曾 益,潘 伶,尹志強(qiáng),張 俊

(福州大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院,福建 福州 350108)

0 引 言

章動(dòng)式雙圓弧錐齒輪是一種將雙圓弧錐齒輪應(yīng)用在章動(dòng)傳動(dòng)上的新型齒輪,它同時(shí)具備雙圓弧齒廓高承載、易潤(rùn)滑的特性以及章動(dòng)傳動(dòng)結(jié)構(gòu)緊湊和大傳動(dòng)比的優(yōu)點(diǎn),在精密減速器領(lǐng)域擁有廣闊的應(yīng)用前景。

內(nèi)嚙合錐齒輪是章動(dòng)齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的關(guān)鍵部件,其齒輪副的傳動(dòng)性能主要由錐齒輪的齒廓形狀決定[1]。相較于傳統(tǒng)的漸開線齒廓,雙圓弧齒廓采用兩對(duì)凸、凹齒面相嚙合的傳動(dòng)方案,極大提高了齒面的接觸強(qiáng)度,因此受到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。

李進(jìn)寶[2]從共軛齒面形成原理出發(fā),基于加工機(jī)床和刀具參數(shù),推導(dǎo)了雙圓弧弧齒錐齒輪的齒面方程,簡(jiǎn)要分析了嚙合齒面的兩種曲面類型。姚俊紅等人[3]進(jìn)行了雙圓弧弧齒錐齒輪的實(shí)體建模及動(dòng)態(tài)嚙合模擬,分析了不同參數(shù)和誤差對(duì)齒面幾何形態(tài)的影響。LITVIN F L等人[4]對(duì)雙圓弧斜齒輪進(jìn)行了齒面接觸分析(TCA),確定了嚙合齒面上的接觸跡線,并根據(jù)接觸點(diǎn)的曲率參數(shù),得到了接觸橢圓的尺寸和方向。ZHANG Rui-liang等人[5]運(yùn)用TCA方法研究了雙圓弧弧齒錐齒輪的嚙合傳動(dòng)特性,發(fā)現(xiàn)了其理論分析結(jié)果在一定程度上與試驗(yàn)相符。WEN L等人[6]對(duì)9種不同橫向壓力角組合的雙圓弧斜齒輪進(jìn)行了嚙合仿真,有限元結(jié)果表明,最佳壓力角能有效降低齒輪圓角處的最大彎曲應(yīng)力。

上述文獻(xiàn)研究的雙圓弧齒輪傳動(dòng)形式是外嚙合傳動(dòng),該傳動(dòng)方式的應(yīng)用目前已相當(dāng)成熟;但由于復(fù)雜的齒輪空間結(jié)構(gòu)和齒輪副難以展成加工等原因,內(nèi)嚙合傳動(dòng)研究進(jìn)展緩慢。

目前,內(nèi)嚙合傳動(dòng)主要有兩個(gè)研究方向:1)雙圓弧諧波齒輪傳動(dòng);2)雙圓弧錐齒輪章動(dòng)傳動(dòng)。前者聚焦于公切線式雙圓弧齒廓參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì),促使諧波齒輪獲得更好的嚙合性能[7,8];后者采用標(biāo)準(zhǔn)分階式雙圓弧齒形作為錐齒輪的基本齒廓,在三維精確建模、有限元仿真和樣機(jī)試驗(yàn)方面取得了一定的進(jìn)展[1,9,10]。

需要指出的是,盡管筆者課題組前期已采用有限元法得到了章動(dòng)式雙圓弧錐齒輪的齒面接觸區(qū)分布,但缺乏理論計(jì)算角度的分析,因此,還需要對(duì)齒面接觸點(diǎn)的曲率參數(shù)進(jìn)行系統(tǒng)推導(dǎo)。

而誘導(dǎo)法曲率、相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度和滑滾比是評(píng)價(jià)齒輪傳動(dòng)性能的重要指標(biāo),同時(shí)也是齒輪彈流潤(rùn)滑分析和齒面磨損研究中的重要影響因素;這些參數(shù)無(wú)法采用有限元法獲得,因此,有必要從理論層面對(duì)章動(dòng)式雙圓弧錐齒輪在嚙合過(guò)程中的曲率變化和運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行深入研究。

