孟軍輝，劉清洋，金澤華

（1.北京理工大學(xué) 宇航學(xué)院，北京 100081；2.北京理工大學(xué)重慶創(chuàng)新中心，重慶 401135）

超材料設(shè)計(jì)是指通過(guò)設(shè)計(jì)材料的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，從而人為控制材料的各種屬性以獲得自然界沒(méi)有的新材料[1].負(fù)泊松比超材料是一種具有拉脹特性(負(fù)泊松比)的力學(xué)超材料，由某一特定的結(jié)構(gòu)(胞元)進(jìn)行周期性地排列構(gòu)成，其等效泊松比和等效彈性模量主要由構(gòu)成該結(jié)構(gòu)的基質(zhì)材料和胞元的幾何參數(shù)決定.自L(fǎng)AKES 等[2]成功制備出泊松比值為?0.7 的聚氨酯泡沫以來(lái)，負(fù)泊松比材料的研究進(jìn)入到快速發(fā)展的階段，現(xiàn)有的負(fù)泊松比材料設(shè)計(jì)通常是基于已有的負(fù)泊松比材料的胞元構(gòu)型，通過(guò)理論公式來(lái)對(duì)所設(shè)計(jì)材料的力學(xué)性能進(jìn)行預(yù)測(cè).或通過(guò)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)現(xiàn)有的胞元構(gòu)型進(jìn)行改進(jìn).宮曉博[3]提出了一種改進(jìn)的四角星形蜂窩結(jié)構(gòu)，對(duì)該結(jié)構(gòu)的彈性模量和剪切模量進(jìn)行了理論分析，并應(yīng)用于飛行器蒙皮結(jié)構(gòu).叢琳[4]提出了一種改進(jìn)的二維圓形負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)，將圓形結(jié)構(gòu)的內(nèi)部用圓柱進(jìn)行填充，并采用基本梁理論對(duì)其力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行了預(yù)測(cè)，通過(guò)改變填充情況實(shí)現(xiàn)了對(duì)材料泊松比的調(diào)節(jié).基于理論分析的設(shè)計(jì)方法計(jì)算方便，并能夠滿(mǎn)足設(shè)計(jì)需求，但通常并非“最優(yōu)”的結(jié)果，同時(shí)難以設(shè)計(jì)出全新的胞元拓?fù)錁?gòu)型.

負(fù)泊松比材料設(shè)計(jì)除了基于理論分析拓展自然界現(xiàn)有的材料之外，可以引入拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)來(lái)發(fā)現(xiàn)新型滿(mǎn)足設(shè)計(jì)需求的負(fù)泊松比材料.拓?fù)鋬?yōu)化的方法在傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)領(lǐng)域已經(jīng)有了比較成熟的應(yīng)用[5?7].對(duì)于負(fù)泊松比材料的優(yōu)化設(shè)計(jì)，現(xiàn)有拓?fù)鋬?yōu)化方法通常包括微觀(guān)尺度拓?fù)鋬?yōu)化方法和宏觀(guān)?微觀(guān)一體化拓?fù)鋬?yōu)化方法.圖1(a)示意了微觀(guān)尺度的超材料拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，整個(gè)結(jié)構(gòu)在宏觀(guān)上的材料分布事先確定，對(duì)微觀(guān)尺度的材料胞元構(gòu)型進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，該方法著重于材料局部的拓?fù)錁?gòu)型設(shè)計(jì)，而不注重材料在宏觀(guān)路徑上的分布.雖然能夠得到性能較為優(yōu)異的負(fù)泊松比材料，但該方法存在微觀(guān)尺度超材料難以制造的問(wèn)題.圖1(b)所示是“微觀(guān)?宏觀(guān)尺度一體化”的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法，該方法通過(guò)拓?fù)鋬?yōu)化得到微觀(guān)上材料的拓?fù)錁?gòu)型，同時(shí)用該微觀(guān)材料均勻化后的力學(xué)性質(zhì)作為輸入，用于設(shè)計(jì)該超材料在宏觀(guān)尺度上的材料路徑分布，實(shí)現(xiàn)微觀(guān)和宏觀(guān)兩種尺度上設(shè)計(jì)優(yōu)化.SIGMUND[8]將胞元微結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為了胞元結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，用具有相同微結(jié)構(gòu)的胞元進(jìn)行周期性排列，形成宏觀(guān)上具有特殊力學(xué)性質(zhì)的超材料.劉嶺等[9]以最小柔度為目標(biāo)實(shí)現(xiàn)了承載結(jié)構(gòu)的微觀(guān)、宏觀(guān)一體化拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì).張會(huì)凱[10]在宏觀(guān)、微觀(guān)兩個(gè)尺度上建立了兩套設(shè)計(jì)變量進(jìn)行了分層梯度超材料的兩尺度一體化的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì).“微觀(guān)?宏觀(guān)尺度一體化”的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法的計(jì)算量相對(duì)較大，設(shè)計(jì)出的結(jié)構(gòu)一般沒(méi)有周期性.

