李兆亭,周 祥,張洪波,湯國(guó)建

國(guó)防科技大學(xué)空天科學(xué)學(xué)院,長(zhǎng)沙 410073

0 引言

再入滑翔飛行器的可達(dá)域是指在滿(mǎn)足過(guò)程約束條件下,飛行器從初始狀態(tài)出發(fā),能夠到達(dá)著陸或者交班狀態(tài)下所能允許的區(qū)域范圍。它綜合反映了飛行器的縱向機(jī)動(dòng)能力與橫向機(jī)動(dòng)能力,體現(xiàn)了飛行器的整體機(jī)動(dòng)性能?？蛇_(dá)域的求解可為飛行器軌跡規(guī)劃與制導(dǎo)、應(yīng)急著陸點(diǎn)選擇、制導(dǎo)律性能評(píng)估提供依據(jù),具有重要意義。

可達(dá)域求解方法依賴(lài)于軌跡規(guī)劃方法的發(fā)展。在基于經(jīng)典的剖面軌跡規(guī)劃方法研究條件下,發(fā)展得到了若干種可達(dá)域求解方法[1-3]。如He等[4]推導(dǎo)得到一個(gè)具有不確定性效應(yīng)的再入走廊,其中攻角剖面可調(diào)節(jié),縱向阻力剖面設(shè)計(jì)為上、下擬合安全邊界的插值結(jié)果,橫向升力-阻力剖面則利用準(zhǔn)平衡滑翔條件得到,最后通過(guò)比例積分微分(PID)跟蹤器來(lái)跟蹤剖面,得到可達(dá)域。同時(shí),隨著優(yōu)化算法的成熟與發(fā)展,具有剖面形式的軌跡規(guī)劃問(wèn)題亦可通過(guò)相關(guān)的優(yōu)化算法進(jìn)行規(guī)劃求解,如梁巨平等[5]選取傾側(cè)角為時(shí)間的分段常值函數(shù),采用遺傳算法來(lái)求解一系列的軌跡優(yōu)化問(wèn)題。王濤等[6]提出一種基于Gauss偽譜法的再入可達(dá)域計(jì)算方法,采用固定的攻角剖面,僅對(duì)傾側(cè)角進(jìn)行單變量尋優(yōu)。

此外,還有一些研究者打破了剖面假設(shè)、擬平衡滑翔假設(shè)等藩籬,設(shè)計(jì)了其他類(lèi)型的可達(dá)域求解方法,如基于虛擬目標(biāo)點(diǎn)[7]、基于直接法[8-11]等。相比基于剖面的求解方法,這些新方法不需要設(shè)計(jì)相關(guān)剖面,其可達(dá)域范圍更大且更接近實(shí)際值。如藺君等[12]對(duì)攻角、傾側(cè)角進(jìn)行參數(shù)化,利用帶約束的差分進(jìn)化算法求解滿(mǎn)足再入過(guò)程約束和終端約束的再入軌跡。章吉力等[13]對(duì)考慮禁飛區(qū)條件下的空天飛機(jī)再入可達(dá)區(qū)域問(wèn)題進(jìn)行研究,并基于極限繞飛軌跡提出一種不限禁飛區(qū)位置的可達(dá)區(qū)域求解方法。吳楠等[14]基于平衡滑翔假設(shè)和最優(yōu)化飛行準(zhǔn)則,通過(guò)數(shù)值積分獲得最大縱程和橫程彈道,基于橢圓近似法利用3個(gè)末端點(diǎn)構(gòu)建可達(dá)域橢圓邊界。

在基于直接法的可達(dá)域計(jì)算方法中,偽譜法由于具有良好的適用性和強(qiáng)大的求解能力成為其中一類(lèi)重要的方法。如岳彩紅等[15]基于改進(jìn)高斯偽譜法對(duì)高超聲速變形飛行器再入可達(dá)域進(jìn)行了求解。Wang等[16]在準(zhǔn)平衡滑行條件下,使用高斯偽譜法計(jì)算得到了返回航天器的可達(dá)域。此類(lèi)可達(dá)域計(jì)算方法通常將可達(dá)域計(jì)算歸結(jié)為兩類(lèi)問(wèn)題,即最大/最小縱程軌跡規(guī)劃問(wèn)題和給定縱程下的最大/最小橫程軌跡規(guī)劃問(wèn)題。