筆者擬在通用齒面數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上,開展內(nèi)嚙合雙圓弧螺旋錐齒輪章動(dòng)傳動(dòng)齒面接觸分析(TCA),研究其在無(wú)安裝誤差下的接觸軌跡;根據(jù)微分幾何理論,分析各接觸點(diǎn)處曲率的變化趨勢(shì)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)情況;最后分析齒面接觸區(qū)域,以期為后續(xù)研究奠定基礎(chǔ)。

1 齒面數(shù)學(xué)模型的建立

筆者課題組前期已經(jīng)成功建立章動(dòng)內(nèi)、外錐齒輪的通用齒面參數(shù)模型[11]。

其主要建模思想為:根據(jù)共軛齒廓互為包絡(luò)線的原理,可以由一個(gè)假想的冕齒輪得到內(nèi)、外錐齒輪齒面;可將標(biāo)準(zhǔn)雙圓弧齒形沿實(shí)際齒向線掃掠,生成冕齒輪的基本齒廓曲面。

GB/T 12759—1991標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的基本齒形,標(biāo)準(zhǔn)雙圓弧齒形,如圖1所示。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)雙圓弧齒形

標(biāo)準(zhǔn)雙圓弧齒形分別由凸圓弧、過(guò)渡圓弧、凹圓弧和齒根圓弧組成。為明晰各段圓弧的位置關(guān)系,筆者在圖1中建立直角坐標(biāo)系Sk(OkXkYkZk)。

在該直角坐標(biāo)系中,Xk軸位于齒厚的對(duì)稱線上,Yk軸位于齒形的節(jié)線上,則第j(1～8)段圓弧上任意點(diǎn)n的坐標(biāo)在坐標(biāo)系Sk中可表示為:

(1)

式中:(ej,fj)為第j段圓弧的圓心坐標(biāo);ρj為第j段圓弧的圓弧半徑;αjn為第j段圓弧上點(diǎn)n的向徑同Yk軸正向的夾角(定義逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?。

筆者選用對(duì)數(shù)螺旋線作為冕齒輪的公稱齒向線,可保證線上各點(diǎn)的螺旋角β不變。在此基礎(chǔ)上,為使齒廓符合等強(qiáng)度原則,筆者需調(diào)整公稱齒向線,以獲得實(shí)際齒向線。

齒向線調(diào)整示意圖如圖2所示。

圖2 齒向線調(diào)整示意圖

圖2中,l1為公稱齒向線,可用極坐標(biāo)方程ρ(θ)=eθcotβ來(lái)描述;l2和l3分別為調(diào)整后的左、右實(shí)際齒向線。

齒向線在冕齒輪節(jié)錐面坐標(biāo)系Sc(OcXcYcZc)中可表示為:

(2)

式中:?為-代表左齒廓,+代表右齒廓;su為齒厚(槽)寬,u=1表示凸圓弧齒厚寬,u=2表示凹圓弧齒槽寬;Δθe為調(diào)整過(guò)程中的轉(zhuǎn)角。

筆者將雙圓弧齒形分別沿左、右實(shí)際齒向線掃掠,即可得到冕齒輪在坐標(biāo)系Sc中的齒面方程:

(3)

筆者建立內(nèi)錐齒輪、外錐齒輪和冕齒輪的嚙合坐標(biāo)系,利用空間嚙合原理對(duì)冕齒輪齒面方程進(jìn)行坐標(biāo)變換,推導(dǎo)出內(nèi)、外錐齒輪的曲面族參數(shù)方程:

(4)

式(4)中的曲面族方程rpi由齒向線參數(shù)θi、齒形參數(shù)αijn和冕齒輪嚙合轉(zhuǎn)角參數(shù)φc共同確定。

根據(jù)齒輪嚙合原理,內(nèi)、外錐齒輪的齒面參數(shù)方程還需滿足如下嚙合方程:

nc·vci=0

(5)

