姜?jiǎng)t善

(北京市第二中學(xué))

1 試題呈現(xiàn)

(1)求橢圓E的方程;

(2)設(shè)斜率為k的直線l與x軸交于點(diǎn)P,與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)M,N,點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為M′,直線M′N與y軸交于點(diǎn)Q.若△OPQ的面積為2,求k的值.

2 試題解讀

本題第(2)問(wèn)的解決方法不止一個(gè),但學(xué)生采用的基本都是中規(guī)中矩的方法,即由于涉及直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)M,N,故假設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m,將直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立,利用題中的幾何關(guān)系,分別求出點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo),用這兩點(diǎn)的坐標(biāo)表示出△OPQ的面積,再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系,建立一個(gè)關(guān)于未知數(shù)k的方程,然后求解k的值.但筆者發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)都是計(jì)算出錯(cuò),并且在解題前的構(gòu)思階段,一個(gè)問(wèn)題縈繞在他們的腦海中:由于假設(shè)直線l的方程時(shí)用到了兩個(gè)參數(shù),即k與m,而題目中給出的條件只能建立一個(gè)方程,此時(shí)未知數(shù)個(gè)數(shù)比方程個(gè)數(shù)多,出現(xiàn)了“僧多粥少”的情況,如何能求解出k的值? 計(jì)算出錯(cuò)后學(xué)生就認(rèn)為自己的方法不得當(dāng),直接放棄思考,轉(zhuǎn)戰(zhàn)其他題.

通常情況下,我們利用方程解決幾何問(wèn)題時(shí),碰到的都是解方程,但有時(shí)會(huì)出現(xiàn)未知數(shù)個(gè)數(shù)比方程個(gè)數(shù)多的情況,一般會(huì)有哪些解決方法呢?

3 解決問(wèn)題

當(dāng)未知數(shù)個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)時(shí),我們通常會(huì)用到以下解決方法.

3.1 消去減元，轉(zhuǎn)化可解

在具有強(qiáng)大的計(jì)算功底的前提下,一般在計(jì)算過(guò)程中發(fā)現(xiàn)兩個(gè)未知數(shù)會(huì)消去一個(gè),轉(zhuǎn)化為一元方程,從而使未知數(shù)可以求解.下面以上述題目第(2)問(wèn)為例,闡述該題的求解過(guò)程.

3.2 巧定主元，因式分解

解題過(guò)程中會(huì)不會(huì)遇到有兩個(gè)未知數(shù)、一個(gè)方程,且未知數(shù)都被保留的情況呢? 答案是肯定的,我們來(lái)看下列試題.

例1已知橢圓過(guò)點(diǎn)P(2,1).

(1)求橢圓C的方程,并求其離心率e;

(2)過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線l,設(shè)點(diǎn)A為第四象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上(點(diǎn)A不在直線l上),點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為A′,直線A′P與C交于另一點(diǎn)B.設(shè)O為原點(diǎn),判斷直線AB與直線OP的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.

(2)求解的關(guān)鍵在于將“點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為A′”這個(gè)條件轉(zhuǎn)化為kPA＋kPA′＝0.即有的答案給出的方法是設(shè)直線PA的方程為y－1＝k(x－2),與橢圓方程聯(lián)立后解出點(diǎn)A的坐標(biāo),然后將k換成－k后得到點(diǎn)B的坐標(biāo),從而求出直線AB的斜率.該解法的優(yōu)點(diǎn)在于只用到了一個(gè)未知數(shù)k,然后求得kAB與k無(wú)關(guān),從而解決問(wèn)題.而在實(shí)際教學(xué)中,我們發(fā)現(xiàn)有一部分學(xué)生是如此設(shè)計(jì)解題思路:由于研究的是直線AB的斜率,所以假設(shè)直線AB為y＝kx＋m,將其與橢圓方程聯(lián)立,然后用P,A,A′三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)表示條件kPA＋kPA′＝0,從而得到一個(gè)方程,于是又出現(xiàn)涉及兩個(gè)未知數(shù)k與m,但是只有一個(gè)方程kPA＋kPA′＝0的情況,那會(huì)不會(huì)又是m被消去的情況呢,我們來(lái)看看這種解法的過(guò)程.

此時(shí),如果學(xué)生有較強(qiáng)的因式分解功底,就能很自然地看出來(lái)可以采用定主元的方法對(duì)左邊二元二次式進(jìn)行因式分解,可以得到兩種分解方法.

