苗煒

有一天兒子做語文作業(yè)，用漢語拼音寫了一句話，“爸爸心里很開心”。我跟他說，這句話是錯(cuò)的。他堅(jiān)稱，語文老師就是這么教的。我一時(shí)說不清楚這句話到底哪里不對，“高興”和“開心”很多時(shí)候是一個(gè)意思，但“爸爸心里很高興”絕不能替換成“爸爸心里很開心”，這是語感。

過了兩天，數(shù)學(xué)老師在家長群中說——“我們最近學(xué)習(xí)了兩種類型的應(yīng)用題，一是關(guān)于求‘一共有多少個(gè)，二是求‘還剩下多少。兩種類型題都是關(guān)于總數(shù)量、部分量和另一部分量之間的關(guān)系。孩子們剛開始學(xué)習(xí)帶文字的應(yīng)用題，所以在讀題、審題習(xí)慣上還需要在家加強(qiáng)練習(xí)。我們在后續(xù)的學(xué)習(xí)中也會(huì)繼續(xù)帶著孩子復(fù)習(xí)讀題和分析數(shù)量關(guān)系的方法?！?/p>

讀題并分析數(shù)量關(guān)系，我兒子應(yīng)該有這個(gè)能力。學(xué)校老師曾經(jīng)講過成語故事“亡羊補(bǔ)牢”，我怕他理解不了這個(gè)故事，回家又給他講了一遍：“有個(gè)農(nóng)夫，養(yǎng)了十只羊，丟了一只。”兒子糾正我：“你說得不對，他養(yǎng)了六只羊，丟了兩只?！蔽覇査骸澳峭鲅蜓a(bǔ)牢是一個(gè)數(shù)學(xué)故事，說的是六減二等于四？”我兒子很肯定地說，就是六只羊丟了兩只。好吧，應(yīng)用題的解題技巧，第一步就是審題，把語言描述的一道題提煉出數(shù)學(xué)模型來?！巴鲅蜓a(bǔ)牢”就是連續(xù)做減法。

兒子做數(shù)學(xué)作業(yè)的時(shí)候，我在邊上守著。我看到這樣一道題：三個(gè)小孩子，每個(gè)都戴著一個(gè)口罩，中間那個(gè)孩子，手里拿著一包口罩，包裝袋上寫著“10個(gè)裝”，題目是——每人用1個(gè)口罩，還剩幾個(gè)？這道題沒啥問題，10減3等于7。這道題邊上還有一道題，畫的是早餐，桌上左邊有一袋面包，看不出里面有幾片，包裝袋上寫著“8片”，中間畫了一杯牛奶，右邊畫了一個(gè)盤子，上面有兩片面包，問題是——一共有幾片面包？答案似乎也很明確，8加2等于10，一共有10片面包。我看這兩道題并列在一起，不免感到疑惑?？谡职b袋上寫著“10個(gè)裝”，這是一種“擬真”；面包包裝袋上寫著“8片”，這是一種“標(biāo)注”，或者說，這是一種“形式化”。市面上有各種吐司、面包片，我未見過標(biāo)明有幾片的?？谡职b袋上寫著“10”，里面卻未必是10，面包包裝袋上寫著“8”，里面就一定是8？盤子上那兩片面包為什么不是從包裝袋子里拿出來的呢？在同一頁上出現(xiàn)擬真和標(biāo)注兩種表現(xiàn)方式，有點(diǎn)兒邏輯上的錯(cuò)亂。

浙江有一位特級教師叫劉善娜，寫過一本書叫《把數(shù)學(xué)畫出來》。她說，小學(xué)生對數(shù)學(xué)世界的認(rèn)識有以下幾個(gè)表征形式：一是動(dòng)作表征，要掰著手指數(shù)數(shù)；二是實(shí)物表征，要用小圓珠或糖果來算加減法；三是圖形表征，思維活動(dòng)離不開實(shí)體，要用圖形替代實(shí)物；四是符號表征，用抽象的數(shù)學(xué)符號來反映數(shù)學(xué)關(guān)系；五是語義表征，用概念、判斷來反映數(shù)學(xué)關(guān)系。劉老師在這本書中強(qiáng)調(diào)，給一、二年級學(xué)生布置作業(yè)，也可以讓他們畫“數(shù)學(xué)故事”。我尊重劉老師的想法，但我真的不喜歡這樣的教學(xué)方法。

