戎新萍，徐海璐，季春天

（南京工業(yè)大學(xué)浦江學(xué)院 機(jī)電學(xué)院，南京 211200）

六自由度串聯(lián)機(jī)器人類似于手臂，可用于搬運(yùn)、焊接、裝配等場(chǎng)合[1-2]。關(guān)節(jié)一般采用諧波減速器來(lái)傳輸驅(qū)動(dòng)力矩，其增加了關(guān)節(jié)的靈活性及柔性，但也帶來(lái)了魯棒性差、定位時(shí)間長(zhǎng)、負(fù)載端振動(dòng)等現(xiàn)象[3]。因此，研究工業(yè)機(jī)器人振動(dòng)抑制的方法顯得十分有必要。

文獻(xiàn)[4]利用混沌粒子群優(yōu)化算法對(duì)柔性關(guān)節(jié)機(jī)械臂末端軌跡的插值參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，減小了機(jī)械臂在軌跡跟蹤過(guò)程中的振動(dòng)變形。文獻(xiàn)[5]將免疫遺傳算法與三次樣條函數(shù)相結(jié)合，優(yōu)化插值點(diǎn)位移變化量，減小了末端的殘余振動(dòng)，但是該算法計(jì)算量大，且容易出現(xiàn)奇異解。文獻(xiàn)[6]利用各連桿加速度信息對(duì)關(guān)節(jié)力矩進(jìn)行補(bǔ)償，從而減小末端的振動(dòng)，但是忽略了驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的速度環(huán)，無(wú)法保證穩(wěn)定性。

本文目前處于仿真研究階段，工業(yè)機(jī)器人結(jié)構(gòu)示意圖如圖1 所示，其腰關(guān)節(jié)、肩關(guān)節(jié)和肘關(guān)節(jié)決定了末端的位置，腕關(guān)節(jié)決定了末端的姿態(tài)，對(duì)定位振動(dòng)的影響較小。因此，只考慮轉(zhuǎn)臺(tái)、大臂和小臂所產(chǎn)生的定位振動(dòng)，且忽略傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的摩擦力對(duì)振動(dòng)的影響[7]。本文在文獻(xiàn)[8]模糊解耦的基礎(chǔ)上，繼續(xù)對(duì)柔性關(guān)節(jié)工業(yè)機(jī)器人的解耦作進(jìn)一步的研究，并采用模糊控制方法對(duì)傳統(tǒng)PID 控制器的控制參數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整與優(yōu)化，減小工業(yè)機(jī)器人定位時(shí)末端的殘余振動(dòng)。

圖1 工業(yè)機(jī)器人結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of industrial robot structure

1 工業(yè)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)建模

1.1 柔性關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)建模

柔性關(guān)節(jié)的簡(jiǎn)化模型根據(jù)Spong 提出的反饋線性化理論，將柔性關(guān)節(jié)等效成一根線性彈簧，其簡(jiǎn)化模型如圖2 所示，由力矩平衡可得其動(dòng)力學(xué)模型為

圖2 柔性關(guān)節(jié)簡(jiǎn)化模型圖Fig.2 Simplified model of flexible joint

式中：T 為電機(jī)輸出力矩；Jm為電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；K 為柔性關(guān)節(jié)剛度；θ 為電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)角度；q 為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)角度；n 為關(guān)節(jié)減速比（n>1）；D（q）為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；B（q）為科氏力系數(shù)；C（q）為向心力系數(shù)；G（q）為連桿重力項(xiàng)；Bm為電機(jī)粘性阻尼系數(shù)。

1.2 直流電機(jī)動(dòng)力學(xué)建模

直流電機(jī)的數(shù)學(xué)模型由電壓平衡方程和轉(zhuǎn)矩平衡方程可得：

式中：Lm為電樞回路電感；Um為電樞兩端的電壓；im為電樞電流；Rm為電樞回路的總電阻；Ke為電機(jī)的反電動(dòng)勢(shì)系數(shù)；Kt為電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩系數(shù)；Td為電動(dòng)機(jī)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

令Tm=（RmJm）/（KeKt）為直流電機(jī)的機(jī)電時(shí)間常數(shù)；Ta=Lm/Rm為直流電機(jī)的電磁時(shí)間常數(shù)；Tc=Jm/Bm為機(jī)械系統(tǒng)時(shí)間常數(shù)，可得到輸入變量為Um（s），輸出變量為電機(jī)轉(zhuǎn)速Ω（s）的傳遞函數(shù)：

