高忠社，謝保利，代麗芳

多項(xiàng)式插值教學(xué)中學(xué)生科學(xué)精神的培養(yǎng)

高忠社，謝保利，代麗芳

（天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 天水 741000）

圍繞插值多項(xiàng)式的基本類型，如拉格朗日插值、牛頓插值、分段線性插值等，以及多項(xiàng)式插值函數(shù)構(gòu)建的思想方法和多項(xiàng)式插值的局限性，展示了在多項(xiàng)式插值發(fā)展過程中所體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)家們鍥而不舍、求實(shí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神，闡述了在教學(xué)過程中學(xué)生的求實(shí)創(chuàng)新精神、時代擔(dān)當(dāng)精神的培養(yǎng)問題．

拉格朗日插值；牛頓插值；龍格現(xiàn)象；插值思想方法

反映自然規(guī)律的許多實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系是通過測量或?qū)嶒?yàn)而得到的數(shù)據(jù)關(guān)系．從提供的部分離散的數(shù)值進(jìn)行理論分析和研究都是極不方便，甚至是不可能的，因而需要設(shè)法尋找與已知函數(shù)值相符而形式簡單的近似函數(shù)[1]．根據(jù)一些函數(shù)值找出既能反映原函數(shù)特征，又便于計(jì)算的簡單函數(shù)去近似數(shù)據(jù)特征的方法稱為插值法，該方法被廣泛應(yīng)用于理論研究和工程實(shí)際中．

1　多項(xiàng)式插值的基本思想

插值多項(xiàng)式的存在性和唯一性問題的解決，反映了人們使用已知的知識和工具去認(rèn)識世界的方法，也說明在教學(xué)實(shí)踐中必須要求學(xué)生有完備的知識儲備，只有這樣才能在以后的學(xué)習(xí)、工作中更好地發(fā)現(xiàn)問題、解決問題．同時，應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生自強(qiáng)不息、努力奮斗的科學(xué)精神，以適應(yīng)建設(shè)現(xiàn)代化中國的使命擔(dān)當(dāng)．

2　基本多項(xiàng)式插值與科學(xué)精神

2.1　基本插值多項(xiàng)式

，（3）

2.1.2 Newton插值多項(xiàng)式 在上述區(qū)間劃分及插值條件，構(gòu)造多項(xiàng)式函數(shù)

2.2 插值多項(xiàng)式思想對育人理念的影響

數(shù)學(xué)家及工程領(lǐng)域的專家在應(yīng)用拉格朗日插值多項(xiàng)式解決實(shí)際問題時，發(fā)現(xiàn)每增加１個節(jié)點(diǎn)，每個節(jié)點(diǎn)的插值基函數(shù)都需要重新構(gòu)造，即插值函數(shù)得重新構(gòu)造[4]．這樣，在應(yīng)用方面造成了很多的不便，使得插值方法每次構(gòu)造產(chǎn)生的重復(fù)性計(jì)算量很大．經(jīng)過不斷探索，數(shù)學(xué)家牛頓給出了更加方便的Newton插值多項(xiàng)式，當(dāng)增加１個節(jié)點(diǎn)時，不需要重新計(jì)算前面的項(xiàng)，只需要再增加一項(xiàng)即可，即通過差商來構(gòu)造牛頓插值多項(xiàng)式．

牛頓是英國著名的物理學(xué)家，著有《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》《光學(xué)》等經(jīng)典著作[5]，牛頓具有專注、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，求實(shí)創(chuàng)新的科學(xué)精神．1687年，牛頓發(fā)表的論文《自然定律》里，對三大運(yùn)動和萬有引力定律進(jìn)行了系統(tǒng)描述，奠定了現(xiàn)代工程學(xué)的基礎(chǔ)．牛頓通過開普勒行星運(yùn)動定律與他的引力理論間的一致性論證，展示了天體的運(yùn)動與地面物體都遵循著相同的自然規(guī)律，為太陽中心說提供了強(qiáng)有力的理論支持，并推動了科學(xué)革命；在力學(xué)方面，牛頓闡明了動量和角動量守恒的原理，提出牛頓運(yùn)動定律；在光學(xué)方面，牛頓發(fā)明了反射望遠(yuǎn)鏡，并基于對三棱鏡將白光發(fā)散成可見光譜的觀察，提出了顏色理論；在數(shù)學(xué)方面，牛頓與萊布尼茨分享了系統(tǒng)創(chuàng)立微積分學(xué)的榮譽(yù)．