我在一年級的練習(xí)冊上看見這樣的題目：3加一個(gè)草莓等于5，問草莓是幾？然后草莓加一個(gè)橘子等于6，再問橘子是幾？草莓和橘子畫得很好，但我不明白為什么不用X和Y直接替代草莓和橘子。不管你畫的是草莓、橘子還是香蕉、西瓜，這就是方程和未知數(shù)。

我在二年級的奧數(shù)練習(xí)冊上還看到這樣的問題：“西湖美”加上“美啊美”等于“西湖美啊”，列著豎式，問你“西湖美啊”這四個(gè)漢字分別代表哪幾個(gè)數(shù)字。還有把數(shù)字和漢字混雜在一起的豎式，“我0”減去“2愛”等于“偉愛”，“偉愛”加上“4大”等于“祖國8”，問你“我愛偉大祖國”這六個(gè)漢字分別代表數(shù)字幾。這是把愛國主義教育滲透到加減法中了。但是，將漢字和數(shù)字混雜在一起，除了讓孩子的腦子亂一下，并沒什么智力上的好處。用字母代替數(shù)字，比用漢字代替數(shù)字，要更合理。畫，跟數(shù)學(xué)分不開。用長方形面積來表示乘積，畫圖形來理解（a+b）的平方，這是畫。畫一條數(shù)軸，理解加法就是連續(xù)計(jì)數(shù)，這也是畫。這些是真正數(shù)學(xué)意義上的畫。小學(xué)一年級畫出斐波那契數(shù)列的螺旋線，似乎也不是很難。小學(xué)低年級數(shù)學(xué)，非常害怕“抽象”。經(jīng)常用圖畫來展示數(shù)學(xué)題的運(yùn)算，卻很少是數(shù)學(xué)的圖畫。

一年級的《五三練習(xí)冊》上還有一道題，題目是這樣的——有10個(gè)小朋友在玩“貓捉老鼠”，已經(jīng)捉到了5個(gè)，還有幾個(gè)沒被捉到？我兒子寫了涂涂了寫再涂再寫，寫的是“9-5=4”，老師打了一個(gè)對勾。但我從他反復(fù)涂改的筆跡中，看到他腦子里的混亂。這道題似有bug，10個(gè)小朋友玩貓捉老鼠，我們假定誰都知道貓捉老鼠的游戲規(guī)則是什么，但還是需要知道，有幾只貓。我玩過兩只貓和三只貓捉若干老鼠的游戲。如果給定條件是1個(gè)小朋友扮演貓，那這道題應(yīng)該是10減去1再減去5。從題目中，我看不出“10減去1”這一步從何而來，也不知道那個(gè)“9”從何而來。應(yīng)用題是要從文字描述中找出數(shù)學(xué)模型，那么10減1等于9這一步就不能少。

有一種說法，說學(xué)好語文才能學(xué)好數(shù)學(xué)，語文學(xué)不好，就看不懂?dāng)?shù)學(xué)題。然而，數(shù)學(xué)有數(shù)學(xué)語言，數(shù)學(xué)語言簡化了自然語言，克服了自然語言中含糊不清的毛病。我們看一些詞——有且僅有，當(dāng)且僅當(dāng)，一切，任意，存在，至多，至少，且，或，都不，不都，稠密，不完備的……這些詞都非常地?cái)?shù)學(xué)?！奥?lián)結(jié)任意三角形的三個(gè)內(nèi)角的相鄰的三等分角線的三個(gè)交點(diǎn)而成的三角形是等邊三角形”，這也是數(shù)學(xué)語言，繁瑣又準(zhǔn)確。