式中:nc為冕齒輪齒面的單位法矢;vci為冕齒輪與錐齒輪在嚙合點(diǎn)的相對(duì)速度矢量。

整理式(5)后,可得到參數(shù)φc(θi,αijn)的表達(dá)式。

至此,內(nèi)、外錐齒輪齒面方程經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化,由雙參數(shù)θi和αijn統(tǒng)一表示如下:

(6)

2 章動(dòng)式雙圓弧螺旋錐齒輪TCA

螺旋錐齒輪齒面屬于點(diǎn)接觸共軛曲面,在無(wú)載或輕載情況下,相互嚙合的齒面間理論上只形成一個(gè)瞬時(shí)接觸點(diǎn)。隨著傳動(dòng)的進(jìn)行,各瞬時(shí)接觸點(diǎn)的軌跡構(gòu)成一條接觸跡線。雙圓弧齒廓同一輪齒側(cè)面在嚙合過(guò)程中會(huì)出現(xiàn)雙點(diǎn)接觸,因此,存在上、下兩條接觸跡線。

筆者采用TCA方法來(lái)確定這兩條接觸跡線。

章動(dòng)齒輪傳動(dòng)本質(zhì)上是一種錐齒輪少齒差行星傳動(dòng),常見的單級(jí)錐齒輪章動(dòng)傳動(dòng)往往由固定的內(nèi)錐齒輪和同時(shí)作自轉(zhuǎn)與擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)的外錐齒輪組成。因此,在進(jìn)行TCA前,筆者需根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)原理將周轉(zhuǎn)輪系轉(zhuǎn)化為定軸輪系,此時(shí)可認(rèn)為內(nèi)、外錐齒輪只繞自身軸線轉(zhuǎn)動(dòng)。

根據(jù)這一原理,筆者建立內(nèi)、外錐齒輪章動(dòng)傳動(dòng)嚙合坐標(biāo)系,如圖3所示。

圖3 章動(dòng)齒輪傳動(dòng)嚙合坐標(biāo)系

在不考慮裝配誤差的情況下,筆者分別引入內(nèi)、外錐齒輪的固定坐標(biāo)系St(OtXtYtZt)和Sg(OgXgYgZg),用以描述兩者的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系。其中,旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系S2和S1仍固連在對(duì)應(yīng)齒輪上,各坐標(biāo)原點(diǎn)與節(jié)錐頂點(diǎn)重合。嚙合過(guò)程中,外錐齒輪從起始位置Sg繞Z1軸旋轉(zhuǎn)φ1角度到達(dá)S1,內(nèi)錐齒輪從起始位置St繞Z2軸旋轉(zhuǎn)φ2角度到達(dá)S2。

假設(shè)St為全局固定坐標(biāo)系,則此時(shí)內(nèi)、外錐齒輪齒面接觸點(diǎn)的徑矢和單位法矢在St坐標(biāo)系中表示如下:

(7)

其中,

(8)

(9)

(10)

(11)

式中:ni為錐齒輪齒面單位法矢,對(duì)于凸齒面,其方向是由空域指向?qū)嶓w,對(duì)于凹齒面則相反。

嚙合過(guò)程中的齒輪副要想連續(xù)相切接觸,必須滿足一個(gè)條件,即在某一固定坐標(biāo)系下,兩齒面瞬時(shí)公共接觸點(diǎn)處的位置徑矢rt和單位法矢nt相等[12],即:

(12)

在理論上,所有接觸點(diǎn)中存在一個(gè)計(jì)算初始點(diǎn),使得齒輪副在該點(diǎn)處滿足瞬時(shí)傳動(dòng)比等于理論傳動(dòng)比,通常該點(diǎn)位于嚙合齒面的中點(diǎn)附近。因此,首先要根據(jù)齒面旋轉(zhuǎn)投影關(guān)系構(gòu)造非線性方程組,求解得到外錐齒輪初始點(diǎn)的齒面參數(shù)θ1和α1jn,進(jìn)而利用傳動(dòng)比關(guān)系以及式(12),確定剩余的4個(gè)參數(shù)。