本文借鑒了上述基于直接法的可達(dá)域計(jì)算思路,針對(duì)描述可達(dá)域的極值軌跡規(guī)劃問(wèn)題,利用極大值原理推導(dǎo)出攻角應(yīng)為當(dāng)前最大升阻比攻角的相關(guān)推論,并仿真驗(yàn)證了該推論的有效性。其次設(shè)計(jì)了給定縱程下不同橫程極值軌跡的傾側(cè)角變化規(guī)律,并通過(guò)梯度下降的優(yōu)化方法計(jì)算得到相關(guān)參數(shù)。最終,提出了一種近似解析的可達(dá)域求解方法,并通過(guò)仿真驗(yàn)證了所提方法的有效性。

1 再入動(dòng)力學(xué)模型及其約束

在進(jìn)行可達(dá)域的求解時(shí),將飛行器的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換到換極坐標(biāo)系[17]中描述。在換極坐標(biāo)系中,再入飛行器起點(diǎn)的經(jīng)緯度均為0,終點(diǎn)的經(jīng)度和緯度分別描述了再入縱程和再入橫程。利用這些特性,可方便地標(biāo)定經(jīng)緯度等參數(shù)的變化范圍,簡(jiǎn)化彈道規(guī)劃算法。

在換極坐標(biāo)系下,可以推導(dǎo)得到飛行器再入運(yùn)動(dòng)方程,如下:

(1)

(2)

其中:ρ為大氣密度,M為飛行器質(zhì)量,S為參考面積,CL和CD分別為升力系數(shù)和阻力系數(shù),均與攻角α有關(guān)。

同時(shí),再入飛行中還需考慮多種過(guò)程約束,如熱流密度約束、過(guò)載約束、動(dòng)壓約束等,如式(3)所示。

(3)

本文中,仿真所用的目標(biāo)飛行器為CAV-H,其相關(guān)參數(shù)和氣動(dòng)數(shù)據(jù)可以參考文獻(xiàn)[18]。

2 極值軌跡規(guī)劃問(wèn)題最優(yōu)特性分析

將可達(dá)域求解的兩類(lèi)軌跡統(tǒng)稱(chēng)為極值軌跡,意在說(shuō)明該軌跡在縱、橫程方面具有的最優(yōu)性。同時(shí)將兩類(lèi)軌跡規(guī)劃問(wèn)題統(tǒng)稱(chēng)為極值軌跡規(guī)劃問(wèn)題。

為降低推導(dǎo)的復(fù)雜度,本節(jié)中軌跡優(yōu)化問(wèn)題暫不考慮熱流、過(guò)載、動(dòng)壓等約束。

2.1 最大縱程軌跡規(guī)劃問(wèn)題

對(duì)于該問(wèn)題而言,其升力幾乎全部用于縱向的調(diào)整,無(wú)側(cè)向機(jī)動(dòng),因此不妨令傾側(cè)角始終為0。同時(shí),假設(shè)θ為小角度,忽略地球自轉(zhuǎn)項(xiàng)。在這些假設(shè)條件下,最大縱程軌跡優(yōu)化問(wèn)題就等價(jià)于最大路程軌跡優(yōu)化問(wèn)題。

記飛行器在橫向平面內(nèi)的路程為S,則有:

(4)

與公式(1)中的有關(guān)式子聯(lián)立,假設(shè)θ為小量,并忽略二階小量,可得:

(5)

可將上述最大縱程軌跡優(yōu)化問(wèn)題近似轉(zhuǎn)化為問(wèn)題P0,如下所示:

(6)

利用極大值原理求解上述問(wèn)題P0的最優(yōu)性條件。其哈密頓函數(shù)為:

(7)

其極值條件為:

(8)

關(guān)于控制量的部分取為極小,有:

(9)

考慮到控制量u1、u2為飛行器的升阻力加速度,應(yīng)當(dāng)滿(mǎn)足一定的關(guān)系式,有:

u1=ku2

(10)

