曾濤，易宇亮，2，郭蘭軍

（1 西南大學 物理科學與技術學院 微納結構光電子學重慶市重點實驗室，重慶 400715）

（2 遼寧大學 化學學院 綠色合成與先進材料制備化學遼寧省重點實驗室，沈陽 110036）

（3 南開大學 電子信息與光學工程學院 現(xiàn)代光學研究所 天津市微尺度光學信息技術科學重點實驗室，天津 300350）

0 引言

飛秒激光在介質(zhì)材料里傳輸時，當其功率超過自聚焦閾值功率將會產(chǎn)生飛秒激光成絲現(xiàn)象。飛秒激光成絲在過去幾十年里吸引了研究人員的廣泛關注［1-3］。通常其物理機制可以解釋為光克爾自聚焦效應和等離子體散焦之間的動態(tài)平衡［4］。飛秒激光成絲蘊含了豐富的物理過程，同時展現(xiàn)出廣泛的實際應用前景，可應用于太赫茲產(chǎn)生［5-8］、遙感探測［9-10］、閃電控制［11］、波導［12-13］、脈沖壓縮［14-15］等領域。

當飛秒激光初始功率遠大于自聚焦閾值功率時，飛秒激光多絲將會產(chǎn)生，其主要由初始光束波前的調(diào)制不穩(wěn)定以及傳輸介質(zhì)折射率的擾動所引起［16-18］。飛秒激光多絲之間通過背景能量池相互作用，包括相互排斥、相互吸引、融合以及能量交換等，最終多絲呈現(xiàn)無規(guī)則的空間分布。飛秒激光多絲對于多通道白光輻射［19］、太赫茲輻射增強［20-21］、遠程空氣激光增強［22-23］以及微波波導［24］等應用具有重要價值。然而這些應用依賴于對多絲的控制，以期得到高重復性和規(guī)則的多絲空間分布。通常的思路是通過對初始光斑強度或波前施加較強的調(diào)制，從而克服初始光束波前或介質(zhì)折射率的不穩(wěn)定性。例如，引入相位板、軸錐鏡、衍射元件、空間光調(diào)制器以及調(diào)控初始光斑橢偏率、尺寸等方法［25-32］，已被證實可以有效控制多絲并實現(xiàn)多絲的有序分布。

在酒精溶液中運用軸錐境聚焦飛秒激光脈沖觀察到了規(guī)則的光絲陣列產(chǎn)生。通過軸錐鏡聚焦飛秒激光可得到貝塞爾光束，而多絲恰好分布在貝塞爾光束的中心光斑和周圍環(huán)形結構上［25］。在空氣中運用三種圓形相位板產(chǎn)生了飛秒激光光絲陣列，分別為半圓形、四分之一和八分之一圓形相位板，其相鄰單元相位差為π。三種相位板產(chǎn)生的多絲陣列分別包含兩條、四條和八條多絲。通過運用不同焦距的透鏡可以進一步調(diào)控光絲的幾何參數(shù)，如光絲數(shù)量、長度以及光絲間距［26］。在熔融石英中基于高橢偏度的橢圓形激光光束獲得了具有可重復性和周期性的二維光絲陣列，光絲陣列的周期性結構可通過入射激光光強來調(diào)控［27］。計算機控制的空間光調(diào)制器可以用來操控光場的分布圖案，進一步控制焦平面上的多焦點分布?；诖丝蓪崿F(xiàn)對多絲陣列空間分布的設計，以及多絲之間相互作用強度的控制［29］。將狹縫、網(wǎng)格形的光闌插入到飛秒激光光路中，在液體環(huán)境中實現(xiàn)了穩(wěn)定的一維及二維光絲陣列的產(chǎn)生。光絲陣列的分布可由規(guī)則的衍射圖像控制。同時每條光絲的演變規(guī)律近乎一致，相互之間沒有競爭［30］。運用透鏡陣列聚焦渦旋飛秒激光光束產(chǎn)生了規(guī)則的光絲陣列。光絲陣列呈對稱的環(huán)狀分布，并且圍繞光束中心旋轉(zhuǎn)，從而形成螺旋光絲陣列。旋轉(zhuǎn)速率可通過改變渦旋光束的半徑、拓撲荷數(shù)以及聚焦條件來調(diào)控［31］。