圖1 不同尺度的超材料設(shè)計(jì)方法Fig.1 Topology optimization method of metamaterial in different scales

變形飛行器需要根據(jù)飛行高度和速度的變化而自適應(yīng)地調(diào)整機(jī)翼構(gòu)型，從而顯著地提高飛行器的各項(xiàng)性能，以拓展飛行包線(xiàn).若考慮增大翼面積的情況，機(jī)翼展向和弦向同步變化，傳統(tǒng)的硬殼式蒙皮材料無(wú)法同時(shí)滿(mǎn)足以上要求.蜂窩結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)靈感來(lái)源于大自然蜂窩，具有輕質(zhì)和力學(xué)性能優(yōu)異的特點(diǎn)，將其與負(fù)泊松比效應(yīng)相結(jié)合，應(yīng)用于飛行器蒙皮材料，可通過(guò)胞壁的彎曲變形以實(shí)現(xiàn)蒙皮的面內(nèi)變形，同時(shí)滿(mǎn)足一定的面外承載的需求.劉凱宇[11]針對(duì)展向變形機(jī)翼，基于傳統(tǒng)內(nèi)凹蜂窩的缺陷，提出了一種面內(nèi)柔性好、面外剛度高的蒙皮改進(jìn)方案.陳以金[12]設(shè)計(jì)和研究了反四手性負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)和基于剪紙的零泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)作為變形機(jī)翼的內(nèi)部支撐.SPADONI 等[13]將三韌帶圓節(jié)點(diǎn)手性蜂窩應(yīng)用于機(jī)翼的填充芯才，通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)比分析了三種不同節(jié)點(diǎn)半徑的手性超材料制成的填充機(jī)翼，結(jié)果證明手性蜂窩結(jié)構(gòu)填充材料可以承受大撓度的變形.LIU 等[14]提出一種余弦波紋形零泊松比超材料，并將其成功應(yīng)用于變彎度機(jī)翼.上述工作將已有的蜂窩構(gòu)型進(jìn)行改進(jìn)并應(yīng)用于變形飛行器，取得了較好的效果.

由于前文所述“微觀(guān)尺度拓?fù)鋬?yōu)化”和“微觀(guān)?宏觀(guān)一體化拓?fù)鋬?yōu)化”對(duì)負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，需要對(duì)不同蜂窩單元進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化以滿(mǎn)足面內(nèi)變形和面外承載的需求，分別存在微觀(guān)尺度難以加工和優(yōu)化過(guò)程計(jì)算量龐大等問(wèn)題.實(shí)際上通過(guò)宏觀(guān)蜂窩單元的周期性排列也可實(shí)現(xiàn)負(fù)泊松比蜂窩結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能表征，利用這一特點(diǎn)可有效減小拓?fù)鋬?yōu)化迭代過(guò)程的計(jì)算量，以提升柔性蒙皮材料的結(jié)構(gòu)優(yōu)化效率.

超材料拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)在數(shù)值算法上通常有優(yōu)化準(zhǔn)則法(optimality criteria，OC)、移動(dòng)漸近線(xiàn)法(method of moving asymptotes，MMA)等.OC 法是從某初始的密度分布開(kāi)始，按照某一迭代公式，迭代獲得一個(gè)更優(yōu)的密度分布.該迭代公式是由具體的優(yōu)化問(wèn)題的所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)則來(lái)決定的.其最大的特點(diǎn)是收斂速度快、迭代次數(shù)少，要求重分析的次數(shù)一般同結(jié)構(gòu)變量多少和復(fù)雜程度無(wú)關(guān)[15].OC 法易于處理單約束的優(yōu)化問(wèn)題.XIA 等[16]應(yīng)用OC 法進(jìn)行了負(fù)泊松比胞元的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，使用泊松比與楊氏模量混合函數(shù)作為目標(biāo)，難以控制優(yōu)化結(jié)果的負(fù)泊松比值.ZHANG 等[17]通過(guò)改進(jìn)的目標(biāo)函數(shù)來(lái)指定超材料的理想彈性張量，用OC 法實(shí)現(xiàn)了超材料泊松比的定量設(shè)計(jì)，但優(yōu)化結(jié)果的實(shí)際泊松比與其指定的泊松比仍有較大程度的差距.MMA 方法是一種能夠解決多約束優(yōu)化問(wèn)題的高效數(shù)值算法.對(duì)于超材料的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，此方法可以同時(shí)對(duì)體積比和泊松比進(jìn)行精確的約束.崔宇紅[18]應(yīng)用MMA 法設(shè)計(jì)得到了一種泊松比接近–1 的負(fù)泊松比初始結(jié)構(gòu)，并對(duì)該結(jié)構(gòu)進(jìn)行了參數(shù)化建模，實(shí)現(xiàn)了對(duì)該材料泊松比的精確控制.ANDREASSEN 等[19]用MMA 法進(jìn)行了二維和三維超材料的泊松比最小化設(shè)計(jì)，并對(duì)設(shè)計(jì)得到的三維負(fù)泊松比超材料進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.WANG[20]用MMA 算法設(shè)計(jì)得到了具有面對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)和中心對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)的三維拉脹材料.ZONG 等[21]提出了一種兩步拓?fù)鋬?yōu)化方法，用MMA 算法實(shí)現(xiàn)了三維手性負(fù)泊松比超材料的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì).但是現(xiàn)有基于MMA 法的優(yōu)化設(shè)計(jì)未考慮材料的等效彈性模量.事實(shí)上從工程角度，柔性蒙皮材料設(shè)計(jì)，往往對(duì)蒙皮整體的變形量提出要求，這就使材料在具有一定的泊松比的同時(shí)也需要關(guān)注彈性模量等力學(xué)性能.

