☉金小英

“數(shù)與運算”作為“數(shù)與代數(shù)”最基本的一項內容，貫穿于小學數(shù)學學習的整個階段。在中高年級中，又加入了加法和乘法的運算定律。教育部發(fā)布的《數(shù)學課程標準（2022 版）》將運算能力定義為：能根據(jù)法則和運算律進行正確運算的能力［1］。這里包含了兩個不同的層次需求：一是根據(jù)法則正確地運算；二是根據(jù)運算律正確運算。第二個層次不應簡單地理解為按簡便運算的運算律進行計算，而是自覺地根據(jù)數(shù)據(jù)特征選擇方法進行計算，解決相關的簡單實際問題，形成運算能力。這反映出的是關于運算方法選擇的策略水平［2］。但在實際教學中，一方面教師往往主要關注學生的計算過程、計算結果以及計算技巧的熟練程度，忽視了對運算模型的建構；另一方面，學生思維簡單化，只是機械重復，出現(xiàn)了“三亂”，即亂用、亂造、亂搭配。

一、理解本質 關注學生高階思維的培養(yǎng)

（一）培養(yǎng)符號意識，注重學生對算理的理解

怎么看待2 ＋3 ＝5 這個算式?“在數(shù)學上，這是一個完美的句子，有名詞、連詞和動詞。”［3］教育部發(fā)布的《數(shù)學課程標準2022 年版》將符號意識的培養(yǎng)與數(shù)感、量感三者共同歸為“會用數(shù)學的眼光觀察世界”，有利于培養(yǎng)學生的抽象思維和邏輯推理能力。符號意識可以分為符號理解、符號表示、符號運算、符號推理四個維度［4］。教師在教學中，應引導學生正確認識符號，理解符號語言。

以四年級下冊《乘法分配律》為例。

1.結合具體情境，加深對符號的理解

教材通過生活情境和學生已有經驗，采取情境呈現(xiàn)、解答列式、比較發(fā)現(xiàn)、舉例驗證、概括總結這幾個環(huán)節(jié)進行教學，引導學生通過邏輯推理得到規(guī)律，培養(yǎng)學生的問題意識和應用意識。

2.重視語言文字與符號語言之間的聯(lián)系

在這個環(huán)節(jié)教學中，教師除了要注重運算律的推導、總結以及符號化展示外，還要把著力點放在幫助學生理解運算符號表示的意義上，推進學生對符號運算和符號推理的思考。要在學生充分體驗、深刻感知的基礎上，抽象和概括出乘法分配律，將淺層學習認知水平推進到深層學習認知水平。如褚明月老師在講座“‘以學習為中心’的數(shù)學課堂改進”中就提到，可以在之后加入一個環(huán)節(jié)：讓學生說說為什么（即對算理的理解）。引導學生從不同方面闡述——從生活現(xiàn)象中，實際舉例說明；從原有學習經驗中，用幾何意義解釋；從列式解答上，用算理推導解釋……從簡單的討論發(fā)現(xiàn)上升到高階的邏輯演繹推理。

（二）加強認知，注重學生對運算規(guī)則本質的建模

張苾菁老師在《加法運算律》這節(jié)課上，為了讓學生理解加法交換律和加法結合律的數(shù)學本質，在完成例題教學之后，并沒有匆匆進入探究規(guī)律環(huán)節(jié)，而是采用不同形式繼續(xù)探究，讓人耳目一新。

