徐 波,盧琳璋,游泰杰

(1.貴州師范大學數學科學學院,貴州 貴安新區(qū) 550025;2.廈門大學數學科學學院,福建 廈門 361005)

1 預備知識

設自然數n≥4,Xn={1,2,…,n},Tn是Xn上全變換之集,在變換的復合下作成一個半群.自20世紀60年代以來,對Tn及其子結構的研究一直是變換半群理論中較為活躍的課題[1 -17].而要有效地對Tn及其子結構展開研究,離不開一類重要的等價關系——格林關系.

設S是半群,則下列5個關系

L={(a,b):a,b∈S,S1a=S1b},

R={(a,b):a,b∈S,aS1=bS1},

J={(a,b):a,b∈S,S1aS1=S1bS1},

D=L○R=R○L,

H=L∩R,

統(tǒng)稱為半群S上的格林關系,這里○表示S上的二元關系的復合運算.

設α∈Tn,若?x∈Xn1},使得xα=1α,則稱α為1-奇異變換.Xn上所有1-奇異變換構成的集合,關于變換的復合運算構成Tn的子半群,記作Tn(1).它是Tn的一類新的正則右理想.本文給出了Tn(1)上的格林關系的等價描述,為Tn(1)的后續(xù)研究奠定了重要的基石.

文中未定義的術語參見文獻[18].

2 R與L

這一部分給出Tn(1)上的格林關系R與L的等價刻畫.為方便敘述,設α∈Tn(1),通常用im(α),|im(α)|以及ker(α)分別表示α的象集,α的象集中元素的個數以及等價關系α-1○α={(x,y)∈Xn×Xn:xα=yα}.又若|im(α)|=r,1≤r≤n-1,則α可以表示為

這里,Xn關于等價關系ker(α)的商集Xn/ker(α)={A1,A2,…,Ar},而Ai在α之下的象為ai,i=1,2,…,r.

關于Tn(1)上的格林關系R有

定理1設α,β∈Tn(1),則αRβ?ker(α)=ker(β).

證明(?)設α,β∈Tn(1),若αRβ,則存在γ,δ∈(Tn(1))1使得α=βγ,β=αδ.于是對任意(x,y)∈ker(α),由xβ=x(αδ)=(xα)δ=(yα)δ=y(αδ)=yβ,知ker(α)?ker(β).同理可證ker(β)?ker(α),故ker(α)=ker(β)成立.

(?)若ker(α)=ker(β),則α,β可分別表示為

其中,|im(α)|=|im(β)|=r,且Xn關于等價關系ker(α)=ker(β)的商集Xn/ker(α)=Xn/ker(β)={A1,A2,…,Ar},而Ai在α,β之下的象分別為ai,bi(i=1,2,…,r).以下分4種情況討論

情形1 1∈Xn(im(α)∪im(β)).

此時,記Y1=Xn{a1,a2,…,ar-1},Y2=Xn{b1,b2,…,br-1},然后定義γ,δ如下:

則γ,δ∈(Tn(1))1且α=βδ,β=αγ,故αRβ.

情形2 1∈im(β)im(α).

不失一般性設1=br,記Y1=Xn{a1,a2,…,ar-1},Y2=Xn{b1,b2,…,br-1},然后定義γ,δ如下:

則γ,δ∈(Tn(1))1且α=βδ,β=αγ,故αRβ.

情形3 1∈im(α)im(β).

不失一般性設1=ar,記Y1=Xn{a1,a2,…,ar-1},Y2=Xn{b1,b2,…,br-1},然后定義γ,δ如下:

則γ,δ∈(Tn(1))1且α=βδ,β=αγ,故αRβ.

情形4 1∈im(β)∩im(α).

不失一般性設1=ar,1=br,記Y1=Xn{a1,a2,…,ar-1},Y2=Xn{b1,b2,…,br-1},然后定義γ,δ如下:

則γ,δ∈(Tn(1))1且α=βδ,β=αγ,故αRβ.

關于Tn(1)上的格林關系L有

定理2設α,β∈Tn(1),則αLβ?im(α)=im(β).