以其中的內(nèi)錐齒面參數(shù)φ2作為已知輸入量,方程組在每次迭代前,需要通過(guò)給定步長(zhǎng)Δφ2對(duì)φ2值進(jìn)行改變,將新的φ2代入式(12),去計(jì)算其余5個(gè)參數(shù)的一系列解,直到接觸點(diǎn)超出齒面邊界時(shí),迭代停止。

3 齒面接觸點(diǎn)曲率及運(yùn)動(dòng)參數(shù)計(jì)算

嚙合齒輪副共軛齒面之間的曲率和相對(duì)運(yùn)動(dòng)直接影響著齒面的接觸區(qū)尺寸、摩擦學(xué)性能和接觸強(qiáng)度。因此,筆者根據(jù)已推導(dǎo)的齒面方程和求解得到的接觸點(diǎn)參數(shù),采用微分幾何,詳細(xì)推導(dǎo)接觸點(diǎn)處各類曲率參數(shù)和運(yùn)動(dòng)參數(shù)表達(dá)式。

3.1 齒面曲率計(jì)算

由梅尼埃(Meusnier)定理可知,齒面上一點(diǎn)沿任意方向的法曲率可表示為:

(13)

式中:E,F,G為曲面第一基本齊式系數(shù);L,M,N為曲面第二基本齊式系數(shù)。

第一、第二基本齊式系數(shù)可表示為:

(14)

法曲率反映了曲面定點(diǎn)在不同方向上的彎曲程度,當(dāng)定點(diǎn)參數(shù)確定時(shí),法曲率只與選擇的切線方向有關(guān)。所有切線方向中存在一對(duì)互相垂直的主方向,使得對(duì)應(yīng)主曲率為法曲率中的最大值和最小值。

筆者引入λ=dαijn/dθi表征切線方向,令dk/dλ=0,可得主方向和主曲率的計(jì)算公式[13]為:

(15)

需要說(shuō)明的是,計(jì)算得到的主方向1和主方向2實(shí)際上與齒廓方向和齒線方向區(qū)別不大,因此,筆者在以下的分析中將采用后者進(jìn)行表述。

實(shí)際嚙合接觸的齒輪副表面由于受到工作載荷影響會(huì)產(chǎn)生彈性變形,形成以接觸點(diǎn)為中心的接觸橢圓,其長(zhǎng)軸方向?yàn)檎T導(dǎo)法曲率絕對(duì)值最小的方向,短軸方向?yàn)檎T導(dǎo)法曲率絕對(duì)值最大的方向。

接觸橢圓和主方向的位置關(guān)系如圖4所示。

圖4 瞬時(shí)接觸橢圓和主方向

圖4中,齒輪副在接觸點(diǎn)M處具有共同的法矢n和切平面∑,主方向和橢圓長(zhǎng)短軸方向的位置關(guān)系由夾角σ和γ確定。

(16)

而短軸η方向的誘導(dǎo)法曲率為該方向的法曲率之差,可表示為:

(17)

式中:

(18)

根據(jù)定義,長(zhǎng)短軸方向的誘導(dǎo)法曲率為極值,故令dkη/dσ=0,即可求出σ:

(19)

同理,可得長(zhǎng)軸ζ方向的誘導(dǎo)法曲率Δkζ。

筆者根據(jù)Hertz彈性接觸理論,采用下式計(jì)算瞬時(shí)接觸橢圓的長(zhǎng)短半軸a和b,即:

(20)

式中:w為載荷;E為當(dāng)量彈性模量;δa,δb為計(jì)算參數(shù),具體取值參照文獻(xiàn)[14]。

其中:A=(Δkη+Δkζ)/2。

上述所求的長(zhǎng)短半軸a和b都是在公共切平面內(nèi)的,還需將其投影到齒輪的軸截面,以便在齒面坐標(biāo)系中進(jìn)行表示[15]。

3.2 齒輪副運(yùn)動(dòng)參數(shù)計(jì)算

(21)

(22)

其中,長(zhǎng)、短半軸方向的單位矢量ζ、η可根據(jù)圖4得到,即:

(23)