本文以應(yīng)用于變體飛行器蒙皮材料的負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，針對(duì)現(xiàn)階段負(fù)泊松比超材料設(shè)計(jì)中存在的制造性差和不具備周期性的問(wèn)題，進(jìn)行了宏觀(guān)尺度的負(fù)泊松比超材料拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)研究.通過(guò)對(duì)比分析優(yōu)化準(zhǔn)則法、移動(dòng)漸近線(xiàn)法等優(yōu)化方法，提出適用于具有周期性的超材料設(shè)計(jì)的宏觀(guān)尺度拓?fù)鋬?yōu)化方法，以實(shí)現(xiàn)復(fù)雜約束下的負(fù)泊松比超材料拓?fù)錁?gòu)型的優(yōu)化設(shè)計(jì)；并基于材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)的基本理論提出一種通用的超材料桿系結(jié)構(gòu)理論模型，對(duì)優(yōu)化所得結(jié)構(gòu)拉脹效應(yīng)進(jìn)行工程估算；通過(guò)對(duì)比分析驗(yàn)證了宏觀(guān)尺度拓?fù)鋬?yōu)化方法的有效性，為變體飛行器蒙皮超材料的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)提供了參考.

1 宏觀(guān)尺度拓?fù)鋬?yōu)化方法

為了解決微觀(guān)尺度和微觀(guān)?宏觀(guān)一體化的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法在變形飛行器蒙皮超材料設(shè)計(jì)上的問(wèn)題，本文提出一種宏觀(guān)尺度下的負(fù)泊松比超材料的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法，充分利用蜂窩結(jié)構(gòu)表征單元具有周期性重復(fù)的特點(diǎn)，將負(fù)泊松比超材料的拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為材料單個(gè)胞元的拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題.在設(shè)計(jì)出易于制造的超材料的同時(shí)，充分節(jié)省計(jì)算量.其步驟是：

①將宏觀(guān)結(jié)構(gòu)離散為由宏觀(guān)尺度的胞元組成的離散結(jié)構(gòu)，以實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的初始周期性序構(gòu)；

②根據(jù)整體結(jié)構(gòu)載荷及邊界條件確定代表性胞元承受的載荷及邊界條件，之后用拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)單個(gè)胞元的最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型；

③對(duì)優(yōu)化得到的最優(yōu)胞元構(gòu)型依照初始離散結(jié)構(gòu)進(jìn)行周期性排序形成滿(mǎn)足要求的負(fù)泊松比超材料.

該方法的示意圖如圖2 所示.

圖2 宏觀(guān)尺度拓?fù)鋬?yōu)化方法Fig.2 Macro scale optimization method

2 基于復(fù)雜約束的負(fù)泊松比超材料拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

基于上述的宏觀(guān)尺度拓?fù)鋬?yōu)化方法，對(duì)于負(fù)泊松比超材料的設(shè)計(jì)，主要在于單個(gè)胞元的拓?fù)鋬?yōu)化.可將單個(gè)胞元作為設(shè)計(jì)域，離散為有限單元，以每個(gè)單元的密度作為設(shè)計(jì)變量，以整個(gè)胞元的總體積作為約束條件，根據(jù)不同的設(shè)計(jì)要求合理地選擇目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì).與一般承載結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化不同的是，單個(gè)胞元的邊界條件需要重新確定.承載結(jié)構(gòu)有限元模型的邊界條件一般是支座和集中力的形式，只要在固定相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)或?qū)?jié)點(diǎn)施加力即可，而具有周期性排列的超材料，每一個(gè)胞元都受到與之相鄰的胞元力的作用，胞元邊界上的位移需要相互協(xié)調(diào)，而每個(gè)胞元產(chǎn)生的變形又相同，最終表現(xiàn)為胞元相對(duì)的邊的位移需要滿(mǎn)足某種協(xié)調(diào)關(guān)系，即周期性邊界條件.此外，與承載結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中常見(jiàn)的柔度、剛度等易求得的目標(biāo)函數(shù)不同，超材料胞元的拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)函數(shù)一般是其等效的超材料的楊氏模量、泊松比等力學(xué)性能指標(biāo)，這些性能指標(biāo)還需要利用漸進(jìn)均勻化方法從離散的密度分布中求得.以下就優(yōu)化程序中應(yīng)用的漸進(jìn)均勻化方法和周期性邊界條件進(jìn)行討論.