式中:升阻比k在不同速度和攻角下為不同的值。此時(shí)控制量只有攻角。

將θ=x4/x3代入,則式(9)轉(zhuǎn)化為:

u1(λ4-λ3θ)-u2(λ4θ+λ3)

(11)

考察CAV-H飛行器的氣動(dòng)情況,如圖1所示。飛行器的升阻比隨攻角具有相同的變化規(guī)律。其升阻比總是從A點(diǎn)的最小攻角開(kāi)始,逐漸增大至B點(diǎn)的當(dāng)前最大升阻比攻角,而后逐漸減小,直到端點(diǎn)C。

圖1 不同速度、高度下的升阻比隨攻角變化

(12)

因此不妨對(duì)式(11)分情況討論:當(dāng)攻角位于A(yíng)B段時(shí),因參數(shù)(λ4-λ3θ)和(λ4θ+λ3)值大小的不同,其極小值一般取為A點(diǎn)或B點(diǎn)。當(dāng)攻角位于BC段時(shí),其極小值一般取為C點(diǎn)或B點(diǎn)。因此,最大縱程軌跡的攻角應(yīng)為最大攻角、最小攻角和當(dāng)前最大升阻比攻角三者之一。

2.2 給定縱程下的最大/最小橫程軌跡規(guī)劃問(wèn)題

引入θ小角度假設(shè),忽略地球自轉(zhuǎn)項(xiàng),則給定縱程下的最大橫程軌跡規(guī)劃問(wèn)題P1可以描述為式(12),式中λe為給定的縱程。而對(duì)于最小橫程問(wèn)題而言,其性能指標(biāo)取為J=φ(tf)+(λ(tf)-λe)2,其他完全一致。

求解問(wèn)題P1的最優(yōu)性條件,其哈密頓函數(shù)為:

(13)

其極值條件為:

(14)

提取關(guān)于控制量的部分,并記有,

(15)

則應(yīng)當(dāng)取極小值的部分為:

(16)

當(dāng)ε+σ=-π/2+2kπ,k=0,1,…,N時(shí),式(16)進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為:

(17)

2.3 結(jié)論驗(yàn)證

綜上所述,對(duì)于這兩類(lèi)極值軌跡規(guī)劃問(wèn)題而言,其攻角應(yīng)為最大攻角、最小攻角和當(dāng)前最大升阻比攻角三者之一。

為檢驗(yàn)上述結(jié)論的有效性,采用偽譜法對(duì)飛行器的可達(dá)域進(jìn)行求解。采用兩個(gè)算例進(jìn)行換極坐標(biāo)系下可達(dá)域求解,算例1的初始高度為60 km,算例2的初始高度為65 km,兩個(gè)算例的初始速度均為6.5 km/s,初始速度傾角均為0°,終點(diǎn)速度要求大于1 km/s,終點(diǎn)速度傾角的大小不做限制要求,終點(diǎn)高度為30 km。

不同算例下各條極值軌跡的升阻比如圖2所示。在圖2中,短劃線(xiàn)代表當(dāng)前最大升阻比,點(diǎn)虛線(xiàn)代表最小攻角的升阻比,下方的點(diǎn)劃線(xiàn)代表最大攻角的升阻比,上方的實(shí)線(xiàn)代表偽譜法規(guī)劃結(jié)果的升阻比。

圖2 不同算例下各極值軌跡的升阻比變化情況

可以看出,不同算例下飛行器的各極值軌跡幾乎總是沿著當(dāng)前最大升阻比攻角前進(jìn)。除了開(kāi)始時(shí)刻和終端時(shí)刻略有差別。這種差別可能由于優(yōu)化方法中一些終端狀態(tài)約束設(shè)置的不同引起。

從物理意義上,阻力代表了機(jī)械能的損耗速率。升力則有助于飛行器的上升,可增大速度傾角,使高度減小速率變緩甚至高度增加,從而增加縱程。從動(dòng)力學(xué)角度來(lái)說(shuō),高度越高,阻力越小,也會(huì)使得機(jī)械能損失速率減小。那么,升阻比就代表了損失相同機(jī)械能的條件下,飛行器獲得的縱程增益。升阻比小意味著其縱程增益小,當(dāng)升阻比為0時(shí),其縱程增益為0,該運(yùn)動(dòng)退化為一個(gè)具有阻力加速度的拋物運(yùn)動(dòng)。顯然,對(duì)于構(gòu)成可達(dá)域邊界的每一條軌跡,選擇一個(gè)最大升阻比攻角,無(wú)疑是一個(gè)最優(yōu)的選擇。