根據(jù)此傳遞函數(shù)可得到直流電機(jī)的控制方框圖，如圖3 所示。

圖3 直流電機(jī)控制系統(tǒng)框圖Fig.3 Block diagram of DC motor control system

2 變參數(shù)模糊解耦

根據(jù)式（1）可以發(fā)現(xiàn)工業(yè)機(jī)器人是一個(gè)多輸入多輸出的非線性、強(qiáng)耦合系統(tǒng)。文獻(xiàn)[8]以二連桿工業(yè)機(jī)械臂為研究對(duì)象，分析了連桿間的耦合關(guān)系，并設(shè)計(jì)了模糊控制器，仿真結(jié)果表明連桿間的耦合量降低了很多，但仍具有較大的超調(diào)。

這是由于在偏差較大時(shí)模糊控制器很難完全消除穩(wěn)態(tài)誤差，而增大量化因子和比例因子卻能減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。但是，較大的量化因子會(huì)產(chǎn)生大的超調(diào)量，過(guò)大的比例因子會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，模糊控制器能根據(jù)輸入偏差的大小自動(dòng)調(diào)節(jié)各個(gè)參數(shù)，就能在滿足快速響應(yīng)、較小超調(diào)的要求下又不失穩(wěn)定。本文將根據(jù)模糊控制器輸入值和輸出值的大小分區(qū)域段確定量化因子和比例因子的值，其控制結(jié)構(gòu)如圖4 所示。

圖4 分段變參數(shù)模糊控制器的結(jié)構(gòu)框圖Fig.4 Block diagram of piecewise variable parameter fuzzy controller

3 模糊PID 控制器

為了保證柔性關(guān)節(jié)有足夠高的定位精度，其驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的直流電機(jī)采用三閉環(huán)的控制策略[9]。傳統(tǒng)的PID 控制器具有良好的控制性能，仍被廣泛應(yīng)用于較多的工業(yè)控制過(guò)程中，PID 控制的結(jié)構(gòu)框圖如圖5 所示。

圖5 PID 控制結(jié)構(gòu)框圖Fig.5 Block diagram of PID control structure

控制量和偏差量之間的關(guān)系為

式中：KP為比例系數(shù)；KI為積分系數(shù)；KD為微分系數(shù)；e（t）為偏差量；u（t）為控制量。

KP越大，系統(tǒng)響應(yīng)速度越快，但振蕩次數(shù)越多，超調(diào)量越大。積分部分主要控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，KI越大越能消除系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，但會(huì)導(dǎo)致不穩(wěn)定；KI越小越能抑制超調(diào)，但作用也就越弱。微分部分可以改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，KD越大，調(diào)節(jié)時(shí)間越短，但是超調(diào)量也會(huì)越高，越會(huì)放大系統(tǒng)的噪聲。

因此，在偏差較大時(shí)要加大KP，使控制器能快速矯正偏差。而在偏差很小時(shí)或即將穩(wěn)態(tài)時(shí)，減小KP、KI和KD，從而降低超調(diào)量，減小振蕩次數(shù)。而當(dāng)系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近小振幅振蕩時(shí)，需要適當(dāng)增大KI，消除系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)的控制精度。

模糊PID 利用模糊控制器來(lái)實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)PID 控制器的控制參數(shù)，保證系統(tǒng)的快速性、穩(wěn)定性和自適應(yīng)性。模糊PID 的控制結(jié)構(gòu)框圖如圖6 所示，以偏差和偏差的變化率為輸入，輸出為PID 控制器參數(shù)的增量ΔKP、ΔKI和ΔKD。輸入量和輸出量都用7個(gè)模糊子集涵蓋，模糊子集分別為正大（PB）、正中（PM）、正?。≒S）、零（O）、負(fù)小（NS）、負(fù)中（NM）和負(fù)大（NB），并根據(jù)經(jīng)驗(yàn)建立了ΔKP、ΔKI和ΔKD的模糊規(guī)則表，分別如表1、表2、表3 所示。

表1 ΔKP 模糊控制規(guī)則表Tab.1 Fuzzy control rules of ΔKP

表2 ΔKI 模糊控制規(guī)則表Tab.2 Fuzzy control rules of ΔKI

表3 ΔKD 模糊控制規(guī)則表Tab.3 Fuzzy control rules of ΔKD

圖6 模糊PID 控制結(jié)構(gòu)框圖Fig.6 Fuzzy PID control structure block diagram

4 仿真驗(yàn)證

4.1 Simulink 仿真模型

本文研究對(duì)象為六自由度的工業(yè)機(jī)器人，由于只研究定位過(guò)程中的振動(dòng)抑制問(wèn)題，所以忽略腕部的3 個(gè)自由度，此工業(yè)機(jī)器人的系統(tǒng)參數(shù)如表4 所示。關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)電機(jī)的反電動(dòng)勢(shì)對(duì)電流環(huán)的影響很小，因此可忽略。借助Simulink 仿真軟件平臺(tái)，搭建直流電機(jī)、工業(yè)機(jī)器人的仿真模型，分別如圖7 和圖8 所示。