四瓣高斯光束是一種特殊類型的高斯光束，可以通過在高斯光束初始位置引入特殊函數(shù)的透過率屏而產(chǎn)生［33］。在近場領域，四瓣高斯光束的間距可以通過光束階數(shù)來調(diào)控；在遠場領域，將演變出一系列鏡像對稱且等間距的光束瓣。四瓣高斯光束由于其特殊的初始光強及相位分布，將為多絲控制提供契機，是否可以實現(xiàn)多絲的有序分布及其調(diào)控亟待探索。

基于此，本文開展四瓣高斯飛秒激光光束成絲的空間分布特性研究。通過調(diào)控四瓣高斯光束的初始光束尺寸、光束階數(shù)及功率等參數(shù)，探索單絲或多絲的空間分布規(guī)律，最終獲得規(guī)則分布多絲陣列產(chǎn)生的方法。

1 理論模型

在笛卡爾坐標系下，四瓣高斯光束在初始入射面上的電場分布表示為

式中，N=d-4n為歸一化系數(shù)，d為比例系數(shù)，需滿足透射屏尺寸大于四瓣高斯光束的尺寸，n為光束階數(shù)，w為高斯光束束腰半徑。當n=0 時，式（1）即轉(zhuǎn)變?yōu)槠胀ǖ母咚构馐?。在實驗中，四瓣高斯光束可由高斯光束穿過透過率函數(shù)的投射屏而得到，即

激光光束在自由空間中的線性傳輸，在波形緩變近似條件下，可基于2D+1 維（A（x，y，z））的亥姆霍茲波動傳輸方程進行數(shù)值模擬，即

式中，k0為光束波數(shù)，A為光場振幅。激光波長選取為800 nm。

四瓣高斯飛秒激光光束非線性成絲傳輸過程，主要基于非線性傳輸波動方程來進行數(shù)值模擬，即

式中，Δn為激光強度相關的折射率項，Δn=n2I-γIm，包括光克爾效應產(chǎn)生的非線性折射率項（Δnker=n2I）和由等離子體散焦效應對應的等效非線性折射率項（Δnplasma=-γIm）［34］，空氣非線性系數(shù)n2為2×10-19cm2/W，m取8［35］，γ為一經(jīng)驗參數(shù)，使得最終的激光光束中心光強鉗制在5×1013W/cm2左右［36］。由于主要關注飛秒激光成絲的光強空間分布，飛秒激光在非線性傳輸過程中其時域信息可以忽略掉，因此在基于式（4）的模擬中可以用連續(xù)激光替代飛秒激光。這一簡化模型的有效性已經(jīng)過多項研究結果得到驗證［37］。

在非線性傳輸模型中，自陡峭、群速度色散等時域效應沒有考慮。飛秒激光脈沖的時域信息，如光場包絡、載波等將會影響到飛秒激光成絲的時域動態(tài)過程。然而，這一簡化方法對飛秒激光光絲的空間分布演變影響較小，具體如下所述。通常飛秒激光光絲半徑a約為40 μm，光絲空間演變的衍射長度2πa2/λ約為1.3 cm。飛秒激光脈寬為20 fs 時，所對應的時域變化的特征色散長度τ/k′′約為20 m，遠大于空間轉(zhuǎn)換尺度。k′為空氣中的二階群速度色散系數(shù)，約為0.1 fs2/m。因此空間效應的演變遠快于時間效應，從而主導了飛秒激光光絲的空間分布演變。由此光絲傳輸方程中的時間項可以被忽略［38］。另外，多光子吸收效應會導致飛秒激光脈沖能量損失，從而影響到光絲長度，而對光絲空間分布演變的影響很小。本文假定光絲在空氣中的傳輸長度足夠5 m。因此，傳輸方程中的多光子吸收項同樣沒有考慮。

