張 克，于海生，孟祥祥

（1.青島大學(xué) 自動化學(xué)院，青島 266071；2.山東省工業(yè)控制技術(shù)重點(diǎn)實驗室，青島 266071）

多容液位控制在水凈化系統(tǒng)、工業(yè)生產(chǎn)、材料與化學(xué)處理、發(fā)電與鍋爐系統(tǒng)等各行各業(yè)有著廣泛的應(yīng)用，工業(yè)過程中許多被控對象的整體和局部都可以抽象或描述為雙容液位系統(tǒng)，其具有過程控制中的典型特點(diǎn)，并且能夠較好地模擬和代表一類復(fù)雜工業(yè)過程。目前，許多的先進(jìn)控制方法被應(yīng)用于液位系統(tǒng)，如滑模變結(jié)構(gòu)控制[1-3]，反步控制[4]，模糊控制[5-6]，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[7-8]等。還有許多學(xué)者針對水箱液位系統(tǒng)提出了一些不同的新型控制策略，文獻(xiàn)[9]針對工業(yè)過程中的延遲和擾動，提出了一種具有延遲補(bǔ)償?shù)幕Ｋ惴?，并在液位系統(tǒng)上驗證了算法的有效性；文獻(xiàn)[10]研究了多容液位系統(tǒng)的反饋線性化控制。然而在實際工業(yè)過程中，有必要同時考慮系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，以往的研究大多只關(guān)注系統(tǒng)的動態(tài)性能或穩(wěn)態(tài)性能，很少有學(xué)者能同時考慮這兩者。在此基礎(chǔ)上，本文提出了一種協(xié)同控制策略來滿足動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。

雙容水箱液位系統(tǒng)的精準(zhǔn)控制存在外部擾動和未建模動態(tài)等因素的影響，并且針對液位高度控制需要精準(zhǔn)穩(wěn)定，給控制器的設(shè)計帶來了諸多不便。所以要實現(xiàn)液位系統(tǒng)的快速精確控制是一個難題，這項研究極具意義。

近年來，端口受控哈密頓控制（PCH）方法已在控制領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[11-13]，該方法是基于端口受控哈密頓系統(tǒng)和質(zhì)量守恒原理，構(gòu)造系統(tǒng)哈密頓模型，進(jìn)行阻尼配置，匹配原模型與閉環(huán)模型求取控制器。許多學(xué)者將互聯(lián)與阻尼分配應(yīng)用于控制系統(tǒng)中，并且取得了良好的控制效果。

盡管基于互聯(lián)和阻尼配置的PCH 方法可以實現(xiàn)穩(wěn)態(tài)精度的控制，但難以滿足系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的需求。為了提高系統(tǒng)響應(yīng)的快速性能，本文提出一種反步滑模的控制策略，該方法結(jié)構(gòu)簡單，已在多個領(lǐng)域得到了良好的應(yīng)用[14-16]。針對工業(yè)過程系統(tǒng)中廣泛存在的外部擾動和模型參數(shù)的不確定性，設(shè)計自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來逼近系統(tǒng)的非線性函數(shù)。

在工業(yè)過程中，需要同時兼顧系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，本文提出一種協(xié)同優(yōu)化控制策略來滿足系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，通過協(xié)同優(yōu)化控制策略將PCH 與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反步滑模結(jié)合，既保持了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反步滑?？刂撇呗缘目焖傩?，又吸收了PCH的穩(wěn)態(tài)精度控制。

綜上所述，本文提出了一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反步滑模與PCH 協(xié)同優(yōu)化控制策略。首先對雙容液位系統(tǒng)設(shè)計反步滑?？刂破鳎⒉捎肦BF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對系統(tǒng)非線性函數(shù)進(jìn)行逼近；其次通過哈密頓原理構(gòu)建雙容液位系統(tǒng)的哈密頓系統(tǒng)模型，并設(shè)計PCH 控制器；并設(shè)計協(xié)同優(yōu)化控制策略，選取協(xié)同優(yōu)化函數(shù)充分兼顧神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反步滑模的快速動態(tài)響應(yīng)以及PCH的穩(wěn)態(tài)精準(zhǔn)控制；通過仿真驗證了所提控制方法的有效性。

