙角末端點(diǎn)在間隙圓概率分布密度函數(shù)：

2 含不確定機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模

在考慮實(shí)際接觸過程中，隨著空間展開機(jī)構(gòu)多單元的疊加特點(diǎn)，導(dǎo)致不同位置處的間隙為一未知量。通過對(duì)不同位置處間隙采用區(qū)間變量的形式進(jìn)行統(tǒng)一描述，對(duì)空間展開機(jī)構(gòu)進(jìn)行高精度建模分析。

根據(jù)Winkler 彈性基礎(chǔ)模型［25］，接觸體在接觸位置產(chǎn)生一定變形，如圖2 所示，接觸區(qū)域徑向位移與最大法向穿透深度的關(guān)系滿足剛性接觸體的幾何邊界條件，其變形量可表示為

圖2 接觸體二維接觸模型Fig.2 Two-dimensional contact model for contact bodies

式中：R1、R2分別為接觸體半徑；ΔR為初始間隙；φ為半接觸角度。

軸孔接觸模型半接觸角度φ處的法向接觸應(yīng)力為

式中：E為接觸體彈性模量；c為接觸區(qū)域彈性層厚度。

在接觸區(qū)域上任取一彈性微元，對(duì)式（18）在半接觸區(qū)域內(nèi)進(jìn)行積分，r由于軸孔初始間隙ΔR和軸孔嵌入量δ均遠(yuǎn)小于軸半徑R1，接觸點(diǎn)與固定坐標(biāo)系原點(diǎn)之間的距離近似于接觸體半徑R1。則接觸區(qū)域承受的接觸力為

將式（17）代入式（19），忽略高階項(xiàng)，接觸域單位接觸長度接觸力為

結(jié)合圖1 旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)在發(fā)生三接觸狀態(tài)的過程中，其每一次碰撞點(diǎn)初始位置都不盡相同，導(dǎo)致接觸體瞬時(shí)接觸力產(chǎn)生差異。其考慮不確定區(qū)間間隙的接觸力模型可進(jìn)一步表示為

式中：[ΔR]為不確定初始間隙值，結(jié)合式（16）可表示為[R]=R2-R1-|f(x)|。

采用拉格朗日方程對(duì)空間展開機(jī)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，空間展開機(jī)構(gòu)展開單元?jiǎng)恿W(xué)方程可表示為

式中：L為拉格朗日函數(shù)，定義為空間展開單元?jiǎng)幽芘c勢(shì)能的差值；φi為廣義坐標(biāo)；Fi為廣義坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的廣義力；[Fc]為接觸體的接觸力。

3 考慮不確定參數(shù)切比雪夫求解方法

切比雪夫區(qū)間分析方法作為應(yīng)用最為廣泛的非嵌入式多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)解算分析方法，采用切比雪夫函數(shù)進(jìn)行區(qū)間求解，不僅在計(jì)算含區(qū)間不確定的多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程時(shí)有較高的計(jì)算精度，而且其擴(kuò)張函數(shù)對(duì)考慮不確定間隙導(dǎo)致系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程維度增加時(shí)，區(qū)間計(jì)算產(chǎn)生的累加效應(yīng)能夠起到一定的抑制作用，可以用作較長時(shí)間分析含區(qū)間不確定的多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性。

3.1 切比雪夫擴(kuò)張函數(shù)

基于Weierstrass 理論，在定義區(qū)間[a，b]上連續(xù)函數(shù)采用多項(xiàng)式的形式逼近，對(duì)于一維問題，在定義區(qū)間[a，b]上的p階切比雪夫級(jí)數(shù)為

