張明昊 張鈺海 李靜靜 唐 娜 孫 帥 張豐收,,3

1（射線束技術(shù)教育部重點實驗室 北京師范大學(xué)核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 北京 100875）

2（北京市科學(xué)技術(shù)研究院 輻射技術(shù)研究所 北京 100875）

3（蘭州重離子加速器國家實驗室原子核理論研究中心 蘭州 730000）

1966 年，Myers 和Swiatecki 基于殼模型理論預(yù)言在質(zhì)子數(shù)Z=114、中子數(shù)N=184 附近存在一個穩(wěn)定性遠超其他超重核素的“超重穩(wěn)定島”［1］。最新的理論模型也預(yù)言在Z=120或126、N=184處存在著雙滿殼［2-3］，由此，登陸“超重穩(wěn)定島”、探索核素的質(zhì)量和電荷極限一直是核物理學(xué)的前沿問題。20 世紀(jì)80 年 代 以 來，德 國 的GSI（Gesellschaft für Schwerionenforschung）重離子加速系統(tǒng)、俄羅斯的Dubna/FLNR-DRIBs（Dubna Radioactive Ion Beam accelerator complex）、日本的RIKEN-RARF（RIKEN Accelerator Research Facility）、美國的Berkeley-88英寸回旋加速器（88-inch cyclotron complex）以及我國蘭州 的HIRFL（Heavy Ions Research Facility in Lanzhou）［4］等大型重離子加速器相繼建成，使得核物理學(xué)家可以進一步將核素版圖向超重區(qū)拓展。其中德國GSI實驗室通過以208Pb和209Bi為靶的冷熔合反應(yīng)發(fā)現(xiàn)了107~112 號元素［5］，日本RIKEN 實驗室通過冷熔合反應(yīng)70Zn+209Bi 合成了113 號元素［6］，而俄羅斯Dubna實驗室通過48Ca轟擊錒系元素靶的熱熔合反應(yīng)合成了114~118號元素［7］，填滿了元素周期表的第七周期。2022 年，日本RIKEN（Rikagaku Kenkyūjyo）實驗室提取了熔合反應(yīng)51V+248Cm 的準(zhǔn)彈性散射位壘分布，并由此估算出了通過該反應(yīng)合成119 號元素的最佳入射能量［8］。俄羅斯Dubna 實驗室通過熔合反應(yīng)48Ca+243Am 合成了286Mc，并在衰變產(chǎn)物中發(fā)現(xiàn)了新核素264Lr［9-10］。中國科學(xué)院近代物理研究所通過熔合反應(yīng)分別合成了204Ac和207Th［11-12］，同時也與美國阿貢國家實驗室合作合成了251Lr［13］。截至2022 年末，核物理學(xué)家已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了3 338 個核素［14］，其中超鈾核素317 個，如圖1 所示，其中交叉線區(qū)域代表了理論預(yù)言的“超重穩(wěn)定島”區(qū)域。然而，在超重區(qū)域和豐中子重核區(qū)域預(yù)計還有5 000 多種理論預(yù)言存在的核素還未被發(fā)現(xiàn)［15］。

圖1 截至到2022年底已知的317超鈾核素Fig.1 The 317 transuranium nuclides that were known by the end of 2022

目前，實驗上對于Z> 103的超重核素的合成方式主要是熔合反應(yīng)，其產(chǎn)生截面普遍在nb 到fb 量級，且隨著生成的超重核質(zhì)子數(shù)增加，其產(chǎn)生截面呈下降趨勢，實驗上分辨產(chǎn)物十分困難［16］，因此，理論對最佳彈靶組合和入射能的預(yù)言十分關(guān)鍵。此外，熔合反應(yīng)中選擇穩(wěn)定的彈靶組合將導(dǎo)致合成的新核素多為缺中子一側(cè)，因此，也需要探索超重核合成的新機制來合成豐中子區(qū)超重核素。2018 年，Wuenschel 等［17］利用238U+232Th 的多核子轉(zhuǎn)移反應(yīng)測量到大量的α 粒子發(fā)射，與實驗數(shù)據(jù)和理論計算的結(jié)果對比顯示很有可能生成了原子序數(shù)高達116的未知豐中子核素，只是受限于探測手段的限制沒有測到相關(guān)產(chǎn)物的截面信息。隨著未來探測技術(shù)的進步，多核子轉(zhuǎn)移反應(yīng)很有希望成為新的合成豐中子區(qū)和“超重島”區(qū)域超重核的途徑［18］。