證明(?) 設α,β∈Tn(1),若αLβ,則存在μ,υ∈(Tn(1))1使得α=μβ,β=υα.一方面im(α)=im(μβ)?im(β),另一方面im(β)=im(υα)?im(α),所以im(α)=im(β);

(?) 若im(α)=im(β),則α,β可分別表示為

其中,|im(α) |=|im(β)|=r,且Xn關于等價關系ker(α),ker(β)的商集分別為Xn/ker(α)={A1,A2,…,Ar},Xn/ker(β)={B1,B2,…,Br},而Ai在α之下的象為ai,Bi在β之下的象為bi(i=1,2,…,r).

接下去,分別取定pi∈Bi,qi∈Ai(i=1,2,…,r),并定義μ,δ如下:

則μ,υ∈(Tn(1))1且α=μβ,β=υα,得αLβ.

3 D,H與J

關于Tn(1)上的格林關系D有

定理3設α,β∈Tn(1),則αDβ?|im(α)|=|im(β)|.

證明(?) 設α,β∈Tn(1),若αDβ,則存在γ∈(Tn(1))1,使得αLγRβ.由定理1,得ker(β)=ker(γ);由定理2,得im(α)=im(γ).于是|im(α)|=|im(γ)|=|Xn/ker(γ)|=|Xn/ker(β)|=|im(β)|.

(?) 若|im(α)|=|im(β)|,則α,β可分別表示為

其中,|im(α)|=|im(β)|=r,且Xn關于等價關系ker(α),ker(β)的商集分別為Xn/ker(α)={A1,A2,…,Ar},Xn/ker(β)={B1,B2,…,Br},而Ai在α之下的象為ai,Bi在β之下的象為bi(i=1,2,…,r).

令

則γ∈(Tn(1))1,由定理1與定理2,得αLγRβ,即αDβ.

關于Tn(1)上的格林關系J有

定理4設α,β∈Tn(1),則αJβ?|im(α)|=|im(β)|.

證明(?) 設α,β∈Tn(1),若αJβ,則存在γ,ρ,δ,θ∈(Tn(1))1,使得γαρ=β,δβθ=α.于是,由|im(α)|=|im(δβθ)|≤|im(β)|=|im(γαρ)|≤|im(α)|,得|im(α)|=|im(β)|.

(?) 若|im(α)|=|im(β)|,設α,β可分別表示為

其中,|im(α)|=|im(β)|=r,且Xn關于等價關系ker(α),ker(β)的商集分別為Xn/ker(α)={A1,A2,…,Ar},Xn/ker(β)={B1,B2,…,Br},而Ai在α之下的象為ai,Bi在β之下的象為bi(i=1,2,…,r).

以下分4種情況討論

情形1 1∈Xn(im(α)∪im(β)).

此時,記Y1=Xna1,a2,…,ar-1},Y2=Xn{b1,b2,…,br-1},并取定xi∈Ai,yi∈Bi,i=1,2,…,r.令

則γ,ρ,δ,θ∈(Tn(1))1且β=γαρ,α=δβθ,故αJβ.

情形2 1∈im(β)im(α).

不失一般性設1=br,記Y1=Xn{a1,a2,…,ar-1},Y2=Xn{b1,b2,…,br-1},并取定xi∈Ai,yi∈Bi,i=1,2,…,r,令

則γ,ρ,δ,θ∈(Tn(1))1且β=γαρ,α=δβθ,故αJβ.

情形3 1∈im(α)im(β).

不失一般性設1=αr,記Y1=Xn{a1,a2,…,ar-1},Y2=Xn{b1,b2,…,br-1},并取定xi∈Ai,yi∈Bi,i=1,2,…,r.令

則γ,ρ,δ,θ∈(Tn(1))1且β=γαρ,α=δβθ,故αJβ.

情形4 1∈im(β)∩im(α).

不失一般性設1=ar,1=br,記Y1=Xn{a1,a2,…,ar-1},Y2=Xn{b1,b2,…,br-1},并取定xi∈Ai,yi∈Bi,i=1,2,…,r.令

則γ,ρ,δ,θ∈(Tn(1))1且β=γαρ,α=δβθ,故αJβ.

最后,結合定理1、定理2、定理3與定理4,立即有如下的推論.

推論設α,β∈Tn(1),則

(1)αHβ?ker(α)=ker(β),im(α)=im(β).

(2)D=J.