各運(yùn)動(dòng)速度關(guān)系如圖5所示。

可得到接觸點(diǎn)處卷吸速度Ue和相對(duì)滑動(dòng)速度Us的矢量表達(dá)式:

(24)

速度矢量與橢圓長(zhǎng)軸之間的夾角θe和θs為:

(25)

進(jìn)而得到滑滾比S的計(jì)算公式為:

(26)

4 算例與分析

齒輪副的基本設(shè)計(jì)參數(shù)如表1所示。

表1 齒輪副基本參數(shù)

其設(shè)計(jì)參考值滿足輸出扭矩M=100 N·m,輸入轉(zhuǎn)速為1 000 r/min～1 500 r/min。

章動(dòng)式雙圓弧螺旋錐齒輪的實(shí)體樣機(jī)如圖6所示。

圖6 章動(dòng)式雙圓弧螺旋錐齒輪樣機(jī)

左、右實(shí)際齒向線并不相同,因此輪齒左、右側(cè)齒面的空間曲面結(jié)構(gòu)存在一定差異。筆者利用MATLAB軟件對(duì)上述理論計(jì)算進(jìn)行編程求解,因篇幅所限,僅就外錐輪齒右側(cè)齒面與內(nèi)錐輪齒左側(cè)齒面嚙合的計(jì)算結(jié)果展開分析。

4.1 齒輪接觸特性分析

外錐輪齒右側(cè)齒面瞬時(shí)接觸點(diǎn)的分布情況如圖7所示。

圖7 外錐齒輪齒面瞬時(shí)接觸點(diǎn)軌跡

在齒輪傳動(dòng)中,由于凸、凹齒面先后參與嚙合接觸,均勻選取各自齒面上的17個(gè)接觸點(diǎn),即構(gòu)成圖7上、下兩條接觸跡線。同齒面的接觸點(diǎn)都是沿著齒寬方向由一端向另一端移動(dòng),且嚙入點(diǎn)與嚙出點(diǎn)在齒高方向的偏移量較小,基本處在計(jì)算初始點(diǎn)所確定的齒寬線上。

此外,凸、凹齒面接觸點(diǎn)對(duì)應(yīng)的壓力角分別為23.0±0.02°和24.9±0.05°,同理論壓力角24.0°接近,表明齒輪副在傳動(dòng)過(guò)程中具有良好的接觸狀態(tài)。

由于筆者采用標(biāo)準(zhǔn)雙圓弧齒形作為錐齒輪的基本齒廓,當(dāng)模數(shù)一定時(shí),齒形的其他參數(shù)也被確定下來(lái)。而不同的模數(shù)下齒形尺寸的差別較大,無(wú)法放在統(tǒng)一的尺度下進(jìn)行比較,因此,筆者針對(duì)描述齒向線的螺旋角參數(shù)進(jìn)行影響因素分析。

不同螺旋角對(duì)接觸跡線的影響如圖8所示。

圖8 不同螺旋角下的接觸跡線

由圖8可以看到:當(dāng)螺旋角低于設(shè)計(jì)值25.0°時(shí),接觸跡線兩端的齒高偏移量明顯增大,即接觸跡線出現(xiàn)不同程度的傾斜,使得接觸區(qū)呈現(xiàn)一定的對(duì)角接觸,影響了齒輪的嚙合性能,且凸齒面接觸跡線受螺旋角變化的影響更大。因此,在設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)盡量避免該情況的發(fā)生。

