陳麗娟，李明珠，馬鴻洋

（青島理工大學(xué) 理學(xué)院，青島 266520）

數(shù)值分析，又稱計(jì)算方法，是一門與計(jì)算機(jī)使用密切結(jié)合的實(shí)用性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)課程，也是科學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)。它以各類數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解法作為研究對(duì)象，并結(jié)合現(xiàn)代計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)為解決科學(xué)與工程中遇到的各類數(shù)學(xué)問題提供基本的算法，能夠把數(shù)學(xué)的計(jì)算思想運(yùn)用到自己的領(lǐng)域中去。

課程目標(biāo)如圖1 所示。

圖1 數(shù)值分析課程目標(biāo)

一 課程存在的主要問題

（一）課程知識(shí)抽象，較難理解，理論落地難

數(shù)值分析課程既有純數(shù)學(xué)高度抽象性與嚴(yán)密科學(xué)性的特點(diǎn)，又有應(yīng)用的廣泛性與實(shí)際實(shí)驗(yàn)的高度技術(shù)性的特點(diǎn)。偏理論分析，相對(duì)枯燥乏味。如何讓學(xué)生知其然更要知其所以然，增加學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和應(yīng)用。

（二）重視數(shù)值模擬，忽略探索研究

由于學(xué)生教學(xué)軟件運(yùn)用能力的限制和實(shí)踐性教學(xué)內(nèi)容匱乏，學(xué)生最多利用已有的Matlab 軟件模擬一下數(shù)值計(jì)算案例，但學(xué)生很少有機(jī)會(huì)運(yùn)用數(shù)值算法來解決其他的實(shí)際問題。

（三）學(xué)生課程參與度不高，“教”所占比例仍較大

傳統(tǒng)課堂教學(xué)活動(dòng)以教師為中心，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)公式和定理的推導(dǎo)，學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不足。如何在現(xiàn)有的教學(xué)資源下，以學(xué)生為中心，把傳統(tǒng)教學(xué)與信息化教學(xué)深度融合，優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，“學(xué)”所占比例增加。

（四）學(xué)生個(gè)性化學(xué)習(xí)的需要不能同時(shí)滿足，挑戰(zhàn)度不足

學(xué)生整體“吃不飽”和“吃不了”的現(xiàn)象同時(shí)存在，課程重結(jié)果、輕過程。如何增加過程考核，多元性的評(píng)價(jià)體系，提升學(xué)生實(shí)踐創(chuàng)新能力，提高課程的高階性、創(chuàng)新性、挑戰(zhàn)度。

針對(duì)以上問題，深化數(shù)值分析教學(xué)改革，實(shí)現(xiàn)“課堂活起來，學(xué)生忙起來，教學(xué)嚴(yán)起來”。

二 課程教學(xué)的創(chuàng)新思路及舉措

（一）革新教學(xué)理念，創(chuàng)新教學(xué)內(nèi)容，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，提升知識(shí)理解與應(yīng)用

1）理論聯(lián)系生活，讓數(shù)學(xué)貼近生活，開展基于數(shù)學(xué)建模的PBL 教學(xué)模式。結(jié)合專業(yè)目標(biāo)人才培養(yǎng)需求，構(gòu)建數(shù)值分析課程和數(shù)學(xué)建模案例教學(xué)互融共促的PBL教學(xué)模式。把“學(xué)科導(dǎo)向”變?yōu)椤皢栴}導(dǎo)向”，開展“問題驅(qū)動(dòng)-教師授課-自主學(xué)習(xí)-討論探究”的課程教學(xué)模式，這使得知識(shí)的獲得成為解決問題過程中的組成部分。

2）堅(jiān)持問題導(dǎo)向，把抽象的數(shù)學(xué)問題形象化。已經(jīng)建成了“數(shù)值分析+程序設(shè)計(jì)”的課程融合教學(xué)模式，學(xué)生在掌握了基本知識(shí)原理的基礎(chǔ)上，編程輔助實(shí)現(xiàn)計(jì)算方法課程中常見算法的應(yīng)用、經(jīng)典應(yīng)用案例的建模求解等。讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)“有趣、有譜、有用”，實(shí)現(xiàn)從“要我學(xué)”→“我要學(xué)”→“我會(huì)學(xué)”→“能學(xué)好”的轉(zhuǎn)變，從中獲取成就感和自我認(rèn)同。

3）促進(jìn)文理交融，彰顯課程溫度。讓數(shù)值分析課程變得有詩(shī)意、有情趣、有故事，兼?zhèn)湮膶W(xué)情懷，讓課程變得有溫度。團(tuán)隊(duì)教師加大教學(xué)精力投入，潛心教書育人。