為了準(zhǔn)確描述超重核合成的動力學(xué)過程，精確預(yù)言超重核的產(chǎn)生截面和入射能量，核物理學(xué)家發(fā)展了不同的輸運模型，其中包括唯象的核擴散模型［19］、兩步模型［20］、核子集體化模型［21］、擦邊碰撞（GRAZING）模型［22］和雙核系統(tǒng)（Dinuclear System，DNS）模型［23-32］等，以及量子分子動力學(xué)類型（QMD（Quantum Molecular Dynamics）-like）模 型［33-41］、TDHF（Time-dependent Hartree-Fock）模 型［42-47］，Boltzmann 類型（Boltzmann-like）模型［33，47-54］等微觀輸運模型，這些模型在描述重離子碰撞中都取得不同程度的成功。但由于各模型對動力學(xué)過程的近似處理有所區(qū)別，不同模型在預(yù)言新核素產(chǎn)生的最佳彈靶組合和產(chǎn)生截面等問題上得到的結(jié)果會有所不同［55］。

1 DNS模型框架下的超重核合成研究

在唯象的輸運模型中，通過引入部分集體坐標(biāo)建立動力學(xué)演化方程來描述核反應(yīng)的動力學(xué)過程，從而忽略了內(nèi)部核子的復(fù)雜運動，減少了計算量，能夠廣泛地用于庫侖位壘附近的重離子碰撞反應(yīng)。以DNS模型為例，該模型由Volkov提出，經(jīng)過Adamian等發(fā)展后可以應(yīng)用于熔合反應(yīng)和多核子轉(zhuǎn)移反應(yīng)［23］。如圖2所示，在多核子轉(zhuǎn)移反應(yīng)中，彈核與靶核發(fā)生準(zhǔn)彈性或深度非彈性散射，從而形成類彈類靶碎片。在跨過庫侖位壘形成雙核系統(tǒng)的演化過程中發(fā)生準(zhǔn)裂變過程也會形成類彈類靶碎片，兩種碎片通過退激發(fā)形成類彈類靶產(chǎn)物。在熔合反應(yīng)中，克服庫侖位壘形成的雙核系統(tǒng)在勢能面的驅(qū)動下沿質(zhì)量不對稱自由度演化，形成緊湊形狀的復(fù)合核。處于激發(fā)態(tài)的復(fù)合核可能會發(fā)生裂變反應(yīng)，也可能通過蒸發(fā)輕粒子來退激發(fā)到基態(tài)，最終形成目標(biāo)核。

圖2 基于DNS模型描述的熔合反應(yīng)和多核子轉(zhuǎn)移反應(yīng)不同階段示意圖Fig.2 Schematic illustration of fusion and MNT reactions within the DNS model framework

在DNS 模型框架中，熔合反應(yīng)可以分為俘獲、熔合和存活過程，產(chǎn)生截面表示如下［24］：

基于DNS模型，文獻［25］發(fā)現(xiàn)穩(wěn)定束流36S生成缺中子核素280-283Fl 的產(chǎn)生截面更高，而豐中子放射性核素46Ar誘發(fā)的反應(yīng)在束流強度足夠的情況下也可以得到新的豐中子核素290-292Fl。文獻［26］探討了方向效應(yīng)對熱熔合反應(yīng)產(chǎn)生截面的影響，如圖3 所示，其中加粗曲線是對不同角度的平均結(jié)果。在考慮方向效應(yīng)后，DNS 模型能夠很好地符合實驗值，由此計算通過熔合反應(yīng)48Ca+252Es 和48Ca+257Fm 合成Z=119 和Z=120 號超重元素的產(chǎn)生截面分別為0.32 pb 和0.23 pb。由于只考慮了質(zhì)量不對稱自由度下的核子轉(zhuǎn)移，在DNS模型中缺失了動力學(xué)因素對熔合反應(yīng)的影響。因此，文獻［27］在模型中引入了方向效應(yīng)和動力學(xué)形變，并計算了熔合反應(yīng)合成293，295，296Og的產(chǎn)生截面在0.1~0.2 pb之間。