2 結果與討論

圖1 為四瓣高斯激光光束線性傳輸?shù)讲煌嚯x位置處的橫截面光強分布結果。初始束腰半徑w0為0.5 mm，光束階數(shù)n=2。從圖1（a）可以看到，在z=0 位置處，初始激光光斑展現(xiàn)了四瓣的光強分布。如圖1（b）所示，四瓣高斯光束在自由空間衍射的作用下，每一瓣光束均開始發(fā)散，同時最大光強開始下降。隨著傳輸距離的增加，更多的光束瓣逐漸產(chǎn)生。傳輸?shù)絲=80 cm 位置處，四瓣高斯光束分裂為9 個區(qū)域，如圖1（c）所示。如圖1（d）所示，z=120 cm 時9 個光束瓣的能量進一步重新分配，每一瓣光束尺寸趨于均衡，激光陣列開始產(chǎn)生。如圖1（e）和（f）所示，最終形成規(guī)則分布的3×3 的激光陣列，同時每一瓣光束尺寸相近。

圖1 四瓣高斯激光光束線性傳輸在不同距離位置處橫截面光強分布Fig.1 Intensity distributions on the beam cross sections at different distances for the linear propagation of a four-petal beam

圖2（a）～（c）分別對應四瓣高斯激光光束線性傳輸?shù)絲=0， 80 cm 和200 cm 位置處橫截面光斑在y=x方向上的光強分布結果。在初始位置，四個光束瓣均為標準的高斯型光強分布。圖2（b）對應圖1（c）在y=x方向上的光強分布。傳輸?shù)絲=200 cm 位置時，進一步分裂得到由9 個高斯型光束瓣構成的激光陣列。圖2（d）為最大值光強和中心位置光強隨傳輸距離的變化。如圖所示，在初始位置四瓣高斯光束最大值光強即為最大，此時中心光強為0。隨著傳輸距離增大，在衍射作用下最大值光強逐漸降低。同時由于光束瓣的發(fā)散作用以及相鄰光束瓣光場的疊加，中心光強逐漸增大。在z=120 cm 位置處，由于高斯型光束瓣陣列的產(chǎn)生，最大值光強開始增大，光場能量逐漸集中到激光陣列中心位置的光斑。傳輸?shù)絲=180 cm 左右，最大值光強和中心光強均達到極大值點，然后在衍射的作用下進一步隨傳輸距離而下降。

在初始入射橫截面上，四瓣高斯光束在x和y方向上相鄰兩瓣之間的間距為2n1/2w。因此隨著光束階數(shù)增大，相鄰兩瓣高斯光束的間距也增大。在線性傳輸過程中，中心光軸上的光強先單調(diào)遞增，然后單調(diào)遞減。光強峰值在z/z0=2(2n)1/2位置處，z0為瑞利衍射長度。因此隨光束階數(shù)增大，中心光軸上的峰值光強位置距離越遠。另外，光束階數(shù)越大，在遠場演化得到的光束陣列瓣數(shù)越多［33］。

圖2 四瓣高斯激光光束線性傳輸在不同距離位置處橫截面光強在y=x 方向上的分布Fig.2 Intensity distributions along the line of y=x on the beam cross sections at different distances for the linear propagation of a four-petal beam

圖3 為四瓣高斯飛秒激光光束非線性成絲傳輸光強空間分布結果。圖3（a）為初始入射光斑橫截面光強分布。束腰半徑w為0.5 mm，光束階數(shù)n=2。由此得到每一瓣高斯光束的束腰半徑w0為0.35 mm，功率為8Pcr。Pcr為高斯激光光束能夠產(chǎn)生成絲的閾值功率條件，即為自聚焦閾值功率，計算公式為

式中，n0和n2分別為空氣的折射率和非線性系數(shù)。由此可得到四瓣高斯光束的初始總功率為32Pcr，對應為153.6 GW。如圖3（b）和（c）所示，隨著傳輸距離增加，每瓣高斯型光束的峰值光強在自聚焦作用下逐漸增強。傳輸?shù)絲=500 cm 時，峰值光強約為3.5×1013W/cm2，此時飛秒激光成絲開始產(chǎn)生，如圖3（d）所示。如圖3（e）和（f），隨著傳輸距離增大，在自聚焦和等離子體散焦的動態(tài)平衡作用下，光絲的峰值光強鉗制在5×1013W/cm2左右，相鄰兩光絲之間的距離保持在0.146 cm 左右，最終形成2×2 規(guī)則分布的光絲陣列。