（二）傳統(tǒng)教學(xué)與信息技術(shù)有機(jī)融合，增加學(xué)生課堂參與度，實(shí)現(xiàn)課程全過程管理

課堂巧用智慧教學(xué)工具，讓課程“動(dòng)”起來，選用雨課堂、學(xué)習(xí)通或智慧樹平臺(tái)，內(nèi)有彈幕、投票、單選題和主觀題等多種形式，及時(shí)反饋結(jié)果。每個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)都是以學(xué)生為中心，各階教學(xué)內(nèi)容均配以學(xué)生活動(dòng)，主動(dòng)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)多，學(xué)習(xí)難度大，師生互動(dòng)頻繁，線上線下教學(xué)活動(dòng)支撐課程目標(biāo)達(dá)成。

大力加強(qiáng)師生互動(dòng)、生生互動(dòng)環(huán)節(jié)。內(nèi)容高階，學(xué)習(xí)難度大，讓學(xué)生在討論中學(xué)習(xí)、在學(xué)習(xí)中討論，既提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也挑戰(zhàn)了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

（三）落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，深化特色思政建設(shè)，解決學(xué)生內(nèi)生動(dòng)力差問題

秉承“百折不撓、剛毅厚重、勇承重載”精神，深入挖掘課程內(nèi)容蘊(yùn)含的思政元素。通過線上資源建設(shè)，線下教學(xué)活動(dòng)，思政認(rèn)知評(píng)價(jià)，師德師風(fēng)示范引領(lǐng)各環(huán)節(jié)，通過案例教學(xué)，激發(fā)學(xué)生奮發(fā)學(xué)習(xí)，解決問題鍥而不舍的精神，養(yǎng)成良好的數(shù)值計(jì)算素質(zhì)和Matlab 編程能力。“顯性教育”與“隱性教育”融合貫通。思政教育變?yōu)閷W(xué)生自發(fā)的認(rèn)知需求，解決學(xué)生內(nèi)生動(dòng)力差問題。

同時(shí)，基于數(shù)值計(jì)算能力培養(yǎng)、數(shù)學(xué)文化自信素養(yǎng)養(yǎng)成分別設(shè)立課程設(shè)計(jì)與實(shí)施主線和課程思政教學(xué)主線，確定培養(yǎng)學(xué)生具有“嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)計(jì)算能力、正確辯證思維方法、高度數(shù)學(xué)文化自信”為課程思政目標(biāo)，以“案例分析、數(shù)值分析、誤差分析”三大任務(wù)為內(nèi)容重構(gòu)主線，構(gòu)建“探索未知、勇攀高峰、愛國(guó)情懷、科技報(bào)國(guó)”為導(dǎo)向的多維度教學(xué)方法，將“思政之鹽”有機(jī)融入“課程之籃”。

（四）混合式教學(xué)模式，布置課后開放性作業(yè)，提升學(xué)生實(shí)踐創(chuàng)新能力

經(jīng)過幾年的積累，團(tuán)隊(duì)已經(jīng)建成了全面完整的線上平臺(tái)資源，不僅探索出了符合青島理工大學(xué)人才培養(yǎng)需要和學(xué)生實(shí)際水平的BOPPPS 混合教學(xué)形態(tài)，打造線上線下、課內(nèi)課外一體化的混合式教學(xué)模式。設(shè)置開放性作業(yè)，與專業(yè)、競(jìng)賽相結(jié)合突出學(xué)生學(xué)習(xí)主體地位，注重應(yīng)用創(chuàng)新能力培養(yǎng)。

（五）建成多元考核評(píng)價(jià)體系，強(qiáng)化基于學(xué)習(xí)過程的過程性考核，根據(jù)學(xué)習(xí)過程數(shù)據(jù)分析，動(dòng)態(tài)改進(jìn)教學(xué)策略

基于課程教學(xué)目標(biāo)，改進(jìn)考核方式，包括過程性考核和總結(jié)性考核。其中線上部分占20%，包括學(xué)習(xí)行為分（7%）、章節(jié)測(cè)試（3%）、線上期末測(cè)驗(yàn)（5%）及線上討論（5%）；線下部分占80%，包括課堂互動(dòng)（10%）、線下作業(yè)（20%）、期末考試（50%）。其中，期末考試和線下作業(yè)支撐知識(shí)目標(biāo)和能力目標(biāo)達(dá)成，線上成績(jī)及平時(shí)互動(dòng)支撐學(xué)生素質(zhì)目標(biāo)達(dá)成。

三 Newton 迭代法案例分析

（一）課前線上

例題：f（x）=x3-x-1 的Newton 迭代公式為xk+1=xk-，（k=1，2，…），取x0=1.5，則迭代公式結(jié)果見表1。

表1 迭代數(shù)據(jù)