方法2將m設(shè)為主元,整理為方程(2k－1)m＋(2k－1)2＝0,下同方法1.

點(diǎn)評(píng)

以上解題過(guò)程中采用的定主元方法在2022年北京卷第20題的第(3)問(wèn)中也有所涉及,所以這種方法可以在高三解析幾何復(fù)習(xí)中適當(dāng)重視.

3.3 無(wú)窮個(gè)解，系數(shù)為0

除了上述涉及兩個(gè)未知數(shù),而只有一個(gè)方程的情況外,我們還會(huì)碰到以下未知數(shù)更多的情形.

例2已知橢圓C的短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A(0,1),B(0,－1),離心率為

(1)求橢圓C的方程及焦點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)若點(diǎn)M為橢圓C上異于A,B的任意一點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)且與直線MA平行的直線與直線y＝3交于點(diǎn)P,直線MB與直線y＝3 交于點(diǎn)Q,試判斷以線段PQ為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)? 若過(guò)定點(diǎn),求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)常見(jiàn)的設(shè)計(jì)思路如下:設(shè)定點(diǎn)為G(m,n),動(dòng)點(diǎn)M(x0,y0),此時(shí)有四個(gè)未知數(shù),而我們的方程有

還缺少兩個(gè)方程才能求解出定點(diǎn)G的坐標(biāo),著實(shí)是“僧多粥少”,而且少兩碗,如何求解呢? 以下給出完整的求解過(guò)程.

這是一個(gè)含四個(gè)未知數(shù)的方程,如何求解m,n的值呢? 其實(shí)我們注意到在這個(gè)方程的四個(gè)未知數(shù)中,如果m,n被我們視為參數(shù),則這個(gè)方程可以看成在某種條件下是關(guān)于x0,y0的二元一次方程,其圖像是一條直線,仍然無(wú)法解出m,n的值.此時(shí)我們需要做的就是重新審題,自然會(huì)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M為橢圓C上異于A,B的任意一點(diǎn),而不是某條直線上的任意一點(diǎn),所以對(duì)于方程[(n－3)2＋m2－36]x0＋21my0－3m＝0來(lái)說(shuō),只有系數(shù)均為零,才能使得方程恒成立,則

點(diǎn)評(píng)

這種情形的突破口在于M為橢圓C上任意一點(diǎn),如果得到的是關(guān)于點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x0與縱坐標(biāo)y0的二元一次方程時(shí),由于點(diǎn)M在橢圓上而不是在某條直線上,故只有系數(shù)均為零時(shí)才能使得等式恒成立;如果得到的是關(guān)于M的橫坐標(biāo)x0或縱坐標(biāo)y0的一元二次方程時(shí),由于點(diǎn)M的任意性使得一元二次方程的解有無(wú)窮個(gè),所以也只有在系數(shù)均為零時(shí)才能成立,下面給出另一道解析幾何試題,即最后轉(zhuǎn)化為一元二次方程的情形.

(2)若點(diǎn)A為橢圓上任意一個(gè)點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為B;PA,PB分別與y軸交于點(diǎn)M,N,且MF1⊥NF2,求橢圓C的方程.

此時(shí)有四個(gè)未知數(shù),只有一個(gè)方程,如何求解橢圓方程中的a,b呢? 我們可以把這個(gè)方程看作是一個(gè)關(guān)于x0的一元二次方程,最多有兩個(gè)不同的解,而由于A為橢圓上任意一個(gè)點(diǎn),也就是說(shuō)這個(gè)關(guān)于x0的方程有無(wú)數(shù)個(gè)解,故只有當(dāng)此方程系數(shù)全部為0時(shí)才滿足題意,再結(jié)合題干中給出的信息,可得

此時(shí)戲劇性的一幕出現(xiàn)了,三個(gè)未知數(shù),四個(gè)方程,“粥比僧多”.由第2個(gè)方程可得b＝c,此時(shí)我們發(fā)現(xiàn)第1個(gè)和第3個(gè)方程相同,經(jīng)過(guò)求解我們得到橢圓C的方程為

解析幾何主要是用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題,其中代數(shù)的方法指的就是通過(guò)方程來(lái)研究,所以解方程的技能起著至關(guān)重要的作用,當(dāng)未知數(shù)個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)時(shí)可能出現(xiàn)本文所述的三種情形,如果在復(fù)習(xí)中加以訓(xùn)練,可以提高高三解析幾何復(fù)習(xí)的效果,對(duì)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)大有裨益.

(完)