2.1 漸進(jìn)均勻化方法

均勻化理論最早應(yīng)用于復(fù)合材料領(lǐng)域.20 世紀(jì)70 年代，BABUSKA[22]提出了具有嚴(yán)格理論基礎(chǔ)的漸進(jìn)均勻化方法.這種方法將材料的微觀(guān)特性和宏觀(guān)的力學(xué)行為聯(lián)系起來(lái).在超材料的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)當(dāng)中，漸進(jìn)均勻化方法可以從離散的密度分布中提取出超材料的楊氏模量和泊松比作為優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)或約束函數(shù).

在線(xiàn)彈性范圍內(nèi)，可以使用均勻化方法評(píng)估周期性結(jié)構(gòu)在宏觀(guān)上所表現(xiàn)出的等效本構(gòu)行為.對(duì)于三維空間的單胞Y，均勻化的彈性張量是對(duì)單胞Y內(nèi)每一點(diǎn)彈性張量的積分的平均.為了適應(yīng)數(shù)值算法，本文采用了基于能量的均勻化方法，該方法采用了平均應(yīng)力和應(yīng)變定理，均勻化的彈性張量可以寫(xiě)成應(yīng)變互能的形式

在有限元模型中，式(1)可以寫(xiě)為求和的形式

其中Qij為

通過(guò)漸進(jìn)均勻化方法，優(yōu)化程序就可以從胞元的有限元模型中求解出材料宏觀(guān)上的等效彈性張量.設(shè)計(jì)時(shí)，可以根據(jù)不同的要求，將漸進(jìn)均勻化得到的彈性張量的其中一些分量進(jìn)行組合，構(gòu)成目標(biāo)函數(shù)或約束函數(shù)，如方向1 的泊松比，從而優(yōu)化出均有某些特殊力學(xué)性能的超材料.

2.2 周期性邊界條件

考慮到胞元在整個(gè)結(jié)構(gòu)中分布具有的周期性，因而在優(yōu)化程序中，胞元設(shè)計(jì)域被離散為固定有限元網(wǎng)格之后，其有限元模型還需要滿(mǎn)足周期性邊界條件.對(duì)于具有周期性結(jié)構(gòu)分布的超材料，假設(shè)每個(gè)胞元都處于同樣的變形狀態(tài)，其中每一個(gè)胞元的邊界上的位移都與相鄰的胞元相關(guān)，其邊界上的位移和力都必須滿(mǎn)足一定的協(xié)調(diào)關(guān)系.在周期性假設(shè)之下，胞元在給定應(yīng)變的作用下，其位移場(chǎng)ui可以寫(xiě)成宏觀(guān)的位移場(chǎng)及周期性的波動(dòng)位移場(chǎng)之和：

對(duì)于二維正方形胞元，周期性邊界條件可以表述為胞元相對(duì)2 條邊上的位移關(guān)系，需滿(mǎn)足：

“k+”和“k–”分別表示1 個(gè)胞元中的一對(duì)平行且相對(duì)的胞元邊界(2 條邊界垂直于第k方向)，兩式相減則可消去周期性波動(dòng)的未知量 ，得：

2.3 基于OC 法的超材料拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

優(yōu)化準(zhǔn)則法是從某一初始的設(shè)計(jì)出發(fā)，按照一定的迭代公式，來(lái)得到一個(gè)改進(jìn)的設(shè)計(jì).相應(yīng)迭代公式可以由目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)組成的拉格朗日函數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)，拉格朗日函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足數(shù)學(xué)上的Kuhn-Tucker條件.對(duì)于優(yōu)化問(wèn)題：

式中：f(x)為目標(biāo)函數(shù)；fj為約束條件；xi為設(shè)計(jì)變量.對(duì)于上述優(yōu)化問(wèn)題可以引入Lagrange 乘子，建立如下的拉格朗日函數(shù)：

Kuhn-Tucker 條件可以寫(xiě)為：

基于上述理論可以推導(dǎo)出優(yōu)化準(zhǔn)則法的迭代方式：

式中：m為正移動(dòng)極限；η為阻尼系數(shù)；Bi為從最優(yōu)條件當(dāng)中獲得的.OC 法對(duì)多變量單約束的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題具有很高的優(yōu)化效率.

本文對(duì)于一個(gè)正方形胞元設(shè)計(jì)域離散為100×100 的固定有限元網(wǎng)格，以每個(gè)單元的密度為設(shè)計(jì)變量，使用SIMP 法和OC 法進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì).OC 法一般要求優(yōu)化問(wèn)題具有單個(gè)約束，對(duì)于負(fù)泊松比材料胞元的優(yōu)化設(shè)計(jì)，則不能同時(shí)約束胞元的總體積比和泊松比.文獻(xiàn)[16]中采用總體積比作為單個(gè)約束條件，而將泊松比和剛度作為優(yōu)化目標(biāo).構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)：