表4 工業(yè)機(jī)器人系統(tǒng)參數(shù)Tab.4 List of industrial robot system parameters

圖7 直流電機(jī)Simulink 仿真模型Fig.7 Simulink model of DC motor

圖8 工業(yè)機(jī)器人Simulink 仿真模型Fig.8 Simulink model for industrial robots

4.2 傳統(tǒng)PID 控制仿真

根據(jù)直流電機(jī)位置環(huán)、速度環(huán)的開環(huán)和閉環(huán)傳遞函數(shù)，以及最佳的阻尼比ζ=0.707，計(jì)算出直流電機(jī)位置環(huán)和速度環(huán)PID 控制器各參數(shù)的理論值，再通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)調(diào)試，最終確定各個(gè)參數(shù)的值。位置環(huán)PID 控制器的參數(shù)值：KP=150，KI=27，KD=42；速度環(huán)PID 控制器的參數(shù)值：KP=26，KI=4.5，KD=9。令腰關(guān)節(jié)、肩關(guān)節(jié)及肘關(guān)節(jié)同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)的目標(biāo)位置都為30°，仿真時(shí)間為2 s。在傳統(tǒng)PID 控制器的作用下，轉(zhuǎn)臺(tái)、大臂和小臂的轉(zhuǎn)動(dòng)角度q1、q2、q3如圖9所示。圖中轉(zhuǎn)臺(tái)、大臂和小臂到達(dá)目標(biāo)位置之后在做高頻率的衰減振動(dòng)，振動(dòng)頻率相近，且具有高次諧振，三者之間相互影響，相互耦合。轉(zhuǎn)臺(tái)的振動(dòng)幅值比大臂和小臂的振動(dòng)幅值大許多，最大值達(dá)到了50%，調(diào)整時(shí)間為0.9 s。大臂的調(diào)整時(shí)間相對(duì)較長(zhǎng)，經(jīng)過(guò)1.2 s 之后才趨于穩(wěn)定，超調(diào)量為33%。小臂的振幅不大，但到達(dá)目標(biāo)位置后一直在抖動(dòng)，直到1.6 s之后抖動(dòng)現(xiàn)象才漸緩。從圖9 中可以看出傳統(tǒng)PID控制器對(duì)工業(yè)機(jī)器人抑振效果不佳，轉(zhuǎn)臺(tái)、大臂和小臂之間的耦合現(xiàn)象非常嚴(yán)重。

圖9 三關(guān)節(jié)PID 控制仿真結(jié)果圖Fig.9 Simulation results of three joint PID control

4.3 模糊解耦仿真

根據(jù)文獻(xiàn)[7]加入模糊控制器進(jìn)行模糊解耦，仿真結(jié)果如圖10 所示。圖中轉(zhuǎn)臺(tái)、大臂和小臂轉(zhuǎn)到目標(biāo)位置之后依舊在做衰減振動(dòng)，但振動(dòng)頻率、調(diào)整時(shí)間明顯降低，高次諧振消失，說(shuō)明耦合量減少。轉(zhuǎn)臺(tái)振動(dòng)了18 次之后穩(wěn)定在目標(biāo)位置，調(diào)整時(shí)間為0.5 s，比解耦前縮短了0.4 s。大臂振動(dòng)了24 次后穩(wěn)定，調(diào)整時(shí)間比解耦前降低了一半。小臂解耦后達(dá)到了立竿見(jiàn)影的效果，轉(zhuǎn)到目標(biāo)位置后只振動(dòng)了3次，調(diào)整時(shí)間僅為0.1 s。仿真數(shù)據(jù)說(shuō)明將其他桿件的干擾量作為補(bǔ)償值補(bǔ)償給關(guān)節(jié)，能降低工業(yè)機(jī)器人連桿之間的耦合程度，但是振動(dòng)現(xiàn)象還是非常嚴(yán)重。

圖10 三關(guān)節(jié)模糊解耦控制仿真結(jié)果圖Fig.10 Simulation results of three joint fuzzy decoupling control