1 問題描述

1.1 雙容液位系統(tǒng)模型

如圖1 所示，雙容液位系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型為

圖1 水箱結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Structural model of tank

式中：x1、x2分別為水箱1、水箱2 的液位值；u1和u2為控制輸入；A1和A2分別為水箱1、水箱2 的橫截面積；aj為調(diào)節(jié)閥的橫截面積，j=1，2，3，4；g 為重力加速度。

可將上式表示為非線性形式：

1.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反步滑?？刂撇呗栽O(shè)計

定義液位誤差為e，e=xd-x，其中xd為給定期望液位值。計李雅普諾夫函數(shù)為，求導(dǎo)可得：

取子系統(tǒng)虛擬控制量為

其中c 為可調(diào)參數(shù)矩陣，則：

結(jié)合式（3）～式（5）可得：

選取積分滑模面：

式中：n、m 為積分項系數(shù)矩陣。

對式（6）微分可得：

設(shè)計滑模趨近律：

結(jié)合式（2）、式（7）、式（8）可得雙容水箱反步滑模控制器為

所以該系統(tǒng)是全局穩(wěn)定的。

常見的徑向基函數(shù)為高斯函數(shù)有：

式中：x 為網(wǎng)絡(luò)的輸入；‖x‖為其歐幾里得范數(shù)；cj為中心向量；bj為徑向基函數(shù)的寬度；h=[hj]T為高斯函數(shù)的輸出；W*為網(wǎng)絡(luò)的理想權(quán)值；εj為網(wǎng)絡(luò)的逼近誤差，且為理想RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出。取f（x）=y（t），定義網(wǎng)絡(luò)的輸入為x=[x1x2]T，則RBF 網(wǎng)絡(luò)的輸出為

將式（12）代入式（9），得到RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反步滑?？刂频妮敵雎蔀?/p>

2 PCH 控制策略設(shè)計

端口受控耗散哈密頓控制系統(tǒng)可表示為

選取哈密頓函數(shù)為

對上式求導(dǎo)得：

則雙容液位系統(tǒng)的PCH 模型可由式（1）表示為系統(tǒng)（14）的形式，其中：

對于端口受控耗散哈密頓系統(tǒng)（14），假設(shè)系統(tǒng)期望平衡點(diǎn)x0，為了使系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處漸近穩(wěn)定，需尋找期望哈密頓函數(shù)Hd（x）、互聯(lián)矩陣Jd（x）、阻尼矩陣Rd（x）及反饋控制u=α（x），使閉環(huán)系統(tǒng)為

期望哈密頓函數(shù)Hd（x）可表示為

式中：Ha（x）為待定反饋控制注入系統(tǒng)的能量。

引理1對于端口耗散哈密頓系統(tǒng)，假設(shè)系統(tǒng)期望平衡點(diǎn)x0，若有反饋控制u=α（x），矩陣Rd（x），Jd（x）滿足：

則閉環(huán)系統(tǒng)（18）為端口受控耗散哈密頓系統(tǒng)，且閉環(huán)系統(tǒng)在平衡點(diǎn)x0處穩(wěn)定。

由式（1）可得在雙容液位系統(tǒng)平衡點(diǎn)處有：

選取哈密頓函數(shù)為

3 協(xié)同優(yōu)化控制策略設(shè)計

設(shè)計系統(tǒng)協(xié)同控制策略為

其中，協(xié)同切換函數(shù)選取高斯函數(shù)：

式中：uc∈Rm是系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制器輸出向量；c（e）∈Rm為協(xié)調(diào)函數(shù)；σ＝diag｛σ1，σ2，…，σm｝；σi＞0（i=1，2，…，m）為高斯函數(shù)尺度參數(shù)。已知誤差ei可以無限趨近于零卻不完全等于零，無論σi如何取值，-（ei/σi）也無限趨近于零，所以0＜c（ei）＜1（i=1，2，…，m）。高斯函數(shù)作為協(xié)同函數(shù)具有更高的切換精度，更快的切換速度，計算量更小且存儲空間較小，能最大地優(yōu)化兩種控制方法優(yōu)點(diǎn)，且c（ei）取高斯函數(shù)易于分析，方便理解。