進一步降低四瓣高斯激光光束的初始功率。每一瓣高斯型光束的功率降低為7Pcr，入射激光總功率為28Pcr，對應為134.4 GW，其他初始參數(shù)與圖3 保持一致。在此條件下，四瓣高斯飛秒激光光束非線性成絲傳輸結果如圖4 所示。圖4 （b）中，光束傳輸?shù)絲=200 cm 時，由于衍射的作用大于自聚焦的作用，四瓣高斯光束逐漸發(fā)散，光強逐漸降低。如圖4（c）所示，在z=300 cm 位置時，光束大致分裂為9 瓣，且不同光束瓣邊界相互交疊。隨著光束瓣之間的相互融合，中心光束瓣的光強逐漸增大，如圖4（d）所示。在自聚焦作用下，中心光強進一步增大。傳輸?shù)絲=550 cm 位置處，中心光強達到4×1013W/cm2，光絲開始產(chǎn)生，最終得到穩(wěn)定傳輸?shù)娘w秒激光單絲。

圖4 四瓣高斯飛秒激光光束成絲傳輸?shù)讲煌嚯x位置處橫截面光強分布（w=0.5 mm， n=2，初始功率28Pcr）Fig.4 Intensity distributions on the beam cross sections at different distances for the propagation of the four-petal femtosecond laser filaments （w = 0.5 mm， n = 2， the initial power is 28Pcr）

四瓣高斯光束初始束腰半徑w減小為0.2 mm，其他激光初始參數(shù)與圖3 保持一致。此時每一瓣高斯激光光束的束腰半徑w0為0.14 mm，功率為8Pcr，入射激光總功率即為32Pcr。如圖5（a）所示，相鄰兩高斯型光束瓣的間距為0.058 cm。經(jīng)非線性傳輸，在z=150 cm 時，如圖5（b）所示，中心光強達到4×1013W/cm2左右，產(chǎn)生規(guī)則的光絲陣列分布。此時相鄰兩條光絲的間距為0.052 cm。當光絲陣列傳遞到z=250 cm 時，如圖5（c）所示，相鄰兩條光絲的間距進一步減小為0.034 cm。飛秒激光多絲之間的競爭、融合等主要通過光絲周圍的背景能量池的相互作用而進行的。通常背景能量池的尺寸約為1 mm。因此光絲陣列中不同光絲的背景能量池相互交疊，在背景能量池的相互作用下光絲之間相互吸引，從而引起光絲傳輸方向的偏折。因此，光絲陣列間距隨傳輸距離逐漸減小。如圖5（e）所示，在z=280 cm 位置處，光絲陣列融合為一條單絲，進而形成飛秒激光單絲穩(wěn)定傳輸。

圖6 為四瓣高斯激光光束的光束階數(shù)選取為n=5 時非線性成絲的光強空間分布結果。其他初始激光參數(shù)與圖3 一致。如圖6（a）～（c）所示，在自聚焦作用下每瓣高斯光束的中心光強逐漸增大。傳輸?shù)絲=300 cm 時，飛秒激光光絲開始產(chǎn)生，如圖3（d）所示。隨著傳輸距離增大，光絲中心光強鉗制在4×1013W/cm2左右，同時光絲陣列相鄰光絲間距穩(wěn)定在0.23 cm。由于光絲陣列間距較大，相鄰光絲的背景能量池相互影響較小，因此不同光絲之間的相互作用可以忽略，最終形成光絲陣列的遠距離穩(wěn)定傳輸。

基于式（1）得到四瓣高斯光束在初始入射面上相鄰兩瓣高斯光束的間距s為

進一步所產(chǎn)生的穩(wěn)定傳輸光絲陣列間距也可由此得到。由式（6）計算得到的圖3 和圖6 中的光絲陣列間距與模擬結果高度吻合。當四瓣高斯飛秒激光光束非線性傳輸產(chǎn)生的光絲陣列間距大于背景能量池尺寸（約1 mm）時，不同光絲之間相互作用較弱，光絲陣列將遠距離穩(wěn)定傳輸，且間距幾乎保持不變。同時光絲陣列間距可通過調(diào)節(jié)四瓣高斯光束初始束腰半徑和光束階數(shù)來控制。當光絲間距小于背景能量池尺寸時，不同光絲之間將會相互融合，最終形成一條穩(wěn)定傳輸?shù)膯谓z。