式中：變量x∈[a，b]且θ∈[0，π]。

對(duì)于一維單變量連續(xù)函數(shù)f(x)∈[a，b]可用切比雪夫擴(kuò)張函數(shù)近似表示為

式中：fi為多項(xiàng)式的系數(shù)。

將每一個(gè)一維多項(xiàng)式表示為張量積，從而給出n維切比雪夫多項(xiàng)式定義為

多元函數(shù)f(x1，x2，…，x n)用n次切比雪夫多項(xiàng)式近似可表示為

式中：fj1，j2，…，jk為n次多元函數(shù)的系數(shù)，基于Mehler 積分可知

式中：m為多項(xiàng)式插值點(diǎn)數(shù)，一般取m=p+1 可保證近似精度。

綜上所述，含區(qū)間不確定性的空間展開機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程，可通過切比雪夫多項(xiàng)式的形式，構(gòu)建響應(yīng)函數(shù)的代理模型，并采用區(qū)間計(jì)算的方法計(jì)算系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的區(qū)間解。

3.2 切比雪夫擴(kuò)張函數(shù)求解方法

本節(jié)針對(duì)多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，提出切比雪夫擴(kuò)張函數(shù)對(duì)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行求解，通過切比雪夫正交多項(xiàng)式構(gòu)建代理模型，完成對(duì)動(dòng)力學(xué)模型求解，切比雪夫求解流程如圖3 所示。

圖3 切比雪夫求解動(dòng)力學(xué)方程流程Fig.3 Flow chart of Chebyshev dynamic equation solving

在圖3 中，n為含區(qū)間間隙空間展開單元?jiǎng)恿W(xué)方程維數(shù)，y0為動(dòng)力學(xué)響應(yīng)初始值，t0為初始時(shí)間，tend為結(jié)束時(shí)間；h為切比雪夫區(qū)間求解的迭代步長；k為切比雪夫多項(xiàng)式階數(shù)。

采用切比雪夫多項(xiàng)式構(gòu)建含區(qū)間間隙空間展開單元?jiǎng)恿W(xué)方程代理模型時(shí)，將具有含不確定區(qū)間參數(shù)的空間展開單元?jiǎng)恿W(xué)方程，轉(zhuǎn)換為僅具有特定區(qū)間參數(shù)的動(dòng)力學(xué)方程并進(jìn)行求解，根據(jù)多個(gè)所求數(shù)值解構(gòu)造切比雪夫代理模型，基于區(qū)間算法來計(jì)算含不確定區(qū)間參數(shù)的空間，展開機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程的區(qū)間解。其區(qū)間解可用如下形式表示：

式中：yj+1為tj+1時(shí)刻含不確定區(qū)間參數(shù)的空間展開單元?jiǎng)恿W(xué)方程數(shù)值解；y(tj)為tj時(shí)刻插值點(diǎn)處含不確定區(qū)間參數(shù)的空間展開單元?jiǎng)恿W(xué)方程數(shù)值解。

4 小區(qū)間疊加方法

針對(duì)區(qū)間求解方法中區(qū)間疊加誤差過大問題、分解的小區(qū)間整合成大區(qū)間的問題與啟動(dòng)階段估計(jì)不準(zhǔn)問題，提出局部均值分解方法、瞬時(shí)疊加方法與區(qū)間擴(kuò)張方法，為提高切比雪夫求解精度大區(qū)間分解的小區(qū)間整合成大區(qū)間下的區(qū)間邊界，并再此基礎(chǔ)上降低啟動(dòng)階段估計(jì)精度。通過小區(qū)間累加方法在切比雪夫求解方法上進(jìn)行進(jìn)一步處理，獲得較高精度區(qū)間邊界值。

4.1 局部均值分解方法

針對(duì)切比雪夫區(qū)間求解方法區(qū)間疊加導(dǎo)致誤差累積效應(yīng)，在長時(shí)域內(nèi)求解僅保持短時(shí)間有效的缺點(diǎn)，對(duì)切比雪夫求解獲得動(dòng)力學(xué)響應(yīng)邊界(ω，t)采用局部均值分解的方法，將響應(yīng)邊界分解為若干個(gè)響應(yīng)幅值與響應(yīng)相位乘積之和的形式，對(duì)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)邊界(ω，t)中響應(yīng)幅值a(ω，t)與響應(yīng)相位φ(ω，t)建立代理模型，解決傳切比雪夫區(qū)間求解方法相位累計(jì)效應(yīng)問題。其中響應(yīng)幅值通常是緩變甚至單調(diào)的信號(hào)，響應(yīng)相位指幅值為1 的函數(shù)，代理模型指計(jì)算結(jié)果與原模型非常接近，并便于求解的模型。