圖3 DNS模型對48Ca+238U反應(yīng)生成Cn同位素的理論產(chǎn)生截面與實驗值的比較[26]Fig.3 Comparison of calculated DNS model results with experimental data in the production cross sections of Cn isotopes in the 48Ca+238U reaction[26]

多核子轉(zhuǎn)移反應(yīng)的俘獲過程計算與熔合反應(yīng)相同［24］，其初始碎片產(chǎn)生截面計算如下：σpr(Z1,N1,Ec.m.) =

式中：P(Z1，N1，t=τint)為通過勢能面得出的碎片分布幾率［24］。初始碎片通常處于激發(fā)態(tài)，需要通過蒸發(fā)粒子或裂變進行退激發(fā)產(chǎn)生次級碎片，該過程通常采用統(tǒng)計模型GEMINI 或GEMINI++進行計算。在文獻［28］中驗證了DNS 模型在多核子轉(zhuǎn)移反應(yīng)的可靠性，并在此基礎(chǔ)上預(yù)言了通過238U+252Cf 反應(yīng)產(chǎn)生4 個新的Rf 核素的產(chǎn)生截面。文獻［29］發(fā)現(xiàn)GRAZING模型與DNS模型框架下的多核子轉(zhuǎn)移反應(yīng)機理有著互補性，將兩種模型相結(jié)合可以顯著改善理論對多核子轉(zhuǎn)移反應(yīng)產(chǎn)生截面實驗結(jié)果的描述，文獻［30］由此進一步計算了通過132Sn+249Cf生成Z= 99~102的豐中子核素的產(chǎn)生截面。文獻［31］引入了形變自由度和蒙特卡羅（Monte Carlo）退激發(fā)方法，發(fā)展出了改進的DNS-sysu 模型，并基于該改進模型探討了多核子轉(zhuǎn)移反應(yīng)中彈核的影響，發(fā)現(xiàn)238U 束流在產(chǎn)生豐中子重核上更有優(yōu)勢。此外DNS 模型也可應(yīng)用于多核子轉(zhuǎn)移反應(yīng)中的前平衡結(jié)團發(fā)射研究［32］，但在核子轉(zhuǎn)移過程中，DNS 模型只考慮了單核子的級聯(lián)轉(zhuǎn)移，缺失了極端豐中子或豐質(zhì)子核中可能存在的集團轉(zhuǎn)移，同時唯象輸運模型中有限的集體坐標(biāo)無法給出核反應(yīng)中間過程中的動力學(xué)信息，因此也需要發(fā)展微觀輸運模型來追蹤核反應(yīng)的整個過程。

2 QMD 類型模型框架下的超重核合成研究

QMD 模型是一種基于分子動力學(xué)思想的微觀動力學(xué)模型，能夠更加全面地描述核反應(yīng)的整個過程，給出全過程的各種中間信息。在QMD 模型框架下，每個核子的單粒子波函數(shù)通過相干態(tài)的高斯波包來描述如下［33-34］：

在該框架下首先需要利用Monte Carlo 方法抽樣在相空間初始化彈靶，利用輸入的原子核的基態(tài)性質(zhì)對抽樣的原子核進行篩選，合格的初始核將在平均場中遵循正則運動方程進行動力學(xué)演化，由此最后得到每個核子的坐標(biāo)和動量分布。QMD 模型在模擬核反應(yīng)過程中是逐個事件模擬，能夠考慮多體關(guān)聯(lián)和漲落，但除了以高斯波包處理核子外，QMD模型的物理思想和經(jīng)典的分子動力學(xué)相同，導(dǎo)致其無法應(yīng)用到低能重離子的反應(yīng)當(dāng)中。為了更加準(zhǔn)確地描述重離子碰撞，在此框架下發(fā)展出了多種經(jīng)過檢驗的改進模型，如考慮同位旋的IQMD 模型［35-36］，加 入 唯 象 泡 利 勢 的EQMD 模 型［37］以 及ImQMD 模型［38-39］，其中ImQMD 模型引入了相空間約束、表面項和對稱能項等改進項，能夠很好地再現(xiàn)較低能區(qū)的重離子碰撞實驗數(shù)據(jù)。