4.4 變參數(shù)模糊解耦

加入Switch 開關(guān)分段改變模糊控制器的量化因子和比例因子，其內(nèi)部封裝圖如圖11 所示。根據(jù)輸入值、輸出值的大小分成3 個(gè)區(qū)域段，每段都對(duì)應(yīng)一個(gè)量化因子或比例因子值，經(jīng)過(guò)Simulink 仿真得到轉(zhuǎn)臺(tái)、大臂和小臂的轉(zhuǎn)動(dòng)位置圖，如圖12 所示。轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)到目標(biāo)位置之后振動(dòng)現(xiàn)象明顯緩解，振動(dòng)次數(shù)減小到5 次，調(diào)整時(shí)間為0.25 s，超調(diào)量又降低了13.3%。大臂的超調(diào)量也大幅度降低，變成5%，到達(dá)目標(biāo)位置后雖然有所抖動(dòng)，但是抖動(dòng)幅值非常小，調(diào)整時(shí)間為0.4 s。而小臂轉(zhuǎn)到目標(biāo)位置后幾乎沒(méi)有振動(dòng)，直接穩(wěn)定在目標(biāo)位置。這些現(xiàn)象和數(shù)據(jù)都說(shuō)明了連桿之間的耦合量又降低了許多，真正達(dá)到了模糊解耦的目的。

圖11 Switch 開關(guān)分段內(nèi)部封裝圖Fig.11 Internal package diagram of Switch segment

圖12 三關(guān)節(jié)變參數(shù)模糊解耦控制仿真結(jié)果圖Fig.12 Simulation results of three joint variable parameter fuzzy decoupling control

4.5 模糊PID 控制仿真

將模糊PID 控制器代替?zhèn)鹘y(tǒng)的PID 控制，模糊PID 的Simulink 仿真內(nèi)部封裝圖如圖13 所示。輸入和輸出的模糊論域都為（-3，3），隸屬函數(shù)都取為三角形，根據(jù)前文所設(shè)計(jì)的控制規(guī)則進(jìn)行Simulink 仿真，得到轉(zhuǎn)臺(tái)、大臂和小臂的轉(zhuǎn)動(dòng)位置圖，如圖14所示。三個(gè)關(guān)節(jié)在轉(zhuǎn)動(dòng)目標(biāo)位置后幾乎沒(méi)有振動(dòng)，成功解決了工業(yè)機(jī)器人在定位之后振動(dòng)抑制的問(wèn)題。轉(zhuǎn)臺(tái)的超調(diào)量?jī)H為2.7%，調(diào)整時(shí)間為0.03 s。大臂在上升過(guò)程中雖然有小振幅的振動(dòng)，但到目標(biāo)位置之后，只超調(diào)了0.8%的量就穩(wěn)定了，調(diào)整時(shí)間也只有0.02 s。小臂同樣也是很平穩(wěn)地轉(zhuǎn)到了目標(biāo)位置，但是調(diào)整時(shí)間降低了0.03 s。從圖15 中可以看出基于解耦的柔性關(guān)節(jié)工業(yè)機(jī)器人，連桿相互干擾量降低，再對(duì)其進(jìn)行抑振控制就顯得簡(jiǎn)單許多。

圖13 模糊PID 內(nèi)部封裝圖Fig.13 Internal package diagram of fuzzy PID

圖14 三關(guān)節(jié)模糊PID 控制仿真結(jié)果圖Fig.14 Simulation results of three joint fuzzy PID control

5 結(jié)語(yǔ)

工業(yè)機(jī)器人的關(guān)節(jié)處由于引入了諧波減速器，導(dǎo)致關(guān)節(jié)剛度降低，在定位過(guò)程中易產(chǎn)生較長(zhǎng)時(shí)間的振動(dòng)，而且工業(yè)機(jī)器人各連桿之間相互耦合，使得彼此振動(dòng)加劇。本文先建立工業(yè)機(jī)器人整個(gè)控制系統(tǒng)的仿真模型，然后對(duì)其進(jìn)行變參數(shù)模糊解耦，最后在解耦的基礎(chǔ)上加入模糊PID 控制器。Simulink仿真實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，變參數(shù)模糊解耦比定參數(shù)模糊解耦的效果更好，進(jìn)一步降低了工業(yè)機(jī)器人各連桿之間的耦合量。而且工業(yè)機(jī)器人在解耦之后，轉(zhuǎn)臺(tái)、大臂和小臂之間可以近似看成線性系統(tǒng)，對(duì)其進(jìn)行模糊PID 控制，利用模糊控制器實(shí)時(shí)改變PID 控制器的控制參數(shù)，抑振的效果相比傳統(tǒng)PID 來(lái)說(shuō)更為理想。但是本文忽略了傳動(dòng)系統(tǒng)摩擦因素、間隙等對(duì)振動(dòng)的影響，在后續(xù)的研究中需要考慮更多干擾因素，以進(jìn)一步提高工業(yè)機(jī)器人的抑振效果。