上海有一位陳永明教授，在徐匯區(qū)教育學(xué)院做教師培訓(xùn)37年，著有一套《陳永明數(shù)學(xué)教學(xué)叢書》，其中一本叫《數(shù)學(xué)教學(xué)中的語言問題》。陳老師主持過一次“數(shù)學(xué)語言測試”，考一考初三到高三的學(xué)生對數(shù)學(xué)語言到底理解得如何。這套測試卷一共有七部分，我們看最開始的幾道判斷題。

1.有一個(gè)整數(shù)是負(fù)數(shù)。

2.至少有一個(gè)整數(shù)是負(fù)數(shù)。

3.有一個(gè)數(shù)，它和一切數(shù)的乘積都是0。

4.只有一個(gè)數(shù)，它和一切數(shù)的乘積都是0。

5.至少有一個(gè)數(shù)，它和一切數(shù)的乘積都是0。

6.至多有一個(gè)數(shù)，它和一切數(shù)的乘積都是0。

以上這六種描述，都是正確的。

7.下面兩句話，意思是一樣的：

A.有一件展品，每個(gè)參觀者都喜歡。

B.每個(gè)參觀者，都喜歡一件展品。

8.下列兩句話，意思是一樣的：

A.有一個(gè)數(shù)，它比所有的正數(shù)都小。

B.對于所有的正數(shù)來說，都有一個(gè)數(shù)，比它們小。

7和8的兩個(gè)判斷，都是錯(cuò)誤的。

這些句子都跟語言、邏輯有關(guān)。我們再看一個(gè)復(fù)雜點(diǎn)兒的。和“我班至少有兩個(gè)學(xué)生是區(qū)三好學(xué)生”意義相反的句子是：A.我班至少有兩個(gè)學(xué)生不是區(qū)三好學(xué)生；B.我班至多有一個(gè)學(xué)生是區(qū)三好學(xué)生；C.我班至少有一個(gè)學(xué)生是區(qū)三好學(xué)生；D.我班至多有兩個(gè)學(xué)生是區(qū)三好學(xué)生。陳老師的測試結(jié)果顯示，學(xué)生在“數(shù)學(xué)語言理解”上的成績跟他們的數(shù)學(xué)成績強(qiáng)相關(guān)，跟他們的語文成績?nèi)跸嚓P(guān)。初三那些數(shù)學(xué)成績較差的學(xué)生，也搞不明白這些數(shù)學(xué)語言和邏輯。陳老師說，初中是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語言的關(guān)鍵時(shí)期，有些學(xué)生不敢把自然語句“翻譯”成帶數(shù)學(xué)符號的方程，不敢設(shè)字母，這是抽象能力不足造成的障礙。

生活中的語言總會(huì)發(fā)生變化，我這個(gè)歲數(shù)的人，肯定做過類似的應(yīng)用題——曙光電視機(jī)廠計(jì)劃30天生產(chǎn)5400臺電視機(jī)，實(shí)際上每天比計(jì)劃多生產(chǎn)20臺，照這樣計(jì)算，完成原定的生產(chǎn)任務(wù)，要少用多少天？比我年輕點(diǎn)兒的人，應(yīng)該做過類似的應(yīng)用題——某公司改制成股份公司，原來注明是每個(gè)人平均入股，正式統(tǒng)計(jì)時(shí)有10人表示不參加，因此，其余每人要多負(fù)擔(dān)1萬元。到實(shí)際付款時(shí)，又有15人決定退出，這樣，最后余下的人每人要再增加投資2萬元，問該公司原有多少人準(zhǔn)備入股？如果一個(gè)學(xué)生能理解什么叫“生產(chǎn)計(jì)劃”，什么叫“股改”，那他也能理解什么叫“兩數(shù)的平方和”，什么叫“兩數(shù)的和的平方”。