在ImQMD 模型中，如果兩個獨立的核能夠克服庫侖位壘，并且復(fù)合核在旋轉(zhuǎn)或震蕩過程中單體密度保持穩(wěn)定，則認為發(fā)生了熔合反應(yīng)。由此通過大量的模擬事件可以統(tǒng)計得出給定入射能量的熔合截面。文獻［39］將ImQMD模型對48Ca+208Pb反應(yīng)生成No同位素產(chǎn)生截面的計算結(jié)果與DNS模型的計算結(jié)果和實驗值進行了對比，驗證了ImQMD 模型在熔合反應(yīng)的可靠性。由此，基于ImQMD 模型給出了243-248No同位素的最佳彈靶組合。

對于庫侖因子ZpZt≥1 600的重體系，其強烈的庫侖排斥抑制了復(fù)合核的形成，導(dǎo)致彈靶會通過形成頸部進行核子交換到彈靶分離為止［56］，形成的激發(fā)態(tài)類彈類靶碎片在退激發(fā)后得到最終的產(chǎn)生碎片。文獻［40］將DNS 模型和ImQMD 模型計算的136Xe+208Pb 反應(yīng)的初始碎片分布與實驗值（圖4）進行了比較，發(fā)現(xiàn)由于考慮了動力學(xué)漲落效應(yīng)，ImQMD 模型在轉(zhuǎn)移較多核子的情況能更好地復(fù)現(xiàn)實驗值。同樣，基于ImQMD模型，文獻［41］研究了反應(yīng)238U+238U 生成超鈾核素的產(chǎn)生截面，發(fā)現(xiàn)由于裂變位壘的同位旋依賴性，豐中子核素254-256Cf 的產(chǎn)生截面比249Cf小近三個量級。由于需要逐個事件模擬，QMD類型模型計算重離子碰撞需要大量的模擬事件。為了節(jié)約計算時間，在計算體系的N體波函數(shù)時采用了單個核子波函數(shù)的直積，沒有考慮反對稱性，同時QMD 類型模型也缺失了自旋-軌道相互作用，導(dǎo)致其不能合理地處理殼效應(yīng)，因此也需要發(fā)展自動包括交換反對稱性等量子效應(yīng)的微觀輸運模型。

圖4 DNS模型和ImQMD模型對136Xe+208Pb反應(yīng)的初始碎片質(zhì)量分布計算與實驗值的比較[40]Fig.4 Comparison of the mass distributions calculated by DNS and ImQMD models with the experimental data of reaction 136Xe+208Pb[40]

3 TDHF 類型模型框架下的超重核合成研究

在基于平均場近似的TDHF 模型中，多體波函數(shù)Ψ(r，t)可通過單粒子態(tài)?λ(r，t)的Slater行列式表達為。通過對作用量S求變分求出TDHF方程［42］：

其核子間復(fù)雜的相互作用通過Skyrme 相互作用來描述。TDHF模型的理論框架包含了交換反對稱性和泡利不相容原理等量子屬性，同時其計算不依賴反應(yīng)體系，沒有可調(diào)的參數(shù)，增加了預(yù)測的可信度。在核子轉(zhuǎn)移過程中，首先，由Hartree-Fock 方程求解出基態(tài)波函數(shù)；之后，根據(jù)初始的相對距離和碰撞參數(shù)，對波函數(shù)進行平移，代入TDHF方程中求解出每一時刻的波函數(shù)，由此得到物理量每一時刻的期望值，能夠自洽地描述原子核反應(yīng)的動力學(xué)過程。

通過對TDHF的動力學(xué)演化得到的密度分布做約束，可得到密度約束的TDHF（DC-TDHF）模型，可用來提取重離子反應(yīng)中微觀原子核-原子核相互作用勢，并利用入射波邊界條件（Incoming Wave Boundary Condition，IWBC）方法求解熔合幾率。文獻［43］在DC-TDHF模型框架下探討了Skyrme相互作用中的張量力對熔合反應(yīng)的影響，發(fā)現(xiàn)添加的張量力項抑制了壘下區(qū)域的熔合截面。文獻［44］進一步通過DC-TDHF 模型研究了確認了通過50Ti+249Bk生成Z=119 的復(fù)合核的可行性，如圖5 所示。同時TDHF 模型也能與宏觀模型結(jié)合，給出更加精確的預(yù)測。文獻［45］通過在耦合道模型和核擴散模型中引入TDHF 模型的約束，成功復(fù)現(xiàn)了冷熔合反應(yīng)生成復(fù)合核Z為102、104和106的俘獲和熔合截面。