式中：E1122、E1111、E2222都是均勻化之后的彈性張量中的分量；E1111、E2222分別為方向1 和方向2 上的楊氏模量，泊松比μ=E1122/E1111；目標(biāo)函數(shù)中β∈(0，1)為自定義的固定參數(shù)；指數(shù)l為迭代次數(shù).使用此目標(biāo)函數(shù)，優(yōu)化器傾向于在初始迭代時(shí)最大化材料方向1和方向2 上的楊氏模量.當(dāng)優(yōu)化過(guò)程進(jìn)展，即l增加時(shí)，優(yōu)化器傾向于最小化E1122的值，從而使泊松比μ=E1122/E1111變小直至為負(fù).綜上所述，該負(fù)泊松比材料胞元的拓?fù)鋬?yōu)化模型為：

式中：n為設(shè)計(jì)域離散為有限元后的單元數(shù)量；V(x)和V0分別為材料體積和設(shè)計(jì)域體積；f為約束體積比；U和F分別為位移矢量和力矢量；K為全局剛度矩陣.取基質(zhì)材料的楊氏模量為1，泊松比為0.3，體積約束取為0.5，初始猜測(cè)密度分布如圖3 所示，編寫(xiě)程序進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化.迭代80 步后，得到的胞元密度分布如圖4 所示.漸進(jìn)均勻化理論顯示，該胞元的泊松比為?0.498.

圖3 初始猜測(cè)密度分布Fig.3 Initial density distribution

圖4 OC 法優(yōu)化負(fù)泊松比材料設(shè)計(jì)結(jié)果Fig.4 Design result of auxetic metamaterial by OC method

上述優(yōu)化方法通過(guò)合理的構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)使設(shè)計(jì)結(jié)果實(shí)現(xiàn)了負(fù)泊松比，然而這種方法設(shè)計(jì)的負(fù)泊松比值是無(wú)法指定的.為了實(shí)現(xiàn)指定負(fù)泊松比超材料的設(shè)計(jì)，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)：

μ?指定泊松比值 =?0.5，給定不同的初始密度分布，可以得到不同的胞元構(gòu)型，如表1 所示.

表1 給定不同的初始密度分布得到的指定泊松比超材料胞元拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Tab.1 Topology optimization result of metamaterials with prescribed Poisson’s ratio by given different initial density distributions

從以上優(yōu)化結(jié)果可以看出，指定泊松比的效果和初始密度有較大關(guān)系.3 種不同的初始密度分別優(yōu)化出了反四手性、內(nèi)凹六邊形和一種復(fù)雜的混合星形的拓?fù)錁?gòu)型.對(duì)于第一種和第三種構(gòu)型，胞元的泊松比在指定的泊松比?0.5 附近，而第二種初始密度優(yōu)化出的胞元構(gòu)型，方向1、2 的泊松比相差較遠(yuǎn)，且都與指定泊松比?0.5 相差較遠(yuǎn).

為了進(jìn)一步驗(yàn)證該方法指定泊松比的效果，分別指定不同的泊松比，對(duì)同一初始密度分布(表1 中第三種)進(jìn)行優(yōu)化，得到結(jié)果如表2 所示.

表2 MMA 法和OC 法指定泊松比超材料胞元設(shè)計(jì)結(jié)果的對(duì)比Tab.2 Comparison of design results of metamaterials with prescribed Poisson's ratio by MMA and OC

分析表2 的設(shè)計(jì)結(jié)果可以得出，優(yōu)化結(jié)果的泊松比值與指定的泊松比值之差均小于0.03，說(shuō)明了該方法構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)指定泊松比的有效性.

2.4 基于MMA 法的超材料復(fù)雜約束拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

在上一節(jié)的優(yōu)化設(shè)計(jì)當(dāng)中，材料的拉脹效應(yīng)都是通過(guò)構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)的，而將泊松比作為約束條件也能夠?qū)崿F(xiàn)指定泊松比材料的設(shè)計(jì).為了使優(yōu)化結(jié)果具有對(duì)稱(chēng)的結(jié)構(gòu)，需要對(duì)優(yōu)化模型在橫向和縱向上的泊松比都施加約束.在約束條件中加入泊松比，再加上體積約束，總共將產(chǎn)生3 個(gè)約束函數(shù)，使該拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題變成了一種復(fù)雜的多約束的優(yōu)化問(wèn)題.OC 法對(duì)大量設(shè)計(jì)變量和少量約束的優(yōu)化問(wèn)題具有較高的優(yōu)化效率，但對(duì)于多約束拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題，由于式(2)中要依次引入相應(yīng)約束的Lagrange乘子，每個(gè)Lagrange 乘子要采用不同的準(zhǔn)則，優(yōu)化的求解效率將大大降低[23].OC 法由于算法本身的局限性，難以處理這種多約束的優(yōu)化問(wèn)題，此時(shí)已不再適用.

移動(dòng)漸近線(xiàn)法通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)函數(shù)在當(dāng)前設(shè)計(jì)點(diǎn)處進(jìn)行一階倒變量泰勒展開(kāi)，用線(xiàn)性化的方法來(lái)近似地描述原非線(xiàn)性的優(yōu)化問(wèn)題，將隱式非凸的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列顯式的凸子問(wèn)題來(lái)求解，每一個(gè)子問(wèn)題都是對(duì)原問(wèn)題的凸近似[24].MMA 法適用于求解具有復(fù)雜目標(biāo)函數(shù)和具有多個(gè)約束條件的拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題.