外凸內(nèi)凹嚙合齒面接觸點(diǎn)主曲率如圖9所示。

圖9 外凸內(nèi)凹嚙合齒面接觸點(diǎn)主曲率

外凹內(nèi)凸嚙合齒面接觸點(diǎn)主曲率如圖10所示。

圖10 外凹內(nèi)凸嚙合齒面接觸點(diǎn)主曲率

在數(shù)值上,齒線方向?qū)?yīng)的主曲率是所有法曲率中的極小值,齒廓方向主曲率為極大值。

橢圓拋物面如圖11所示。

圖11 嚙合齒面曲面類型

圖10中,齒線方向主曲率計(jì)算值為負(fù)值,齒廓方向主曲率為正值,而此處的嚙合齒面類型為圖11所示的雙曲拋物面。

在上述接觸情形下,橢圓長(zhǎng)、短軸方向誘導(dǎo)法曲率如圖12所示。

圖12 長(zhǎng)、短軸誘導(dǎo)法曲率

從圖12(a)可知:整個(gè)嚙合過(guò)程中,長(zhǎng)、短軸誘導(dǎo)法曲率皆為負(fù)值,即在嚙合點(diǎn)的任意方向上,都存在對(duì)應(yīng)的內(nèi)錐凹面法曲率小于外錐凸面法曲率。根據(jù)文獻(xiàn)[16]所述的檢驗(yàn)方法,不難判斷出嚙合齒面在所有接觸點(diǎn)處都不會(huì)出現(xiàn)曲率干涉現(xiàn)象;

圖12(b)中,長(zhǎng)、短軸方向的誘導(dǎo)法曲率均為正值,這是因?yàn)橥獍純?nèi)凸嚙合齒面與外凸內(nèi)凹嚙合齒面相反,其公法矢量n方向是由實(shí)體指向空域。文獻(xiàn)[17]指出,此時(shí)齒面不發(fā)生曲率干涉的條件為任意方向的誘導(dǎo)法曲率都是正值,即它的兩個(gè)最值也是正值,與筆者的計(jì)算結(jié)果相符,說(shuō)明外凹內(nèi)凸齒面嚙合亦不出現(xiàn)曲率干涉現(xiàn)象。

另一方面,誘導(dǎo)法曲率常被用來(lái)表征齒面的接觸強(qiáng)度,其絕對(duì)值越小,說(shuō)明齒輪傳動(dòng)副的抗彎曲能力越強(qiáng)、抗點(diǎn)蝕強(qiáng)度越高。圖12中,長(zhǎng)軸方向誘導(dǎo)法曲率基本接近于0,短軸方向誘導(dǎo)法曲率也處于較低水平,且整體變化連續(xù)、平緩,證明章動(dòng)式雙圓弧螺旋錐齒輪具有高承載和傳動(dòng)平穩(wěn)的優(yōu)點(diǎn)。

4.2 齒輪運(yùn)動(dòng)特性分析

在不失一般性的前提下,為了研究嚙合齒面間卷吸速度和相對(duì)滑動(dòng)速度的變化規(guī)律,筆者給定外錐齒輪輸入轉(zhuǎn)速為1 024 r/min,得到外凸內(nèi)凹嚙合齒面運(yùn)動(dòng)狀態(tài),如圖13所示。

圖13 外凸內(nèi)凹嚙合齒面運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

外凹內(nèi)凸嚙合齒面運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如圖14所示。

從齒輪小端到齒輪大端,嚙合點(diǎn)的卷吸速度值較大而相對(duì)滑動(dòng)速度值很小,兩者的變化幅度不明顯,這有利于形成流體動(dòng)壓潤(rùn)滑,并減小磨損。

另外,卷吸速度矢量與橢圓長(zhǎng)軸正向之間存在一定的夾角,相對(duì)滑動(dòng)速度矢量則與橢圓短軸方向接近。文獻(xiàn)[18]表明,隨著卷吸速度與橢圓長(zhǎng)軸夾角的增大,中心油膜厚度和最小油膜厚度都將增大。因此,外凸內(nèi)凹嚙合齒面的潤(rùn)滑性能要優(yōu)于外凹內(nèi)凸嚙合齒面。

齒輪副在接觸點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)特性如圖15所示。

無(wú)論是外凸內(nèi)凹嚙合還是外凹內(nèi)凸嚙合,整個(gè)傳動(dòng)過(guò)程中,齒面滑滾比的值趨于0,且變化緩慢,這表明章動(dòng)式雙圓弧螺旋錐齒輪在工作時(shí)接近于純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng),即由相對(duì)滑動(dòng)引起的齒面磨損很小,且相對(duì)均勻;