圖1　函數(shù)的Lagrange插值分析

這種現(xiàn)象反映了插值方法的局限性．高次插值函數(shù)出現(xiàn)的Runge現(xiàn)象，說明低次插值在近似計(jì)算中相對更有效、更實(shí)用[7]．基于此現(xiàn)象，通常不用高次插值，而是將插值區(qū)間分成幾個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上做低次插值．

在分析插值余項(xiàng)與Runge現(xiàn)象時，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)家鍥而不舍的工匠精神，也揭示一些利用插值法解決數(shù)據(jù)處理問題的有效性及局限性，使學(xué)生從自身角度出發(fā)深挖工匠精神的內(nèi)涵[8]．使學(xué)生深刻領(lǐng)悟科學(xué)精神核心是一種精神，一種信仰，或者是一種情懷，是把一件工作一件事情，當(dāng)作一種信仰，一絲不茍地把它做到極致，做到別人無可替代．

認(rèn)同插值法對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，從而產(chǎn)生真實(shí)可信的分析是進(jìn)一步開展科學(xué)試驗(yàn)和創(chuàng)新研究的保障，向?qū)W生滲透在科學(xué)研究上要做到對實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行合理、公正、無選擇性的分析，并做出客觀判斷，養(yǎng)成用數(shù)據(jù)說話的習(xí)慣和實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度．同時，使學(xué)生明白分析問題時應(yīng)避免主觀、片面、孤立、靜止地看待問題，要用聯(lián)系、發(fā)展、全面的觀點(diǎn)看問題，樹立正確的人生觀、價值觀和世界觀．通過討論，使學(xué)生意識到任何知識都不是一成不變、不可質(zhì)疑的，要有自己獨(dú)立的思維，培養(yǎng)獨(dú)立思考、勇于創(chuàng)新精神．

2.3 分段線性插值與相對穩(wěn)定性

圖2　函數(shù)的分段線性插值分析

從整體上來看，分段線性插值的誤差相對穩(wěn)定，隨著插值函數(shù)的節(jié)點(diǎn)的增加，誤差也會逐步減小[9]．同時，低次分段插值是常用的插值方法，誤差相對較小，且不會出現(xiàn)Runge現(xiàn)象，也經(jīng)常被用于各種數(shù)值計(jì)算中．基于分段插值思想的啟發(fā)，數(shù)學(xué)家構(gòu)造了分段二次插值、Hermit插值和樣條插值等，被廣泛應(yīng)用于工業(yè)設(shè)計(jì)、工程外形設(shè)計(jì)和科學(xué)計(jì)算等領(lǐng)域．

從插值函數(shù)建立與發(fā)展過程來看，多項(xiàng)式插值也是具有兩面性，也是經(jīng)歷了“遇到問題，解決問題”的發(fā)展過程．因此，在教書育人的過程中也要教育學(xué)生勇敢面對困難與問題，在現(xiàn)實(shí)生活中也要學(xué)會使用“遇到問題，解決問題”的這種思想，使其在人生中不斷歷久彌艱，開拓創(chuàng)新．

3　結(jié)語

插值法的思想方法是數(shù)值逼近中十分重要的一部分，在數(shù)值積分、數(shù)值微分、微分方程數(shù)值解中具有廣泛的應(yīng)用性；由插值法的思想發(fā)展而來的各種方法，如樣條插值、周期樣條插值、樣條小波插值、模糊插值、有理函數(shù)插值和分形插值等，已經(jīng)應(yīng)用于工程計(jì)算、工程力學(xué)和圖形圖像處理等各個方面，成為諸多計(jì)算數(shù)學(xué)工作者、工程學(xué)家等使用的重要工具．這些都體現(xiàn)了插值法的思想方法的重要性．通過了解插值思想的應(yīng)用，使學(xué)生體會到插值法離現(xiàn)實(shí)很近，使學(xué)生產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣和求知欲望．