圖7 為四瓣高斯飛秒激光光束成絲過程中心光強和峰值光強隨歸一化傳輸距離的變化結果。z0=kw2/2 為高斯光束瑞利衍射距離，k和w分別為高斯光束波數(shù)和束腰半徑，z/z0即為歸一化傳輸距離。圖7（a）對應于圖3 所示四瓣高斯激光光束非線性傳輸結果。峰值光強隨傳輸距離增大，在大約5z0處光絲開始產(chǎn)生。由于光絲陣列間距不變，中心光強始終趨近于0。圖7（b）對應于圖4 結果，當降低四瓣高斯激光光束入射功率時，中心光強和峰值光強幾乎相一致。傳輸?shù)?z0至7z0之間，光束出現(xiàn)多次自聚焦的現(xiàn)象。在8z0位置處最終形成穩(wěn)定的單絲。圖7（c）對應于圖5 結果，由于減小了四瓣高斯光束的初始束腰半徑，自聚焦距離隨之減小。傳輸?shù)絲0左右時光絲陣列產(chǎn)生，傳輸至17z0附近光絲陣列最終融合為穩(wěn)定的單絲。圖7（d）對應于圖6 結果，在3z0位置處，光絲陣列產(chǎn)生，中心位置光強始終趨近于0。

圖7 四瓣高斯飛秒激光光束成絲中心光強和峰值光強隨歸一化傳輸距離的變化結果Fig. 7 Central intensity and maximum intensity of the laser filaments by a four-petal femtosecond beam versus normalized propagation distance

實驗中，飛秒激光光絲橫截面上的光斑圖像可以由以下方法表征。選取兩個平行的熔融石英楔形透鏡插入到激光路徑中，每個楔形透鏡入射表面的反射率均為10%左右。激光經(jīng)兩個表面反射以后光強將降低到約1%。進一步將提取得到的較低光強的激光經(jīng)成像系統(tǒng)后由CCD 相機采集，即可得到橫截面光斑圖像。CCD 相機前需放置一個帶通濾波片，以濾除散射的白光信號。通過移動楔形透鏡和CCD 相機，即可獲得光絲橫截面圖像在傳輸方向上的變化。另外，光絲在橫截面上的光斑圖像同樣可以通過在垂直于光絲傳輸方向上快速掃過熱敏紙來粗略獲得，通過燒灼熱敏紙可以記錄得到光絲的輪廓，由此來得到光絲陣列的大致分布。光絲在縱向上的分布可以通過對光絲產(chǎn)生的白光散射進行成像來得到，在光絲側面上運用顯微物鏡和CCD 可以拍攝得到光絲陣列在縱向上的圖像［39］。

3 結論

本文研究了四瓣高斯光束成絲過程的空間分布特性。當初始入射激光功率相對較強時，四瓣高斯光束非線性傳輸將產(chǎn)生規(guī)則的光絲陣列。通過改變四瓣高斯光束的初始束腰半徑和光束階數(shù)，可以實現(xiàn)對光絲陣列間距的調(diào)控。光絲陣列間距大于背景能量池尺寸（約1 mm）時，光絲陣列將穩(wěn)定傳輸且間距保持不變；光絲陣列小于背景能量池尺寸時，多絲相互融合從而形成穩(wěn)定的單絲。當每瓣高斯光束初始功率相對較弱且大于自聚焦閾值功率時，將會出現(xiàn)多次自聚焦現(xiàn)象，并最終形成穩(wěn)定的單絲傳輸。綜上，通過調(diào)節(jié)四瓣飛秒激光高斯光束功率、尺寸和階數(shù)等初始參數(shù)，可實現(xiàn)多絲陣列的有效控制。這項研究工作提供了一種產(chǎn)生二維規(guī)則飛秒激光光絲陣列的方法，可為基于飛秒激光多絲陣列的太赫茲波增強、空氣激光增強、遙感探測、微波通道以及微粒捕獲等實際應用提供理論依據(jù)。