（二）課前線下

f(x)=x3-x-1 的Newton 迭代公式的Matlab 程序設(shè)計(jì)如下。

x（1）=1.5，for k=1:5；

x(k+1)=x(k)-(x(k)^3-x(k)-1)/(3*x(k)^2-1);end

（三）翻轉(zhuǎn)課堂形式分組討論

Newton 迭代公式的優(yōu)缺點(diǎn)如下。

優(yōu)點(diǎn)：Newton 迭代公式具有平方收斂的速度，所以在迭代過程中只要迭代n 次就會(huì)得到很精確的解。

缺點(diǎn)：①Newton 迭代法為局部收斂，選取的初值要接近方程的解，初始迭代點(diǎn)x0的選擇很困難；②要求f′（x*）≠0，說明Newton 迭代法只能求單根；③Newton迭代法中每一步需求導(dǎo)數(shù)f′（xk），計(jì)算量比較大。

（四）引導(dǎo)學(xué)生思考

1）關(guān)于初值的問題：一般來說采用試探法，但對(duì)于一些實(shí)際問題初值的選擇并不困難，它是明確的。

（五）解決方法

針對(duì)導(dǎo)數(shù)計(jì)算麻煩的處理方法如下。

1）利用Newton 迭代法先進(jìn)行幾步，比如進(jìn)行到第k步得到近似值xk，接下來采用c=。xk+1＝xk-cf（xk），此迭代法通常是線性收斂的。

2）實(shí)用方法是由差分代替微分，即xn+1=xn-。此迭代方法為割線法，它是超線性收斂的（收斂階為1.618）。

（六）比較結(jié)果

分別用Newton 迭代法、改進(jìn)的Newton 迭代法，以及它們的離散型迭代法求方程f（x）=（x+1）（x-1）2=0的二重根x*=1。

Newton 迭代法：xn+1=xn-f（xn）/f（xn）；

改進(jìn)1：xn+1=xn-mf（xn）/f′（xn）；

改進(jìn)2：xn+1=xn-μ（xn）/μ′（xn），μ（x）＝f（x）/f′（x）；

離散：xn+1=xn-（xn-xn-1）f（xn）/（f（xn）－f（xn－1））；

離散改進(jìn)1：xn+1=xn-m（xn-xn-1）f（xn）/（f（xn）－f（xn－1））；

離散改進(jìn)2：xn+1=xn-（xn-xn-1）μ（xn）/（μ（xn）－μ（xn－1））；

μ（xn）＝（xn-xn-1）f（xn）/（f（xn）－f（xn－1））。

比較以上迭代方法，迭代結(jié)果見表2。

表2 迭代法比較結(jié)果

（七）線上作業(yè)

結(jié)合平臺(tái)視頻證明Newton 迭代公式在其單根附近具有局部平方收斂性。作業(yè)通過智慧樹平臺(tái)提交。

四 數(shù)值分析創(chuàng)新課程建設(shè)和獲獎(jiǎng)經(jīng)歷

2018 年度：案例式、探究式教學(xué)方法在大學(xué)公共數(shù)學(xué)課程中的探索與實(shí)踐獲批校級(jí)本科教學(xué)教改面上項(xiàng)目，數(shù)值分析課堂中采用CBL 數(shù)學(xué)建模案例式教學(xué)方法；新舊動(dòng)能轉(zhuǎn)換背景下基于數(shù)學(xué)類競(jìng)賽的新工科創(chuàng)新人才培養(yǎng)模式研究獲批校級(jí)高等教育與發(fā)展規(guī)劃研究項(xiàng)目。數(shù)學(xué)建模融入課程教學(xué)初見成效，同年新工科背景下數(shù)學(xué)類競(jìng)賽融入公共數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的研究與實(shí)踐獲批山東省本科教學(xué)教改面上項(xiàng)目。搭建大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)平臺(tái)，“基于數(shù)學(xué)類競(jìng)賽平臺(tái)建設(shè)的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方法改革的研究”獲山東省教學(xué)成果二等獎(jiǎng)。

2019 年度：為了更好地開展混合式教學(xué)，數(shù)值分析線上開放課程上線智慧樹；同年，Matlab 實(shí)驗(yàn)研究為校級(jí)綜合性、設(shè)計(jì)性、創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)教學(xué)項(xiàng)目，加強(qiáng)學(xué)生實(shí)踐能力培養(yǎng)。STEM 在數(shù)值分析課程改革中的應(yīng)用獲批教育部產(chǎn)學(xué)協(xié)同育人項(xiàng)目；為了更好地開展課程思政建設(shè)，課程開始編寫課程思政案例庫(kù)。同時(shí)，課程獲評(píng)山東省研究生教育質(zhì)量提升計(jì)劃立項(xiàng)-優(yōu)質(zhì)課程。