本文應(yīng)用MMA 法進(jìn)行了負(fù)泊松比超材料胞元的多約束拓?fù)鋬?yōu)化.當(dāng)泊松比成為約束條件之后，目標(biāo)函數(shù)則不需要再考慮泊松比，此時(shí)可以將目標(biāo)函數(shù)設(shè)定為其他力學(xué)性能指標(biāo)，使材料在滿(mǎn)足指定的負(fù)泊松比和體積比的情況下，在其他的某些力學(xué)性能上達(dá)到最優(yōu).變形飛行器蒙皮超材料的設(shè)計(jì)往往對(duì)材料在受力后的變形量提出要求，這就需要對(duì)超材料的彈性模量進(jìn)行考慮.本文以彈性模量為目標(biāo)函數(shù)，約束材料的總體積比和該材料在1、2兩個(gè)方向上的泊松比，使超材料在1、2 兩個(gè)方向上的彈性模量E1111、E2222最大化.該方法的優(yōu)化模型如下：

圖5 初始猜測(cè)密度分布Fig.5 Initial density distribution

圖6 MMA 法優(yōu)化負(fù)泊松比材料設(shè)計(jì)結(jié)果Fig.6 Design result of auxetic metamaterial by MMA method

觀(guān)察表2 中MMA 法優(yōu)化結(jié)果的胞元拓?fù)錁?gòu)型，發(fā)現(xiàn)MMA 法的結(jié)果具有穩(wěn)定性，指定從?0.1～?0.5的泊松比，MMA 法優(yōu)化得到的胞元結(jié)果具備相似的星形混合四邊形的構(gòu)型，只是在每根桿的粗細(xì)和角度上進(jìn)行了微調(diào).對(duì)比OC 法和MMA 的優(yōu)化結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)MMA 法優(yōu)化結(jié)果的泊松比距離約束的泊松比 μ?的偏差更小，不超過(guò)0.006.由此可以看出把泊松比作為約束條件指定超材料的泊松比可以達(dá)到更好的效果.此外，由于本算例中的MMA 法將胞元1、2 方向上楊氏模量的和作為目標(biāo)函數(shù)，優(yōu)化結(jié)果的楊氏模量顯著高于OC 法的結(jié)果.綜上所述，用MMA法進(jìn)行胞元指定泊松比的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，能夠在較為精確地約束泊松比的情況下，使超材料的某些力學(xué)屬性最大化.

2.5 優(yōu)化結(jié)果的提取和序構(gòu)

對(duì)優(yōu)化程序得到的最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型密度分布的提取，既要保留原密度分布的主要構(gòu)型，又要使提取出的二維胞元的幾何特征盡量簡(jiǎn)單，易于后續(xù)的分析與制造.為了使提取之后的胞元盡量具有規(guī)則的幾何外形，本文對(duì)胞元的優(yōu)化結(jié)果建立了100 mm×100 mm的坐標(biāo)，便于對(duì)其幾何特征的測(cè)量，胞元的邊界盡量以直折線(xiàn)表示，以表3 中MMA 法指定泊松比為?0.5的超材料胞元設(shè)計(jì)結(jié)果為例，提取之后的胞元構(gòu)型如圖7 所示，提取后的胞元二維結(jié)構(gòu)形式能基本反應(yīng)優(yōu)化結(jié)果的拓?fù)錁?gòu)型.

表3 超材料楊氏模量和泊松比的有限元結(jié)果和理論值Tab.3 FE results and theoretical values of Young's modulus and Poisson's ratio of metamaterials

圖7 提取胞元拓?fù)湫问紽ig.7 Extraction of cell topology

3 優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果的力學(xué)性能驗(yàn)證

為了驗(yàn)證第二節(jié)中設(shè)計(jì)的胞元構(gòu)成的超材料的力學(xué)性能，對(duì)設(shè)計(jì)出的超材料構(gòu)建有限元模型，分析其在單向拉壓下的變形情況.為了驗(yàn)證宏觀(guān)尺度拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果的有效性，應(yīng)根據(jù)有限元分析得到的變形量，分別考察超材料在單個(gè)胞元上的泊松比和超材料整體的泊松比，將兩種泊松比值進(jìn)行對(duì)比，對(duì)優(yōu)化結(jié)果的力學(xué)性能進(jìn)行驗(yàn)證.

3.1 有限元驗(yàn)證

等厚二維負(fù)泊松比超材料的泊松比與其厚度無(wú)關(guān).為了節(jié)省計(jì)算量，對(duì)MMA 法指定泊松比為?0.5、?0.4、?0.3、?0.2 的超材料胞元設(shè)計(jì)結(jié)果序構(gòu)得到的5×5 超材料劃分殼單元，再施加強(qiáng)制位移下，用有限元軟件對(duì)其進(jìn)行仿真.用MMA 法指定泊松比為?0.5、?0.4、?0.3、?0.2 的超材料胞元設(shè)計(jì)結(jié)果序構(gòu)而成的超材料靜力學(xué)分析應(yīng)力云圖如圖8 所示.