環(huán)節(jié)一：根據(jù)例題條件提出問題，解決問題。初步感知兩個算式的特點。

環(huán)節(jié)二：模型支撐 溝通建構

①舉例子。“先買3 元的尺，再買1 元的橡皮”和“先買1 元的橡皮，再買3 元的尺”付的錢是一樣，讓學生理解加法交換律的意義。

②數(shù)小棒。例如12 ＋8 和8 ＋12，讓學生通過數(shù)小棒后發(fā)現(xiàn)，這兩個算式的結果是相同的，加深對加法交換律的理解。

③畫圖。讓學生畫圖解釋這種等量關系。例如：

在不斷推導下，得到等式a＋b ＝b ＋a，等號兩邊兩個算式的相同點是：兩個加數(shù)沒有變，都是加法運算，得數(shù)一樣；不同點是：左右兩邊的算式中兩個加數(shù)的位置交換了位置。因此，加法交換律可以表述為：兩個數(shù)相加，交換兩個加數(shù)的位置，和不變。

1.結合經驗去理解

在這個環(huán)節(jié)中，張老師先通過展示情境，利用學生已有經驗列出兩種算式，從計算結果去進行觀察歸納，讓學生從算式層面理解，初步感知了算理。

“學習是指學習者因經驗而引起的行為、能力和心理傾向比較持久的變化?！保?］學習是始于經驗，要求經驗的。數(shù)學知識是有承接性的，一個知識的學習必定會有相應的前期知識的鋪墊。教師在教學中，要充分發(fā)掘學生的舊有知識儲備，然后去引導學生完成知識的正遷移、深拓展以及資源再整合。

2.結合數(shù)形去理解

“數(shù)”是抽象的，“形”是具體的，數(shù)形結合就可以把抽象思維和具體化內容相轉化。培養(yǎng)學生模型意識、建立模型觀念可以加強學生對運算律的理解，從而促進學生數(shù)感的發(fā)展。在這個環(huán)節(jié)的第3 步中，張老師通過畫圖的形式，引導學生建模，加深對加法交換律算理的理解。在接下來教學中，學生運用了這種思維方式得到并理解了加法結合律過程：

加法結合律就是三個數(shù)相加可以用兩種不同的運算順序計算，且得數(shù)保持不變。如：計算23 ＋36 ＋45 的兩種方法的原理是這樣的：

所以，可以寫成23 ＋36 ＋45 ＝23 ＋（36 ＋45），比較這個等式兩邊的算式，相同點是：三個加數(shù)沒有變化，都是連加運算，得數(shù)一樣；不同點是：左邊是先把前兩個數(shù)23 和36 相加，再加第三個數(shù)45，右邊是先把后兩個數(shù)36 和45 相加，再與第一個數(shù)23 相加。因此，加法結合律的定義是：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，再加第三個數(shù)，或者先把后兩個數(shù)相加，再與第一個數(shù)相加，和不變。

二、多樣化形式與過程，提高學生在實際問題中的簡便運算能力

（一）呈現(xiàn)形式多樣化

運算能力重點在于理解算理、掌握算法，經歷探索過程，它是運算技能和數(shù)學思維能力的共同產物。為進一步提高運算技能，簡便運算形式應提倡多樣化，幫助學生認識簡便運算的實際意義。教學中，一方面可以適當增加口算和估算，另一方面可以引導學生將簡便運算運用到實際生活，使之生活化、主動化、內涵化。

（二）思維過程多樣化

單向思維是低端思維的外在，多向思維才是高質量思維。在進行數(shù)學簡便運算時，要盡可能引導學生發(fā)掘多樣化算法，以培養(yǎng)其數(shù)學運算和數(shù)學思維。以下面的學生解答為例：

首先，教師應讓學生準確地描述想法，然后讓學生比較，通過“觀察、多樣化解決、擇優(yōu)、意識”幾個環(huán)節(jié)，進一步分析算法的區(qū)別和聯(lián)系，達到簡算擇優(yōu)化和算理的理解。

（三）評價形式多樣化

在關注“四基”“四能”同時，教師要注意對學生核心素養(yǎng)的評價。在簡便運算教學中，一方面要注重運算技能和運算結果的評價，了解學生基礎知識和基本技能的掌握情況；另一方面，要注重學生對自身思維方式、思維水平的評價和反思，培養(yǎng)學生用數(shù)學思想分析、解決實際問題的能力，以促進學生的長遠發(fā)展。