2020 年度：基于智慧教學(xué)平臺(tái)的混合式教學(xué)在數(shù)值分析課程中的改革與實(shí)踐獲批教育部產(chǎn)學(xué)協(xié)同育人項(xiàng)目；基于數(shù)理學(xué)科競(jìng)賽的理工科創(chuàng)新型人才培養(yǎng)模式的構(gòu)建與實(shí)踐獲批山東省本科教學(xué)教改面上項(xiàng)目。

2021 年度：團(tuán)隊(duì)獲得青島理工大學(xué)教學(xué)創(chuàng)新大賽二等獎(jiǎng)；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)融入公共數(shù)學(xué)課程教學(xué)體系的研究獲批校級(jí)本科教學(xué)教改面上項(xiàng)目，對(duì)課程實(shí)驗(yàn)進(jìn)行整合。

2022 年度：堅(jiān)持以培養(yǎng)目標(biāo)為導(dǎo)向的工程教育認(rèn)證理念，將數(shù)學(xué)建模融入數(shù)值分析課程改革已見成效，“以賽促學(xué)、教賽融合、政產(chǎn)學(xué)研用”推進(jìn)德智相長(zhǎng)人才培養(yǎng)獲得山東省級(jí)教學(xué)成果獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)；獲省級(jí)教學(xué)創(chuàng)新大賽正高組三等獎(jiǎng)。同時(shí)課程獲批山東省課程思政示范課程、校專業(yè)學(xué)位優(yōu)秀案例庫(kù)建設(shè)、校教材立項(xiàng)等。

五 數(shù)值分析課程教學(xué)創(chuàng)新成果與推廣價(jià)值

（一）學(xué)生對(duì)創(chuàng)新教學(xué)滿意度評(píng)價(jià)高

針對(duì)2021—2022 年1 學(xué)期混合式教學(xué)模式的滿意度評(píng)價(jià)調(diào)查結(jié)果，從教學(xué)方法、教學(xué)啟發(fā)性、隨堂知識(shí)掌握程度、知識(shí)獲得的有效性及案例適宜性進(jìn)行評(píng)價(jià)，課程總評(píng)非常滿意50%，滿意38%。

（二）學(xué)生學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)良

2021—2022 年1 學(xué)期團(tuán)隊(duì)教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行教學(xué)分班，比較兩種教學(xué)模式下的教學(xué)效果。從考試成績(jī)，經(jīng)過混合式教學(xué)創(chuàng)新，學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性大大增強(qiáng)，學(xué)業(yè)成績(jī)優(yōu)良度提高13%，學(xué)習(xí)目標(biāo)達(dá)成度提高。

（三）教師教研能力提高

教師教學(xué)能力顯著提升，教師教學(xué)競(jìng)賽成績(jī)優(yōu)異，師德師風(fēng)建設(shè)成效顯著，課程建設(shè)和教學(xué)團(tuán)隊(duì)建設(shè)成果豐碩。如圖2 所示。

圖2 教師團(tuán)隊(duì)教學(xué)2018—2023 年獲獎(jiǎng)情況

（四）學(xué)生實(shí)踐創(chuàng)新能力提升

教學(xué)團(tuán)隊(duì)不僅僅看學(xué)生考試的分?jǐn)?shù)，并且根據(jù)學(xué)生的人文素養(yǎng)、科學(xué)素養(yǎng)、實(shí)驗(yàn)動(dòng)手能力的評(píng)估，對(duì)學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性選拔、指導(dǎo)。創(chuàng)新教學(xué)模式提升了參與各種數(shù)學(xué)類競(jìng)賽活動(dòng)的積極性，學(xué)生實(shí)踐創(chuàng)新取得很好的成績(jī)。2022 年美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模大賽青島理工大學(xué)獲O獎(jiǎng)1 項(xiàng)，特等獎(jiǎng)提名F 獎(jiǎng)2 項(xiàng)；團(tuán)隊(duì)指導(dǎo)學(xué)生全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模獲國(guó)家二等獎(jiǎng)1 項(xiàng)、山東省一等獎(jiǎng)2 項(xiàng)、二等獎(jiǎng)3 項(xiàng)和三等獎(jiǎng)1 項(xiàng)；全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽山東省一等獎(jiǎng)3 項(xiàng)，全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽全國(guó)二等獎(jiǎng)（決賽）。指導(dǎo)學(xué)生發(fā)表論文2 篇。

六 結(jié)束語

本課程經(jīng)過幾年創(chuàng)新的探索和實(shí)踐實(shí)現(xiàn)了從傳統(tǒng)課堂向智慧課堂、知識(shí)課堂向能力課堂、灌輸課堂向?qū)嵺`課堂的轉(zhuǎn)變。在今后的教學(xué)過程中，強(qiáng)化教材建設(shè)、深化教學(xué)改革，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。