因此,在計(jì)算可達(dá)域的極值軌跡時(shí),不妨直接令攻角為當(dāng)前最大升阻比攻角,積分到期望狀態(tài)條件,可以得到一條近似的極值軌跡。

3 近似解析的再入可達(dá)域生成方法

對(duì)于最大縱程軌跡規(guī)劃問(wèn)題,可以以當(dāng)前最大升阻比攻角和0傾側(cè)角積分得到其軌跡。但對(duì)于給定縱程下的最大/最小橫程軌跡規(guī)劃問(wèn)題而言,還需得到傾側(cè)角的變化規(guī)律。

3.1 傾側(cè)角近似與參數(shù)計(jì)算

傾側(cè)角難以直接計(jì)算得到,在2.2節(jié)的分析中可知,其與拉格朗日乘子λ2和λ3直接相關(guān),而拉格朗日乘子的估計(jì)一直是優(yōu)化求解的難題。這里,考慮到文獻(xiàn)[19]中可達(dá)域的求解結(jié)果,其傾側(cè)角的變化非常有規(guī)律,因此不妨直接設(shè)計(jì)傾側(cè)角的變化規(guī)律,以得到近似的可達(dá)域。

設(shè)計(jì)不同極值軌跡的傾側(cè)角隨時(shí)間的曲線(xiàn)為不同斜率、不同初值的直線(xiàn)。直線(xiàn)的起點(diǎn)為不同的初始傾側(cè)角,直線(xiàn)的斜率為常值,直線(xiàn)的終點(diǎn)為0。直線(xiàn)的起點(diǎn),即初始傾側(cè)角一般取為90°i/N,i=1,…,N,N為給定縱程下最大橫程軌跡的數(shù)目。第i條軌跡的斜率ki按照如下給定:

ki=(i-1)(kmax-kmin)/(N-1)+kmin

(18)

其中:kmax為最小縱程軌跡傾側(cè)角變化的斜率,kmin為次最大縱程軌跡傾側(cè)角變化的斜率。

對(duì)應(yīng)的傾側(cè)角變化規(guī)律為:

σ=90°i/N+kit

(19)

最小縱程軌跡對(duì)應(yīng)的傾側(cè)角變化規(guī)律為:

(20)

最大縱程軌跡對(duì)應(yīng)的傾側(cè)角變化規(guī)律為:

σ=0, 0≤t≤tmax

(21)

其中:tmax可通過(guò)令傾側(cè)角為0并以當(dāng)前最大升阻比攻角進(jìn)行動(dòng)力學(xué)積分得到。tmin可以通過(guò)求解傾側(cè)角符合上述變化規(guī)律的最小縱程問(wèn)題得到。tmin的詳細(xì)求解流程如下所示:

1) 給定一個(gè)tmin的估計(jì)值t0;

2) 令tmin=t0和tmin=t0+10,并積分計(jì)算2種情況下的縱程,計(jì)算縱程對(duì)于tmin的梯度g,尋優(yōu)方向?yàn)樨?fù)梯度方向-sgn(g);

3) 回溯直線(xiàn)搜索方法確定尋優(yōu)步長(zhǎng)Δt,計(jì)算得到參數(shù)tmin=tmin-sgn(g)Δt;

4) 如果尋優(yōu)步長(zhǎng)小于某一閾值ε,即Δt≤ε,則停止,并輸出tmin;否則令t0=tmin,進(jìn)入步驟2)。

如上所述,在求解得到參數(shù)tmax和tmin后即可確定kmax和kmin,則通過(guò)式(18)、(19)可以得到任意一條最大橫程軌跡的傾側(cè)角變化率。其給定縱程下最小橫程軌跡的傾側(cè)角變化規(guī)律與最大橫程一致,但符號(hào)是相反的。