三、掌握規(guī)律，鞏固意識，讓各種形式的運算有機融合

（一）通過對比，梳理溝通。例如125×8÷125×8 這種算式，很多學生會第一時間認為答案是1。究其原因，可能是與（125×8）÷（125×8）、125×8÷125÷8這些類型混淆。教師可以將多種類型放在一起，讓學生通過對比后知道它們的異同之處，理解這些算式的意義，進而得到正確的運算順序。

（二）透過現(xiàn)象，嘗試感悟。在四則運算中，減和除、加和乘的計算是存在聯(lián)系的。在小學數(shù)學中，對加法的描述是“兩個數(shù)合在一起是加法”，對乘法的描述是“兩個自然數(shù)A×B，表示A 個B 相加，自然數(shù)乘法可以看作相同加數(shù)求和的簡便運算”。例如103×5，可以看成103 個5相加。

（三）通過聯(lián)結，構建知識網。在教材中，數(shù)的運算被平鋪到每個年級段。例如乘法：

按口訣表計算兩、三位數(shù)乘一位數(shù)兩位數(shù)乘兩位數(shù)三位數(shù)乘兩位數(shù)小數(shù)乘法分數(shù)乘法二年級下冊三年級上冊三年級下冊四年級（整數(shù)的簡便運算）五年級上冊（小數(shù)的簡便運算）六年級上冊（分數(shù)的簡便運算）

可以看出，各個年級段的乘法螺旋遞進上升，知識點之間的聯(lián)系非常緊密。只有讓學生理解乘法的意義、計算的方法、過程中每一步計算的意義，才能在原有基礎上拓展提高，真正地掌握乘法計算，構建完整的知識體系。

例如103×5，從形式上看，學生大部分會作為三位數(shù)乘一位數(shù)口算或者筆算。但是從算理上理解，可以引導學生把算式理解成103 個相加5，進一步理解為（100 ＋3）個5，即100×5 ＋3×5。既體現(xiàn)了簡算的運用，也進一步解釋了乘法筆算的算理。

四、注重學生計算習慣的養(yǎng)成

葉圣陶先生說：“教育就是培養(yǎng)習慣，把良好的學習習慣轉化為學生內在的需要或傾向，那就是教育的成功?！绷己玫倪\算能力有助于學生形成嚴謹規(guī)范的思考意識。

（一）注重觀察（審題）。審題作為數(shù)學解題中的第一步，是培養(yǎng)學生解決問題的基礎和關鍵。如何“審”？是否有一個共性的流程與標準？學生在簡便運算中，既要審具體情境和數(shù)量關系，又要觀察運算符號和數(shù)字符號，審時度勢地選擇最優(yōu)解答思維和正確的運算定律。

（二）注重驗算。驗算作為數(shù)學運算中最后一步，近年來教材逐步加強了學生驗算意識方面的引導。在實際操作中，應要求學生做到“四查”——查運算符號、查數(shù)字、查順序、查結果。

（三）注重錯誤反思。在實際教學中，書面作業(yè)作為衡量學生掌握情況和鞏固知識點的重要工具，處于比較尷尬的地位，有足夠高的關注度，但也存在放大化的評價作用。教師在面對作業(yè)中的錯誤時，不要簡單地以“批改、講解、訂正”為整個過程，而應讓學生自我反思錯誤原因：算理不清、技能不熟、基礎不牢還是不良習慣？找到了問題所在，才能有針對性地進行糾錯。

對小學數(shù)學而言，數(shù)學運算是最核心、最關鍵的內容之一。簡便運算意識作為一種優(yōu)化意識，反映出學生深層次的學習水平。教學中，教師應認識到學生對數(shù)的簡便運算的感悟是一個循序漸進的過程，要注重溝通聯(lián)結，引發(fā)深度思維，促進學生數(shù)學關鍵能力與核心素養(yǎng)的發(fā)展。