具體步驟如下：取初始?xì)埐詈瘮?shù)ri(t)等于初始動(dòng)力學(xué)響應(yīng)邊界(ω，t)，提取初始動(dòng)力學(xué)響應(yīng)邊界中的極大值點(diǎn)ai與極小值點(diǎn)bi，對(duì)提取的所有極大值點(diǎn)ai進(jìn)行局部均值擬合，得到上包絡(luò)線vi(t)；同理，得到下包絡(luò)線ui(t)，將上包絡(luò)線vi(t)與下包絡(luò)線ui(t)進(jìn)行瞬時(shí)均值處理，得到動(dòng)力學(xué)響應(yīng)邊界瞬時(shí)均值ci(t)為

動(dòng)力學(xué)響應(yīng)瞬時(shí)幅值函數(shù)在時(shí)域內(nèi)累加可表示為

動(dòng)力學(xué)響應(yīng)瞬時(shí)相位函數(shù)在時(shí)域內(nèi)累加可表示為

對(duì)初始信號(hào)全部采樣點(diǎn)處理完成后，φi(t)在時(shí)域內(nèi)累加構(gòu)建為動(dòng)力學(xué)區(qū)間響應(yīng)相位ψi(t)，ci(t)時(shí)域內(nèi)累加構(gòu)建為動(dòng)力學(xué)區(qū)間響應(yīng)幅值Ci(t)，將動(dòng)力學(xué)區(qū)間響應(yīng)幅值函數(shù)與動(dòng)力學(xué)區(qū)間響應(yīng)相位函數(shù)相乘，可得第i階乘積函數(shù)動(dòng)力學(xué)區(qū)間響應(yīng)代理模型PFi(t)：

新的殘差函數(shù)ri(t)可表示為

綜上所述，通過局部均值分解方法，將動(dòng)力學(xué)區(qū)間響應(yīng)邊界分解為動(dòng)力學(xué)響應(yīng)幅值函數(shù)與動(dòng)力學(xué)響應(yīng)相位函數(shù)乘積之和的形式，具體表達(dá)形式為

4.2 瞬時(shí)疊加方法

基于上節(jié)提出的局部均值分解方法，結(jié)合傳統(tǒng)響應(yīng)面分析方法，提出多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)瞬時(shí)疊加方法，對(duì)切比雪夫區(qū)間求解過程中大區(qū)間分解后的小區(qū)間進(jìn)行疊加，獲得初始區(qū)間下系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)邊界，具體可分為以下步驟。

1）輸入動(dòng)力學(xué)響應(yīng)邊界、不確定間隙[r]，在不確定間隙[r]中選取n個(gè)樣本，記作：r1，r2，…，rn，n為樣本序號(hào)，n個(gè)不確定參數(shù)對(duì)各樣本對(duì)應(yīng)的時(shí)域內(nèi)響應(yīng)分別為x(r1，t)，x(r2，t)，…，x(rn，t)。

2）采用4.1 節(jié)提到的局部均值分解方法，將時(shí)域內(nèi)的不確定參數(shù)樣本響應(yīng)分解為n個(gè)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)幅值函數(shù)與動(dòng)力學(xué)響應(yīng)相位函數(shù)乘積之和與相對(duì)應(yīng)的殘差函數(shù)。其中分解結(jié)果如下：

3）在每一時(shí)刻下，基于多項(xiàng)式函數(shù)擬合建立切比雪夫區(qū)間求解響應(yīng)的瞬時(shí)響應(yīng)幅值函數(shù)與瞬時(shí)響應(yīng)相位函數(shù)，以及殘差函數(shù)的代理模型，得到相應(yīng)代理模型，分別逼近真實(shí)解。

4）計(jì)算每一時(shí)刻下，動(dòng)力學(xué)響應(yīng)邊界分解的瞬時(shí)響應(yīng)幅值函數(shù)代理模型與瞬時(shí)響應(yīng)相位函數(shù)代理模型的耦合形式