在實(shí)踐教學(xué)中，教師應(yīng)將插值法的思想方法融入學(xué)生的學(xué)習(xí)與生活中，使其具有堅(jiān)韌的意志，不懼怕問題，對遇到的問題，要積極尋找辦法解決．通過插值思想及各種插值方法的建立過程，進(jìn)而讓學(xué)生切身體會到科學(xué)家專注、嚴(yán)謹(jǐn)、求實(shí)創(chuàng)新的科學(xué)精神，培養(yǎng)青年一代的時代使命擔(dān)當(dāng)?shù)目茖W(xué)精神，自信自強(qiáng)，守正創(chuàng)新，勇毅前行，為全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家，全面推進(jìn)中華民族偉大復(fù)興而努力奮斗．

[1] 李慶揚(yáng)，王能超，易大義．?dāng)?shù)值分析[M]．5版．武漢：華中科技大學(xué)出版社，2022．

[2] 聶碧宏. 多元擬雙次多項(xiàng)式函數(shù)插值問題研究[D]．大連：遼寧師范大學(xué)，2022．

[3] 李桂成．“計(jì)算方法”課程教學(xué)改革的探討[J]．高等理科教育，2008，45（1）：131-133．

[4] 龔佃選，劉春鳳．以線性代數(shù)觀點(diǎn)看常用多項(xiàng)式插值方法[J]．高等數(shù)學(xué)研究，2017，20（1）：42-45．

[5] 普亞松，史耀耀，藺小軍，等．基于混合多項(xiàng)式插值的工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)運(yùn)動規(guī)劃[J]．西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2022，40（1）：84-94．

[6] 趙東紅，魏海瑞，劉林．大學(xué)數(shù)學(xué)公共課程思政元素挖掘初探[J]．大學(xué)數(shù)學(xué)，2021，37（3）：46-52．

[7] 傅守忠，令鋒，孔麗英，等．應(yīng)用型本科院校數(shù)值分析教學(xué)改革與課程思政[J]．肇慶學(xué)院學(xué)報(bào)，2022，43（2）：6-9．

[8] 王全來，張薇．對波萊爾改進(jìn)拉格朗日插值公式思想方法的研究[J]．鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2007，42（2）：7-11.

[9] 張光輝．多項(xiàng)式插值Runge現(xiàn)象交互實(shí)驗(yàn)軟件包的設(shè)計(jì)[J]．宿州學(xué)院學(xué)報(bào)，2022，37（6）：72-75．

Cultivation of students′ scientific spirit in polynomial interpolation teaching

GAO Zhongshe，XIE Baoli，DAI Lifang

（School of Mathematics and Statistics，Tianshui Normal University，Tianshui 741000，China）

Through the basic types of interpolation polynomials, such as Lagrange interpolation，Newton interpolation，piecewise linear interpolation，etc.，also the thinking method of polynomial interpolation function construction and the limitations of polynomial interpolation，the mathematicians′ scientific spirit of perseverance and rigorousness is shown，as well as the cultivation of the realistic and innovative spirit and the responsibility of students during the teaching process.

Lagrange interpolation；Newton interpolation；Rung phenomenon；interpolation idea

1007-9831（2023）07-0066-04

O241∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2023.07.013

2022-10-03

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（12161077）； 甘肅省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度課題（GS[2021]GHB1933）；天水師范學(xué)院2020年度校級教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目（JY202003，JY202004）

高忠社（1979 -），男，甘肅寧縣人，副教授，碩士，從事微分方程數(shù)值解方法及其應(yīng)用研究．E-mail：gaozhongshe@126.com