圖8 超材料在位移載荷下的應(yīng)力云圖Fig.8 Stress contour of metamaterials under displacement load

為了驗(yàn)證上面幾種超材料的泊松比，本文在超材料中選取一些參考點(diǎn)，通過(guò)測(cè)量評(píng)價(jià)參考點(diǎn)橫向和縱向的位移得到超材料的泊松比值.為了避免邊界效應(yīng)的影響，選取5×5 超材料中心處的胞元進(jìn)行泊松比的計(jì)算，選取參考點(diǎn)如圖9 所示.

圖9 單元泊松比計(jì)算參考點(diǎn)的選取Fig.9 Selection of reference points for calculation of Poisson,s ratio of cell

在工程實(shí)際應(yīng)用中，往往更關(guān)心超材料在宏觀(guān)尺度下的整體泊松比，以考察超材料在2 個(gè)方向上的變形量是否滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求.計(jì)算超材料整體的泊松比，則需要把參考點(diǎn)取在材料的邊界上，如圖10 所示.

圖10 計(jì)算超材料整體的泊松比參考點(diǎn)的選取Fig.10 Selection of reference points for calculating Poisson,s ratio of metamaterials as a whole

根據(jù)泊松比的定義μ=?ε2/ε1即可得到負(fù)泊松比材料的胞元泊松比和超材料在宏觀(guān)上的整體泊松比值，分別對(duì)MMA 法指定泊松比為?0.5、?0.4、?0.3、?0.2 的設(shè)計(jì)結(jié)果的胞元泊松比及整體泊松比進(jìn)行計(jì)算，得到的泊松比值如表3 所示.

觀(guān)察表3 可以得出，由有限元模型計(jì)算得到的胞元泊松比基本符合漸進(jìn)均勻化的結(jié)果，偏差在0.053 以?xún)?nèi).由指定泊松比優(yōu)化設(shè)計(jì)得到的胞元拓?fù)湫问竭M(jìn)行序構(gòu)，得到的超材料宏觀(guān)上的整體泊松比仍能滿(mǎn)足指定泊松比的要求.

3.2 桿系結(jié)構(gòu)理論模型的驗(yàn)證

理論模型是負(fù)泊松比超材料的重要研究領(lǐng)域，針對(duì)不同的胞元構(gòu)型，國(guó)內(nèi)外的研究已經(jīng)獲得了一系列較為完整的理論公式.針對(duì)內(nèi)凹六邊形構(gòu)型，比較有代表性的有GIBSON 等[25?26]及EVANS[27]理論模型.PRALL 等[28]首次詳細(xì)地推導(dǎo)了六韌帶手性結(jié)構(gòu)超材料的理論公式；MENG 等[29]推導(dǎo)得到了星形結(jié)構(gòu)超材料的等效楊氏模量和泊松比的理論公式；QI 等[30]對(duì)現(xiàn)有的各種超材料拓?fù)錁?gòu)型的理論公式進(jìn)行了較為完整的綜述.目前，對(duì)于上一節(jié)設(shè)計(jì)出的較為復(fù)雜星形混合四邊形的胞元構(gòu)型，尚無(wú)相對(duì)應(yīng)的理論公式，本文借鑒了現(xiàn)有的理論公式的推導(dǎo)方法，對(duì)該胞元泊松比的理論值進(jìn)行了推導(dǎo).

對(duì)于MMA 法優(yōu)化出的星形和四角形混雜的胞元拓?fù)錁?gòu)型，可以抽象為圖11 所示的鋼架模型.對(duì)該鋼架的上下邊界施加均布力來(lái)模擬胞元受到單向應(yīng)力的情況.

圖11 胞元拓?fù)錁?gòu)型抽象為剛架模型Fig.11 Topology of cell abstracted as rigid frame model

模型中所有胞元壁的連接點(diǎn)為剛性連接，將胞元壁視為歐拉梁模型，受力時(shí)發(fā)生拉壓和彎曲變形.考慮到載荷和結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性、結(jié)構(gòu)的內(nèi)力也必然具有對(duì)稱(chēng)性，在計(jì)算時(shí)可以?xún)H計(jì)算整個(gè)結(jié)構(gòu)的1/4，如圖12 所示.