5）在耦合形式代理模型中加入殘差函數(shù)代理模型，計(jì)算完成形式的代理模型，得到完全的諧波疊加形式的代理模型為

6）計(jì)算代理模型上邊界與下邊界。如圖4所示。

圖4 瞬時(shí)疊加方法流程Fig.4 Flow chart of the instantaneous superposition method

4.3 區(qū)間延拓方法

在切比雪夫區(qū)間求解過程中，在啟動(dòng)階段出現(xiàn)區(qū)間求解誤差較大問題，啟動(dòng)階段前沒有相對(duì)應(yīng)的區(qū)間與啟動(dòng)階段進(jìn)行關(guān)聯(lián)，單一區(qū)間求解狀態(tài)下容易出現(xiàn)誤差較大的情況。啟動(dòng)階段以前，區(qū)間通過余弦拓展方法進(jìn)行擴(kuò)張，在求解過程中啟動(dòng)階段有2 個(gè)甚至多個(gè)區(qū)間聯(lián)合求解，解決啟動(dòng)階段區(qū)間誤差較大問題。

通過切比雪夫區(qū)間求解獲得系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)邊界以后，可以根據(jù)零點(diǎn)附近動(dòng)力學(xué)響應(yīng)變化趨勢(shì)，在動(dòng)力學(xué)響應(yīng)零點(diǎn)以前區(qū)間增加相應(yīng)的相位、幅值與頻率適當(dāng)?shù)挠嘞已油睾瘮?shù)，使動(dòng)力學(xué)響應(yīng)區(qū)間代理模型可以在零點(diǎn)處有更多區(qū)間與相應(yīng)響應(yīng)邊界函數(shù)，從而提高啟動(dòng)階段所得上下包絡(luò)線精度，余弦延拓函數(shù)及參數(shù)定義如下：

式中：ci(t)為代理模型瞬時(shí)幅值函數(shù)；φi(t)為代理模型瞬時(shí)相位函數(shù)；ri為代理模型誤差；Ti為延拓周期數(shù)，在數(shù)值上等于延拓周期與相鄰極大值與極小值之前時(shí)間差的n倍。

通過上述余弦延拓方法，可保證代理模型在展開過程任意有效時(shí)域內(nèi)都有相鄰區(qū)間關(guān)聯(lián)求解，從而降低啟動(dòng)過程中單一區(qū)間求解帶來的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)區(qū)間邊界誤差。

5 系統(tǒng)區(qū)間累加動(dòng)力學(xué)響應(yīng)邊界分析

以平板式合成孔徑雷達(dá)（Synthetic Aperture Radar，SAR）天線展開機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，如圖5 所示，通過區(qū)間求解來分析區(qū)間間隙對(duì)空間展開天線展開過程的動(dòng)力學(xué)特性影響，選取區(qū)間間隙大小為［0.01，0.1］ mm，連桿剛度系數(shù)為5×105N/m，動(dòng)摩擦系數(shù)為0.1。

圖5 空間展開機(jī)構(gòu)仿真Fig.5 Simulation schematic of the spatial unfolding mechanism

多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性邊界計(jì)算流程如圖6 所示。對(duì)多體系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)間隙進(jìn)行不確定參數(shù)量化取值，將所得區(qū)間值代入?yún)^(qū)間接觸模型進(jìn)行計(jì)算并嵌入到含不確定間隙多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，通過切比雪夫擴(kuò)張函數(shù)進(jìn)行求解，并對(duì)所得結(jié)果通過小區(qū)間疊加的區(qū)間處理方法進(jìn)行處理，得到動(dòng)力學(xué)特性邊界。

圖6 多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性邊界計(jì)算流程Fig.6 Flow chart of the dynamics boundary calculation for multi-body system