圖5 TDHF模型計算熔合反應(yīng)50Ti+249Bk的質(zhì)量密度隨時間演化圖像[44]Fig.5 Time evolution of the mass density of fusion reaction50Ti+249Bk within the framework of TDHF model[44]

在多核子轉(zhuǎn)移反應(yīng)中，TDHF 模型通過引入粒子數(shù)投影方法得到產(chǎn)物的產(chǎn)生幾率，并在近年來逐步應(yīng)用到超重區(qū)核素的產(chǎn)生截面計算。文獻［46］在TDHF 框架下發(fā)現(xiàn)238U+124Sn 反應(yīng)中，由于逆向準(zhǔn)裂變過程，124Sn 能夠向238U 轉(zhuǎn)移大量核子從而形成新的超重核素。文獻［47］將考慮漲落效應(yīng)的隨機平均場（Stochastic Mean-field，SMF）模型引入到TDHF模型中計算了238U+238U 的產(chǎn)物質(zhì)量分布，并將進一步引入GEMINI++模型得到最終退激發(fā)的類彈類靶產(chǎn)物。由于TDHF 模型沒有考慮隧穿效應(yīng)，不能夠描述壘下熔合過程，同時平均場近似對所有反應(yīng)道進行了平均處理，導(dǎo)致模型無法給出單個反應(yīng)道的信息，也容易缺失集團效應(yīng)。未來在進一步考慮漲落效應(yīng)和對關(guān)聯(lián)后，該模型將能夠更恰當(dāng)?shù)孛枋鲋仉x子反應(yīng)的動力學(xué)過程。

4 Boltzmann 類型模型框架下的新核素合成研究

TDHF 方程的半經(jīng)典近似是Vlasov 方程。在Boltzmann方程的基礎(chǔ)上，Uehling和Uhlenbeck引入了泡利不相容的碰撞項，結(jié)合Vlasov 方程的漂移項可以得到Boltzmann-Uehling-Uhlenbeck（BUU）方程［48］。在此基礎(chǔ)上，Boltzmann類型模型通過非線性的相對論平均場理論或Skyrme-Hartree-Fock方法得到核子的初始分布，并通過試驗粒子法和網(wǎng)格法進行數(shù)值求解［49］。在添加了不同的物理量和細節(jié)處理后，該模型衍生出了各種改進版本，如添加了同位旋效 應(yīng) 的IBUU 模型［50］、SMF 模 型［51］和Boltzmann-Langevin-Equation（BLE）模 型［52］等，各種 改進 的Boltzmann類型模型在文獻［57］進行了總結(jié)和比較。碎裂反應(yīng)能夠合成輕區(qū)滴線附近核素，對研究原子核狀態(tài)方程有著重要意義［58-59］。盡管Boltzmann 類型模型能夠準(zhǔn)確描述如集體流和粒子出射等單粒子觀測量，但在試驗粒子法的系綜平均中失去了多體關(guān)聯(lián)，導(dǎo)致其無法描述例如多重碎裂的質(zhì)量分布等多體關(guān)聯(lián)可觀測量。因此BLE 模型在碰撞項中引入了漲落項δK，得到了如下的Boltzmann-Langevin方程：

并進一步考慮了泡利阻塞效應(yīng)的同位旋相關(guān)性后演化出了IBLE模型［53-54］，該模型在中高能的碎裂反應(yīng)產(chǎn)生輕區(qū)核素上能夠很好地復(fù)現(xiàn)實驗值。文獻［54］基于IBLE 模型給出了豐質(zhì)子Z=20~25 新核素的產(chǎn)生截面，并考慮將模型發(fā)展到庫侖位壘附近的低能區(qū)來開展超重核合成的理論預(yù)言工作。盡管原則上Boltzmann類型模型能夠從核核相互作用出發(fā)推導(dǎo)出平均場和兩體碰撞，然而過于龐大的計算量導(dǎo)致在實際計算中，Boltzmann類型模型通常使用參數(shù)化的平均場和兩體碰撞，這種不自洽的處理引入了許多可調(diào)參數(shù)，限制了Boltzmann 類型模型的預(yù)測能力，因此，Boltzmann 類型模型也需要將平均場與兩體碰撞統(tǒng)一在相同的核核相互作用中以實現(xiàn)自洽求解。

