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        2019年高考數(shù)學浙江卷壓軸題的自然解法

        2023-08-30 07:14:58甘志國
        數(shù)理化解題研究 2023年22期
        關鍵詞:恒等式元法壓軸

        甘志國

        (北京豐臺二中,北京 100071)

        文章針對2019年高考數(shù)學浙江卷第22題壓軸題給出多種自然解法.

        注:e=2.718 28…為自然對數(shù)的底數(shù).

        分析在第(1)問中,參數(shù)a變成了常數(shù)-3/4,因而難度不大,只是在根式求導、恒等變形上有些計算量.

        可嘗試著用減元法來證明這個二元條件不等式成立.

        故h(t)單調(diào)遞增.

        4tlnt+t2+1≤0

        下面用四種方法證明該結(jié)論成立.

        進而可得

        下證當00.

        再由恒等式4x3+8x2+5x-1=(2x+1)(2x2+3x-1)+4x,可得欲證結(jié)論成立.

        再證當x>1時,φ′(x)<0,即證

        4x4+4x3-3x2-6x+1<0,

        即證(x-1)(4x3+8x2+5x-1)<0,

        即證4x3+8x2+4x+(x-1)>0.

        進而可得欲證結(jié)論成立.

        所以φ(x)在(0,1),(1,+∞)上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減.再由φ(1)=0,可得不等式②成立.

        再由恒等式8t4-8t3+9t2-4t+4=2t2[(2t-1)2+3]+(t-2)2,可得ρ′(x)<0,ρ(x)單調(diào)遞減.又由ρ(1)=0,可得φ(x)在(0,1),(1+∞)上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減.再由φ(1)=0,可得不等式②成立.

        解法3在不等式②中可設x=t4(x>0),得

        因而不等式②成立.

        所以r(x)單調(diào)遞增,得

        小結(jié)在高考導數(shù)題中,求參數(shù)取值范圍時,常常用特殊值試探出一個必要條件(即得到參數(shù)的一個取值范圍;對于難一點的問題,有時要多取幾次特殊值,得到參數(shù)的最小取值范圍,即求交集),再想辦法證明該必要條件也是充分條件(往往是要證明一個條件不等式成立).如果是多元不等式,往往需要減元,減元的方法有主元法、均值不等式法、分類討論法、換元法(有時用三角換元法還可把無理式化成有理式)等.

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