我們都熟悉一種句型——“如果……，那么……”，陳老師說，數(shù)理邏輯中有一種叫“蘊(yùn)涵”的運(yùn)算，“如果……，那么……”就是蘊(yùn)涵的語言外殼。“如果7=8，那么7+1=8+1”，即“如果P，那么Q”，P是假的，Q是真的，P蘊(yùn)涵Q也會(huì)是真的。我們學(xué)反證法，就是在這個(gè)邏輯之下。比如要證明，“一條線的垂線，和與該直線相交的直線必然相交”，用反證法就要假設(shè)一條線的垂線和與該直線相交的直線是平行的。數(shù)學(xué)歸納法也是在這個(gè)邏輯之下。這個(gè)例子聽上去略有些復(fù)雜，很多學(xué)生對數(shù)學(xué)語言產(chǎn)生困惑，好像是從學(xué)平面幾何才開始的，但數(shù)學(xué)語言的出現(xiàn)可能比我們想象的要早。比如說，將“最多三天”“至少三天”及“少于三天”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，那就是小于等于3、大于等于3和小于3。

我看過一個(gè)視頻，是北京人大附中李永樂老師用戴德金分割證明無限循環(huán)小數(shù)0.99999……等于1。戴德金分割將整個(gè)有理數(shù)分拆為兩個(gè)非空集合A和B，A交B是空集，也就是說A和B之中沒有重復(fù)的元素，A并B是有理數(shù)，如果a屬于A集合，b屬于B集合，則a小于b。這說的就是在數(shù)軸上切一刀，將有理數(shù)分成左右兩個(gè)部分，這一刀可以切在任何一個(gè)地方。這樣的分割之后，會(huì)有以下四種可能：其一是A中有最大，B中無最??；其二是A中無最大，B中有最?。黄淙茿中無最大，B中無最?。黄渌氖茿中有最大，B中有最小。A中有無最大，B中有無最小，這就是一套語言。以上四種語言描述都可以寫成數(shù)學(xué)描述，需證明第四種情況不存在，而第三種情況就是那一刀切在了無理數(shù)上面，切在了有理數(shù)的間隙。戴德金說，他可以由此來定義整個(gè)實(shí)數(shù)，有理數(shù)的全體分割就構(gòu)成了實(shí)數(shù)。如果對實(shí)數(shù)進(jìn)行分割，則只會(huì)出現(xiàn)兩種情況，A中有最大、B中無最小或者A中無最大、B中有最小。戴德金分割是定義實(shí)數(shù)的一種方法，是數(shù)學(xué)公理化之一種。

什么叫有理數(shù)，什么叫實(shí)數(shù)，需要確切的定義。什么叫自然數(shù)，什么叫加法，也需要確切的定義。但考慮到一年級小孩子沒有那么強(qiáng)的邏輯能力和語言能力，我們就糊弄過去了。

不過，陳永明老師在《數(shù)學(xué)教學(xué)中的語言問題》中提醒我們——“力求詞意確切，是研究數(shù)學(xué)教學(xué)語言的重要課題，這也是和數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性相適應(yīng)的。日常生活中，詞的意思常常是通過解釋來表達(dá)的，有的甚至只可意會(huì)。在數(shù)學(xué)里，反映數(shù)學(xué)概念的詞的意義，一般是通過定義加以規(guī)定，也就是說，通過已經(jīng)了解的概念來規(guī)定新概念的意義。概念的步步上溯，最終歸結(jié)到幾個(gè)原始概念，它們的意義是憑人類長期的經(jīng)驗(yàn)來理解的，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)里，則是采用公理化的方法加以規(guī)定。通過邏輯手段，也就是定義方法確定反映概念的詞的意義，這保證了詞的專義性，這是數(shù)學(xué)課中語言的主流?！?/p>

但是，陳老師說了，數(shù)學(xué)課中的詞也有模糊的地方，我們會(huì)借用日常生活中的詞；還有，許多帶有數(shù)學(xué)特點(diǎn)的詞也無法用定義來規(guī)定其意義，比如“內(nèi)部”“鄰近”“對應(yīng)”等。

（小穎摘自微信公眾號“三聯(lián)少年刊”）