李新國 _ 北京市鐵路第二中學(xué)

案例分享

教學(xué)目標(biāo)

結(jié)合正方體截面設(shè)計(jì)的一系列問題，引導(dǎo)學(xué)生完成探究、發(fā)現(xiàn)、證明新問題的過程，積累數(shù)學(xué)探究的經(jīng)驗(yàn)。

教學(xué)情境

用一個平面截正方體，思考截面的形狀將會是什么樣的。學(xué)生自主或在教師引導(dǎo)下提出問題，解決問題，培養(yǎng)深刻思考的能力。

教學(xué)過程

1.知識準(zhǔn)備

復(fù)習(xí)相關(guān)概念：截面、截面的邊、平面與平面平行的性質(zhì)定理、等角定理等。

問題：用一個平面去截一個正方體，會得到什么形狀的截面圖形？

分析：如果構(gòu)成多邊形，平面與正方體最少有3條交線，最多有6條交線，所以，截面圖形可以是三角形、四邊形、五邊形和六邊形。

設(shè)計(jì)意圖：為后面邏輯推理作鋪墊。

2.教學(xué)過程

【探究1】若截面圖形是三角形，可以截出幾類不同的三角形？為什么？

分析：如圖1所示，可以是等邊三角形，也可以是非等邊的等腰三角形，不可以是直角三角形和鈍角三角形。直角三角形不成立的證明，可以使用反證法，利用線面垂直推導(dǎo)出矛盾，也可以使用余弦定理證明截面三角形只能是銳角三角形。

圖1

【探究2】

問題1：截面圖形是否可以是平行四邊形？若成立，可以截出幾類不同的平行四邊形？

分析：如圖2所示，可以截出正方形、矩形、菱形和一般的平行四邊形。

圖2

問題2：截面圖形是否可以是梯形？若成立，可以截出幾類不同的的梯形？

分析：截面圖形可以是一般的梯形，可以是等腰梯形（如圖3所示），但不能是直角梯形，證明方法類似截面不能是直角三角形。

圖3

問題3：截面圖形是否可以是一般的四邊形？

分析：不可以，由于正方體六個面中，上下、左右、前后兩個面互相平行，若一個平面與四個面相交，至少與其中一對平行平面相交，則至少有一組對邊平行，所以只能得到梯形和平行四邊形。

設(shè)計(jì)意圖：先從簡單的四邊形入手，從易到難，從特殊到一般，學(xué)生容易理解，然后再理性思考截面四邊形為什么一定是平行四邊形和梯形。

【探究3】若截面圖形是五邊形，則五邊形的邊、角之間有什么特征？

分析：若截面圖形是五邊形，需要和正方體的五個面相交，其中一定和上下、左右、前后中的兩對平行，平面相交，所以，得到的五邊形有兩組對邊平行，根據(jù)等角定理得到兩個角相等（如圖4所示），不能是正五邊形。

圖4

【探究4】若截面圖形是六邊形，則六邊形的邊、角之間有什么特征？

分析：類比探究3可知，截面六邊形有三組對邊平行，三對角相等，可以是正六邊形（如圖5所示）。

圖5

設(shè)計(jì)意圖：由于有截面是四邊形的研究過程作鋪墊，比較容易過渡到五邊形和六邊形截面問題，引導(dǎo)學(xué)生利用兩個平面的交線準(zhǔn)確作圖，畫出五邊形和六邊形。

3.拓展探究

【探究5】若與正方體對角線垂直的平面截正方體，截面面積最大的圖形是什么圖形？為什么？

設(shè)計(jì)意圖：截面面積最大的圖形是類似圖5的正六邊形。探究5是一個綜合性較強(qiáng)的問題，若學(xué)生認(rèn)知水平比較高，可以在前4個探究問題的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深入；若學(xué)生接受起來比較困難，可以將該問題放置在以后的教學(xué)中再進(jìn)行探究。

教學(xué)反思

1.教學(xué)中要幫助學(xué)生建立直觀想象

可以利用幾何畫板、玲瓏3D幾何、GeoGebra等軟件，做好動態(tài)演示的課件，作為輔助學(xué)生理解的材料，讓學(xué)生通過信息技術(shù)軟件進(jìn)一步直觀理解正方體的截面形狀。

2.要由直觀想象過渡到邏輯推理

觀察不能代替嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，探究的難點(diǎn)是分類找出所有可能的截面，并證明哪些形狀的截面一定存在或一定不存在，此時需要用學(xué)過的數(shù)學(xué)理論知識進(jìn)行證明。在研究中，鼓勵學(xué)生通過操作觀察形成猜想，然后給出證明結(jié)論，完成從感性認(rèn)知到理性思考的過程，對前面所學(xué)的空間中平行和垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)有進(jìn)一步認(rèn)識。

3.問題的設(shè)置要循序漸進(jìn)、因材施教

在教學(xué)前要復(fù)習(xí)回顧之前學(xué)過的知識，在探究的過程中遵循先易后難、由特殊到一般的順序。正方體的截面問題可以引申出很多問題，這是一個跨度很大的系列問題，在教學(xué)過程中，要針對學(xué)生的情況選擇適合學(xué)生認(rèn)知水平的內(nèi)容。

聞巖老師點(diǎn)評

高中數(shù)學(xué)必修部分立體幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)，重點(diǎn)是對空間圖形性質(zhì)的研究，通過直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計(jì)算，可以實(shí)現(xiàn)由表及里、從定性到定量的認(rèn)識，使學(xué)生逐步建立空間觀念。其中，作圖是立體幾何學(xué)習(xí)中培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)的重要契機(jī)。立體幾何教學(xué)要求學(xué)生“認(rèn)真讀題，根據(jù)題意先作出直觀圖”，并且要把圖畫得盡量準(zhǔn)確，以利于看出，進(jìn)而理性分析、論證各種關(guān)系。這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)借助解決正方體截面問題，開展問題探究活動，學(xué)生可以直接進(jìn)行抽象研究，也可以借助技術(shù)演示進(jìn)行直觀觀察、理性分析，但都需要學(xué)生認(rèn)真作圖，完成“在研究問題的過程中，要給出合理的作圖；并結(jié)合幾何圖形，對結(jié)論給出合理解釋”的任務(wù)。

本節(jié)課研究的內(nèi)容不是一個題的解法，而是對一個“數(shù)學(xué)問題”的研究，這在數(shù)學(xué)教學(xué)中意義重大。立體幾何往往要研究某一類幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征，一般情況下，要通過對具體實(shí)例的組成元素及其相互關(guān)系的觀察、分析，歸納出共性，再概括到一般，形成一類幾何圖形的定義，在此基礎(chǔ)上給出“三種語言”進(jìn)行表示，并從“特殊的組成元素”“特殊的位置關(guān)系”入手，對這類幾何圖形進(jìn)行更細(xì)致的分類。本節(jié)課中正方體截面的研究過程就體現(xiàn)了立體幾何中數(shù)學(xué)問題的一般性的研究規(guī)律。

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容也非常適合改寫成學(xué)習(xí)資源，供學(xué)生在單元學(xué)習(xí)時使用。