5 結(jié)語

超重核新核素的合成對于研究超重核素性質(zhì)，檢驗原子核殼模型理論，探索天體物理核合成的r-過程等一系列物理問題都具有重要意義。隨著近幾十年新的反應(yīng)機制的提出以及加速器和探測技術(shù)的進步，人工合成的新超重核素數(shù)量在不斷增長，但目前已有的實驗設(shè)備的束流強度和分離探測手段仍然難以將核素版圖拓展到“超重穩(wěn)定島”，因此需要新一代的大科學(xué)裝置來提高束流強度和探測技術(shù)，同時也需要探索新的反應(yīng)機制。

本文介紹了重離子碰撞輸運理論發(fā)展現(xiàn)狀和進展，以及介紹了實驗上合成超重核素的產(chǎn)生機制和最新研究進展；重點介紹了唯象的輸運模型DNS模型、QMD類型模型、TDHF類型模型和Boltzmann類型模型的物理思想和基本理論，并介紹了基于以上模型合成新的豐中子超重核素的理論進展，重點討論了重離子熔合反應(yīng)和多核子轉(zhuǎn)移反應(yīng)。以DNS模型為例的唯象輸運模型近年來廣泛應(yīng)用于超重核合成反應(yīng)，然而，有限的集體自由度限制了模型對反應(yīng)過程的微觀描述能力。近年來，包括動力學(xué)形變和激發(fā)能對殼效應(yīng)的影響被引入DNS模型，進一步完善了理論框架。半經(jīng)典的QMD 類型和Boltzmann 類型模型也在重離子碰撞中取得了一定的成功，其中ImQMD 模型也能成功應(yīng)用于低能重離子核反應(yīng)，但兩種模型都亟須得到對核核相互作用的統(tǒng)一描述來實現(xiàn)自洽求解。TDHF類型模型近年來結(jié)合密度約束和平均場理論，能夠自洽地描述超重核反應(yīng)的動力學(xué)過程，但平均場近似導(dǎo)致其無法給出單一反應(yīng)道的信息。未來加入對關(guān)聯(lián)和漲落效應(yīng)后，TDHF 類型模型在超重核合成中的應(yīng)用可以得到進一步拓展，也能夠?qū)ζ渌暧^模型加以補充，完善理論預(yù)測。

2022 年，美國的稀有同位素束流裝置FRIB（The Facility for Rare Isotope Beams）已成功出束，并測量了中子數(shù)N=28 附近靠近中子滴線的新核素的半衰期［60］，該裝置能夠加速包括238U 在內(nèi)的重離子束流能量達到200 MeV·u-1，預(yù)期合成1 000 種豐中子新核素［61］。中國惠州的強流重離子加速器HIAF（High Intensity heavy-ion Accelerator Facility）也預(yù)計在2025年投入運行，該裝置能夠提供最強的低能重離子束流來合成新的超重元素［62］，并獨創(chuàng)了應(yīng)用在多核子轉(zhuǎn)移反應(yīng)的豐中子重核分離器。日本RIKEN 的SRILAC（the Superconducting RIKEN Linear Accelerator）在2019 年初步完工，將加速的束流能量從5.5 MeV·u-1提高到6.5 MeV·u-1，產(chǎn)生的高強度51V 束流預(yù)期能夠加快119 號元素的合成進程［8，63］。德國GSI 實驗室的FAIR 和法國的GANILSPIRAL2 在建成后也能夠分別提供1~2 GeV·u-1和14.5 MeV·u-1的重離子束流，俄羅斯Dubna/FLNR實驗室于2018年建成的DC-280回旋加速器束流強度可高達20 μA，能夠?qū)⒊睾说漠a(chǎn)生率提高約兩個數(shù)量級，其下一個研究目標(biāo)就是合成新的超重區(qū)核素［15］。隨著新一代大科學(xué)裝置投入使用，核物理學(xué)家有望在未知的超重核素性質(zhì)和合成機制上取得新的突破，也能夠進一步檢驗和完善現(xiàn)有的輸運模型。

作者貢獻聲明張明昊負責(zé)論文起草，修改的主要工作；張鈺海負責(zé)搜集參考文獻，以及修改論文的部分內(nèi)容；李靜靜負責(zé)修改論文的模型內(nèi)容；唐娜負責(zé)修改論文的部分內(nèi)容；孫帥負責(zé)對平均場部分提出參考意見；張豐收負責(zé)指導(dǎo)論文編寫，審核、把關(guān)論文的科學(xué)性、嚴謹性。