3.2 近似解析的可達(dá)域生成方法

最終,形成了一種可達(dá)域的近似解析求解方法。在此方法中,最大縱程軌跡通過(guò)令傾側(cè)角為0,以當(dāng)前最大升阻比攻角進(jìn)行動(dòng)力學(xué)積分得到。給定縱程下的最大最小橫程軌跡,通過(guò)以設(shè)計(jì)的傾側(cè)角變化規(guī)律和當(dāng)前最大升阻比攻角進(jìn)行動(dòng)力學(xué)積分得到。其流程如圖3所示。

圖3 一種近似解析的可達(dá)域計(jì)算流程

如圖3所示,首先以0傾側(cè)角和當(dāng)前最大升阻比攻角積分得到最大縱程軌跡,并得到最大飛行時(shí)間tmax。然后以式(20)所示的傾側(cè)角變化規(guī)律和當(dāng)前最大升阻比攻角進(jìn)行積分,并利用3.1節(jié)所述的優(yōu)化方法計(jì)算得到最小飛行時(shí)間tmin。最后以式(18)、(19)所述的傾側(cè)角變化規(guī)律和當(dāng)前最大升阻比攻角進(jìn)行積分,得到一側(cè)的極值軌跡。改變傾側(cè)角的符號(hào),積分得到另一側(cè)的極值軌跡,即可形成再入飛行器的可達(dá)域。

4 仿真校驗(yàn)

為驗(yàn)證所提方法的有效性,本節(jié)選取3個(gè)不同的飛行器起點(diǎn)狀態(tài),分別利用所提方法和偽譜法計(jì)算得到各自的可達(dá)域。將得到的兩組結(jié)果作為對(duì)比,驗(yàn)證本文所提方法的有效性和合理性。

可達(dá)域計(jì)算的參數(shù)設(shè)置如表1所示。在表1中,3個(gè)起點(diǎn)狀態(tài)被分別賦予了不同的速度與高度值,期望的終點(diǎn)速度大于1 km/s,期望的終點(diǎn)高度在10 km～30 km之間,同時(shí)不對(duì)終點(diǎn)的速度傾角做限制。得到的可達(dá)域近似結(jié)果如圖4所示。

表1 不同算例下的可達(dá)域求解參數(shù)設(shè)置

圖4 可達(dá)域計(jì)算結(jié)果對(duì)比

圖4給出了不同起點(diǎn)狀態(tài)下的可達(dá)域計(jì)算結(jié)果。其中實(shí)線(xiàn)代表偽譜計(jì)算得到的可達(dá)域邊界,點(diǎn)劃線(xiàn)代表由本方法計(jì)算得到的可達(dá)域邊界,虛線(xiàn)為由本方法計(jì)算得到的各條極值軌跡?？梢?jiàn)相對(duì)于偽譜法計(jì)算的結(jié)果,本方法得到的可達(dá)域與之極為接近,僅存在較小的差異。

同時(shí),考慮到如圖3所示的可達(dá)域計(jì)算流程,主要包含了參數(shù)tmin的優(yōu)化求解、極值軌跡的積分等過(guò)程。且參數(shù)tmin的優(yōu)化求解也僅僅借助于積分運(yùn)算與梯度下降算法,因此對(duì)于整個(gè)求解過(guò)程而言,其不包含復(fù)雜的優(yōu)化計(jì)算過(guò)程,具備工程試驗(yàn)的可操作性。

5 結(jié)論

針對(duì)再入滑翔飛行器的可達(dá)域計(jì)算問(wèn)題,提出一種近似解析的可達(dá)域計(jì)算方法。首先針對(duì)2類(lèi)極值軌跡優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行了相關(guān)推導(dǎo),指出無(wú)論是最大縱程軌跡優(yōu)化問(wèn)題,還是給定縱程下的最大/最小橫程軌跡優(yōu)化問(wèn)題,其攻角應(yīng)當(dāng)是當(dāng)前最大升阻比攻角。通過(guò)仿真驗(yàn)證了上述推論的有效性。然后針對(duì)性地設(shè)計(jì)了各條極值軌跡的傾側(cè)角變化規(guī)律,給出了最終解析近似的可達(dá)域生成方法流程。最后通過(guò)與偽譜法計(jì)算得到的可達(dá)域的對(duì)比,驗(yàn)證了本文所提方法的有效性。