根據(jù)式（24）可以得出，在系統(tǒng)的初始動態(tài)響應(yīng)階段，液位的跟蹤誤差較大，NNBSMC 算法起到主要控制作用；隨著誤差迅速減小，NNBSMC 控制力度占比也在急劇下降；因此，在系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)階段，液位誤差較小，PCH 算法起到主要控制作用。

4 仿真實驗結(jié)果與分析

為驗證所提控制策略的有效性，以雙容水箱液位系統(tǒng)為被控對象，通過MATLAB/Simulink 仿真將NNBSMC+PCH 控制算法與單一NNBSMC 方法和單一PCH 方法進(jìn)行了比較分析。設(shè)置期望液位值為x1d=20 cm，x2d=16 cm。在t=100 s 時加入量值為2 的階躍信號，代表2 cm 的液位變化，并以此階躍環(huán)節(jié)來模擬系統(tǒng)所受到的外部擾動。雙容水箱液位系統(tǒng)參數(shù)如表1 所示。

表1 雙容水箱液位系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Parameters of two-tank liquid level system

為了驗證所提控制策略的抗干擾能力，在60 s、100 s 處分別引入了高度為2 cm 的液位誤差。如圖2、圖3 所示，NNBSMC+PCH 算法的液位響應(yīng)曲線，兩個容器均擾動幅度小，擾動恢復(fù)期望值調(diào)整時間短。雖然NNBSMC 算法也可以根據(jù)擾動快速響應(yīng)，但擾動幅度較大，且具有一定的超調(diào)。采用單一的PCH 算法，系統(tǒng)受擾動后恢復(fù)時間較長。通過引入外部擾動的仿真實驗分析可以清楚地看出，與單一的NNBSMC 方法和單一的PCH 方法相比，NNBSMC+PCH 算法綜合效果最好。

圖2 加入外部干擾時容器1 的液位曲線Fig.2 Level curve of tank 1 when interference is added

圖3 加入外部干擾時容器2 的液位曲線Fig.3 Level curve of tank 2 when interference is added

為了驗證所提控制策略解決參數(shù)不確定性的能力，在時間50～60 s 時，將手動調(diào)節(jié)閥a1和a2的橫截面積增加了0.01，從圖4 和圖5 可以看出，NNBSMC+PCH 算法對系統(tǒng)內(nèi)部參數(shù)的干擾有較好的抑制效果。雖然單一NNBSMC 算法也能快速響應(yīng)，但對穩(wěn)態(tài)的恢復(fù)速度較慢；而單一PCH 算法恢復(fù)到穩(wěn)態(tài)的精度較好，但干擾程度較大。采用NNBSMC+PCH 方法時，系統(tǒng)具有良好的動態(tài)響應(yīng)性能，且穩(wěn)態(tài)誤差小、控制精度高，擾動抑制能力強(qiáng)，受到擾動后的液位曲線可以在很短時間恢復(fù)到穩(wěn)定值。

圖4 參數(shù)擾動時水箱1 的液位曲線Fig.4 Level curve of tank 1 when parameter perturbation

圖5 參數(shù)擾動時水箱2 的液位曲線Fig.5 Level curve of tank 2 when parameter perturbation

5 結(jié)語

本文針對工業(yè)過程生產(chǎn)中的實際需求，提出了一種雙容液位系統(tǒng)的協(xié)同優(yōu)化控制方法，用于解決復(fù)雜工業(yè)過程的建模誤差，以及提高工業(yè)過程中的動態(tài)響應(yīng)速度和穩(wěn)態(tài)控制精度。首先，設(shè)計基于信號反步滑?？刂破?，并采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對系統(tǒng)非線性函數(shù)進(jìn)行逼近，來解決系統(tǒng)模型的不精確性。其次，利用哈密頓原理設(shè)計了基于能量控制的PCH 控制器。最后，提出了協(xié)同優(yōu)化控制，將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反步滑模與PCH 相結(jié)合，它可以發(fā)揮神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)反步滑?？刂频目焖賱討B(tài)響應(yīng)和PCH 控制良好的穩(wěn)態(tài)控制精度。與單一的PCH 控制和NNBSMC 方法相比，大量的仿真實驗結(jié)果充分證明了所提出的控制方法的有效性。