［0.06，0.1］ mm 區(qū)間間隙標(biāo)記點(diǎn)小區(qū)間疊加區(qū)間結(jié)果與切比雪夫區(qū)間計(jì)算對(duì)比如圖7 所示。對(duì)區(qū)間計(jì)算結(jié)果進(jìn)行區(qū)間劃分，并統(tǒng)計(jì)每個(gè)區(qū)間下概率密度，同時(shí)由區(qū)間計(jì)算給出該間隙下標(biāo)記點(diǎn)誤差分布區(qū)間。采用小區(qū)間疊加方法可明顯降低區(qū)間邊界處由代理模型長時(shí)域區(qū)間迭代產(chǎn)生的誤差累計(jì)效應(yīng)。將區(qū)間疊加計(jì)算平均結(jié)果與傳統(tǒng)擬合結(jié)果進(jìn)行對(duì)比如圖8 所示，由圖8 可知在［0.06，0.1］ mm間隙下區(qū)間疊加計(jì)算平均結(jié)果與傳統(tǒng)擬合結(jié)果相比提高7.74%，［0.03，0.06］ mm 區(qū)間疊加計(jì)算平均結(jié)果與傳統(tǒng)擬合結(jié)果相比提高3.73%，可進(jìn)一步提高空間可展機(jī)構(gòu)展開預(yù)示精度。

圖7 ［0.06，0.1］ mm 區(qū)間間隙標(biāo)記點(diǎn)區(qū)間結(jié)果與區(qū)間計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.7 Comparison of the interval results of the marked gap points with interval calculation results in the［0.06，0.1］ mm interval

采用局部瞬時(shí)分解方法、瞬時(shí)疊加方法與區(qū)間擴(kuò)張方法對(duì)不同區(qū)間間隙大小與數(shù)量下區(qū)間邊界進(jìn)行處理，得到大區(qū)間下位移偏差區(qū)間分布狀況，如圖9 和圖10 所示。

圖9 不同間隙大小下疊加區(qū)間邊界Fig.9 Boundaries of the stacking intervals with different gap sizes

圖10 不同區(qū)間間隙數(shù)量下疊加區(qū)間邊界Fig.10 Boundaries of the stacking intervals with different gap numbers

由圖9 可知，隨著間隙區(qū)間的增大，系統(tǒng)位移偏差基準(zhǔn)值出現(xiàn)逐漸增大的趨勢(shì)，但是區(qū)間范圍擴(kuò)張并不明顯。由圖10 可知，小區(qū)間疊加方法可以有效解決小區(qū)間與大區(qū)間之間的轉(zhuǎn)換、區(qū)間累加效應(yīng)與邊界估計(jì)不準(zhǔn)的問題。隨著生效區(qū)間間隙數(shù)量的增多，系統(tǒng)位移偏差基準(zhǔn)值趨于穩(wěn)定，但是區(qū)間范圍產(chǎn)生明顯增大。說明間隙大小對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)精度產(chǎn)生較大影響，而間隙數(shù)量對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定度影響較為嚴(yán)重，在對(duì)空間展開機(jī)構(gòu)展開過程分析中間隙對(duì)系統(tǒng)的影響時(shí)，不僅要合理控制各旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)間隙大小，同時(shí)還要關(guān)注由于多級(jí)機(jī)構(gòu)疊加從而導(dǎo)致系統(tǒng)間隙數(shù)量倍增的狀況。

6 結(jié)束語

針對(duì)空間展開機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)預(yù)示不準(zhǔn)問題，基于不確定區(qū)間間隙改進(jìn)傳統(tǒng)共形接觸模型，并構(gòu)建含區(qū)間不確定空間可展機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型，提出一種相適應(yīng)的切比雪夫區(qū)間求解方法。得到主要結(jié)論如下：

1）針對(duì)區(qū)間求解過程中區(qū)間疊加誤差過大、區(qū)間整合困難與啟動(dòng)階段估計(jì)不準(zhǔn)等不足，分別提出局部均值分解方法、瞬時(shí)疊加方法與區(qū)間擴(kuò)張方法。

2）區(qū)間間隙大小主要對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)精度產(chǎn)生較大影響，而區(qū)間間隙數(shù)量對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定度影響較為嚴(yán)重。

3）區(qū)間疊加方法相比于傳統(tǒng)擬合方法可進(jìn)一步提高空間可展機(jī)構(gòu)預(yù)示精度，相較于傳統(tǒng)擬合結(jié)果可提高7.74%。