另一方面,隨著螺旋角的增大,外凹內(nèi)凸嚙合的齒面滑滾比逐漸減小,而外凸內(nèi)凹嚙合的齒面滑滾比在設(shè)計(jì)值25.0°時(shí)最小。在相同螺旋角下,外凸內(nèi)凹嚙合的齒面滑滾比始終要小于外凹內(nèi)凸嚙合,表明外凹內(nèi)凸嚙合齒面的傳動(dòng)質(zhì)量更好。

4.3 齒面接觸區(qū)域確定

均布載荷作用下得到的齒面接觸區(qū)域如圖16所示。

圖16中,各點(diǎn)所受載荷w皆為2 000 N,當(dāng)量彈性模量E取2.1×1011Pa。

由圖16可知:線框所圍成的長(zhǎng)條矩形區(qū)域即為雙圓弧螺旋錐齒輪章動(dòng)傳動(dòng)齒面接觸區(qū),由一系列以理論接觸點(diǎn)為中心的瞬時(shí)接觸橢圓共同形成,同齒面各處橢圓長(zhǎng)、短軸在大小和方向基本保持一致;其中,凸、凹齒面接觸橢圓的長(zhǎng)軸大小分別為8.4 mm和7.2 mm,偏離齒寬方向約-1.08°和2.32°;短軸大小分別為0.72 mm和0.79 mm,偏離齒高方向約10.06°和12.26°。

因此,矩形接觸區(qū)長(zhǎng)度取決于齒寬尺寸,寬度則主要取決于橢圓短軸的大小[19]。

負(fù)載扭矩M=50 N·m工況下,齒面接觸應(yīng)力的有限元結(jié)果如圖17所示。

圖17 外錐輪齒有限元接觸應(yīng)力分布

圖17表明:在一個(gè)嚙合周期內(nèi),單側(cè)輪齒齒面將經(jīng)歷從單點(diǎn)接觸到雙點(diǎn)接觸的相互轉(zhuǎn)換,從而形成兩處接觸區(qū)域;

接觸橢圓均沿著齒寬方向由一端向另一端移動(dòng),盡管橢圓接觸區(qū)域的大小隨著載荷變化而改變,但方向始終近似平行于齒寬,且仍位于凸、凹齒面的中部,這與數(shù)值計(jì)算結(jié)果十分吻合。

5 結(jié)束語(yǔ)

筆者認(rèn)為明晰齒輪副嚙合過(guò)程中的曲率變化和運(yùn)動(dòng)情況是進(jìn)行齒輪彈流潤(rùn)滑分析和齒面磨損研究的前提。因此,鑒于有限元法的局限性,筆者采用理論模型分別對(duì)章動(dòng)式雙圓弧錐齒輪兩工作齒面開展了曲率和運(yùn)動(dòng)特性研究,得到的結(jié)論如下:

1)誘導(dǎo)法曲率在橢圓長(zhǎng)軸方向接近于0,在橢圓短軸方向較小,表明齒輪副具有較高的承載能力和接觸強(qiáng)度;兩嚙合區(qū)域皆不產(chǎn)生曲率干涉現(xiàn)象;

2)各接觸位置的卷吸速度遠(yuǎn)大于相對(duì)滑動(dòng)速度,有利于形成油膜;兩嚙合區(qū)域的滑滾比趨近0,表明齒輪的傳動(dòng)過(guò)程近似為純滾動(dòng)狀態(tài),磨損較小;外凸內(nèi)凹嚙合的潤(rùn)滑性能和總體傳動(dòng)質(zhì)量要優(yōu)于外凹內(nèi)凸嚙合;

3)齒面接觸點(diǎn)分布在凸、凹齒面中部,并沿齒寬方向移動(dòng),接觸橢圓始終近似平行于齒寬,有限元結(jié)果與理論計(jì)算一致;

4)螺旋角對(duì)齒面接觸點(diǎn)的分布以及齒面滑滾比存在一定的影響,故在選取螺旋角時(shí),其值應(yīng)不低于25.0°。

今后,筆者將進(jìn)一步考慮包含安裝誤差在內(nèi)的理論接觸模型,探討更多參數(shù)對(duì)齒面接觸結(jié)果的影響。