圖12 1/4 胞元結(jié)構(gòu)Fig.12 1/4 Structure of cell

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可以將作用在EF桿上的垂直于桿軸向向上的均布力簡(jiǎn)化為F點(diǎn)的集中力.考慮到胞元在發(fā)生橫向和縱向變形的時(shí)候，上圖中水平和豎直的桿件(分別為EF桿、GH桿、AB桿、AD桿)只受到拉力或壓力，不發(fā)生彎曲變形，因此可以在F點(diǎn)和G點(diǎn)施加轉(zhuǎn)角約束，同時(shí)分別約束E點(diǎn)和H點(diǎn)的水平和豎直位移，這樣就可以保證EF桿和GH桿在應(yīng)力分析時(shí)不發(fā)生彎曲.在B點(diǎn)和D點(diǎn)施加滑動(dòng)鉸支座，A點(diǎn)施加固定鉸支座，可以約束AB桿和AD桿不發(fā)生彎曲.此時(shí)EF桿上的均布力就可以簡(jiǎn)化為F點(diǎn)處的集中力，大大減少了結(jié)構(gòu)求解的計(jì)算量.上述鋼架的結(jié)構(gòu)的求解仍是一個(gè)高度靜不定的結(jié)構(gòu)力學(xué)問(wèn)題.參考結(jié)構(gòu)力學(xué)中通用的求解靜不定問(wèn)題的方法，解除支座約束，以未知力代替，得到結(jié)構(gòu)的靜定相當(dāng)系統(tǒng)如圖13 所示.

圖13 結(jié)構(gòu)的靜定相當(dāng)系統(tǒng)Fig.13 Statically equivalent system of the structure

求解以上的靜不定系統(tǒng)，構(gòu)建如下正則方程組，共10 個(gè)方程10 個(gè)未知力.

式中：δijXj表示在第j個(gè)未知力單獨(dú)作用下i處的位移；ΔiF表示在外力F的單獨(dú)作用下i處的位移.因?yàn)橹ё幖s束方向上的位移為0，所以所有力和未知力在i處產(chǎn)生的位移應(yīng)為0，即等式的右端為0.求解該正則方程組即可得到所有支座處的約束力X1、X2、···、X10的值.再利用單位載荷法得到F點(diǎn)和G點(diǎn)橫向和縱向的位移ΔFy、ΔGx.進(jìn)而得到胞元的橫向及縱向等效應(yīng)變：

式中e為胞元的邊長(zhǎng).再根據(jù)泊松比和楊氏模量的定義，即可得到該種胞元構(gòu)型的負(fù)泊松比超材料的楊氏模量和泊松比的理論值.

式中b為胞元的厚度，2F/（eb）即為縱向應(yīng)力的大小.

對(duì)MMA 法指定泊松比為?0.5、?0.4、?0.3、?0.2的設(shè)計(jì)結(jié)果的楊氏模量和泊松比用以上的理論進(jìn)行計(jì)算，得到表3 所示的結(jié)果.

有限元模型和理論模型都對(duì)原始的優(yōu)化結(jié)果密度分布進(jìn)行了提取和簡(jiǎn)化，提取過(guò)程中忽略了原始優(yōu)化結(jié)果中的灰度單元和一些細(xì)小的、不易制造的幾何特征，使胞元能夠被一些幾何參數(shù)所描述，而不是100×100 個(gè)單元的密度值，使序構(gòu)后的超材料具有可制造型.胞元拓?fù)錁?gòu)型的提取造成了有限元模型和理論模型的誤差，理論模型忽略的原始幾何特征較多，與設(shè)計(jì)泊松比值的偏差較大，但模型簡(jiǎn)單直觀(guān).有限元模型是對(duì)原始設(shè)計(jì)結(jié)果的二維幾何特征進(jìn)行提取，得到的胞元模型經(jīng)過(guò)仿真得到的泊松比值與設(shè)計(jì)值偏差較小，特別是胞元泊松比值.這種模型的提取方式更加能滿(mǎn)足指定泊松比值優(yōu)化設(shè)計(jì)的要求.由有限元模型計(jì)算得到的整體泊松比值與胞元泊松比值的偏差較小，這種偏差主要由邊界效應(yīng)引起，隨著超材料中單元數(shù)量的增多，這種偏差將會(huì)越小.綜上所述，由設(shè)計(jì)域劃分，到胞元拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，再到序構(gòu)的宏觀(guān)尺度超材料拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法能夠滿(mǎn)足設(shè)計(jì)需求.

4 結(jié) 論

① 針對(duì)超材料胞元構(gòu)型的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，提出了一種宏觀(guān)尺度拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)的方法，分別應(yīng)用OC 法和MMA 法進(jìn)行指定泊松比拓?fù)鋬?yōu)化，得到了一系列具有指定泊松比的胞元構(gòu)型的設(shè)計(jì)結(jié)果.

② 用有限元模型分析和驗(yàn)證了設(shè)計(jì)結(jié)果的力學(xué)性能.分別計(jì)算了MMA 法拓?fù)鋬?yōu)化得到的4 種超材料中心胞元的泊松比和材料整體的結(jié)構(gòu)泊松比，對(duì)這2 種泊松比進(jìn)行了對(duì)比分析.針對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化出的胞元構(gòu)型，參考現(xiàn)有的理論模型，推導(dǎo)了一種適用于星形混合四邊形胞元構(gòu)型的超材料的理論模型，用以解釋該新型胞元構(gòu)型的拉脹效應(yīng).綜合了理論模型和有限元模型，對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的力學(xué)性能進(jìn)行了驗(yàn)證，證明了宏觀(guān)尺度拓?fù)鋬?yōu)化方法設(shè)計(jì)負(fù)泊松比超材料的有效性.