摘 要：小時(shí)候，教弟弟識(shí)字，體會(huì)到人和人不一樣，用不同的方法培養(yǎng)人是教學(xué)的趣味所在。師范學(xué)院畢業(yè)后，教中學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)，因?yàn)榻o一位學(xué)生講題目的事情被學(xué)生傳了出去，受到學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)重視，從而感受到學(xué)科基礎(chǔ)是真本領(lǐng)，對(duì)教學(xué)很重要。受蘇霍姆林斯基的啟發(fā)，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到終身學(xué)習(xí)就是在長期備課，這比短期備課更重要。在教學(xué)實(shí)踐中，體會(huì)到好的數(shù)學(xué)課盡量要在15分鐘之內(nèi)講完，一節(jié)課關(guān)鍵的東西并不多。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教育；個(gè)體差異；學(xué)科基礎(chǔ)；長期備課；精講精練

本文根據(jù)單墫教授2023年4月23日上午在第四屆江蘇省數(shù)學(xué)教育學(xué)術(shù)年會(huì)暨江蘇省數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)教育專業(yè)委員會(huì)第二次代表大會(huì)上的講話整理而成，略有改動(dòng)。】

我主要講幾個(gè)真實(shí)的故事，也是我對(duì)教書育人的一些體悟。

一、 用不同的方法培養(yǎng)人，有難度更有趣味

第一個(gè)故事，我從小就想當(dāng)老師。在家里的男孩子中，我排行老二。大概是小學(xué)三年級(jí)，我開始教老三。老三比我小六歲。我教他加減法，教他認(rèn)字。家里有字塊（識(shí)字卡片），一面是圖，一面是字。比如老虎的“虎”，一面是“虎”字，我教老三認(rèn)一下這個(gè)字；然后翻過來，是一個(gè)老虎的圖片，彩色的，看一下；再翻過來，又認(rèn)一下“虎”字。老三很老實(shí)，態(tài)度很端正，非常聽我的話。我也很有成就感。后來，我六年級(jí)時(shí)，又教老四。老四比我小九歲。老四和老三很不一樣，不太認(rèn)真。我給他看字塊，他眼睛不知道看哪兒，掃一眼，就過去了。我就不太高興了，想“整”一下他的態(tài)度。但是，態(tài)度是很虛的東西。我說他不端正，他說他端正。有什么證據(jù)說他不端正呢？講不清楚。所以，我就搞一些實(shí)的東西。有一次，我教他認(rèn)40個(gè)字，他漫不經(jīng)心。這時(shí)，我讓他重認(rèn)一遍——如果他認(rèn)得不好，那就是態(tài)度不端正。結(jié)果很意外：40個(gè)字全認(rèn)對(duì)了。那我就不好講他了：效果很好，務(wù)虛沒法務(wù)了。由此，我就感受到，教學(xué)很不容易。不容易在什么地方呢？人和人不一樣。哪怕是同父同母所生，同一個(gè)老師教的，情況也會(huì)不一樣，結(jié)果也會(huì)不一樣。這就是教學(xué)的難度所在，也是當(dāng)老師有趣味的地方。如果我們做小板凳，做一個(gè)小板凳是小板凳，做一百個(gè)小板凳也是一模一樣的小板凳，沒有任何趣味。人和人不一樣，用不同的方法培養(yǎng)人，這個(gè)才是趣味。所以，我從小就喜歡當(dāng)老師。

二、 學(xué)科基礎(chǔ)是真本領(lǐng)

第二個(gè)故事，我當(dāng)了老師。因?yàn)槲蚁氘?dāng)老師，中學(xué)上完后，就上了大學(xué)——現(xiàn)在的揚(yáng)州大學(xué)，那個(gè)時(shí)候叫揚(yáng)州師范學(xué)院。在揚(yáng)州師范學(xué)院讀了四年本科后，被分到南京第四女子中學(xué)（現(xiàn)在叫人民中學(xué)）教書。才開始工作時(shí)，我教一個(gè)班的初一代數(shù)和兩個(gè)班的初三代數(shù)。那時(shí)，代數(shù)和幾何是分開的，初一只有代數(shù)；初三有代數(shù)，也有幾何。有一天，一個(gè)女生來找我。她有點(diǎn)膽怯，但很有禮貌地問我：“老師，我可不可以問一個(gè)問題？”我說：“當(dāng)然可以，我們老師就是解決問題的?！彼謫枺骸袄蠋煟銜?huì)不會(huì)做幾何題?。俊蔽矣悬c(diǎn)不開心，覺得她這句話不太禮貌。我初中就會(huì)做幾何題，是班上學(xué)習(xí)最好的。后來又上了高中，上了大學(xué)，當(dāng)了老師，怎么不會(huì)做幾何題呢？后來一想，她的疑問也有道理。因?yàn)楫?dāng)時(shí)代數(shù)和幾何是分開教的，可能有的老師嫌煩，教代數(shù)就只回答代數(shù)的問題，教幾何就只回答幾何的問題。我就說：“我試試看吧?！彼驼f了一道題：“延長銳角三角形ABC的高AD，與三角形的外接圓相交于一點(diǎn)E，且這個(gè)三角形的垂心為H，證明HD=DE，也就是垂心到垂足的距離等于垂足到高所在直線與外接圓交點(diǎn)的距離。”這道幾何題，我在初中就做過?，F(xiàn)在又讀了高中、大學(xué)，再做這道題，應(yīng)該說是居高臨下了——用現(xiàn)在的話說，就是“降維打擊”。所以，她題目一說完，我就說“這樣做”，然后把她寫題目的紙拿過來，在紙上寫起來，邊寫邊說。結(jié)果，她又說了一句讓我很意外的話：“老師，你有沒有聽清楚題目？”看她很懷疑的樣子，我就把題目說給她聽。

這件事本來很簡(jiǎn)單，但是，產(chǎn)生了一些影響。她告訴同學(xué)，她的同學(xué)又告訴同學(xué)，結(jié)果整個(gè)初中都知道了：?jiǎn)卫蠋煏?huì)做題；單老師教代數(shù)，還能做幾何題；單老師題目才說完，就做出來了。這些其實(shí)都沒有什么稀奇的，但后來，學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)也知道了。教導(dǎo)主任、校長、書記研究了一下，教導(dǎo)主任就找我談話了：“初一，你不要上了?！蔽艺f：“我才上不到一半——一個(gè)學(xué)期還沒上完呢！”他說：“你去上初三，上四個(gè)班的初三。初三六個(gè)班，還有兩個(gè)班是對(duì)面教師進(jìn)修學(xué)校的老師在我們學(xué)校蹲點(diǎn)的，不能換。但是，這個(gè)老師不輔導(dǎo)，上完課就走人。所以，六個(gè)班的自習(xí)課，你都去轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、看一看，你輔導(dǎo)，包括輔導(dǎo)幾何?！边@樣，代數(shù)就交給我了，幾何也交給我了，初三就交給我了。所以，我感覺，一個(gè)人還是要有點(diǎn)真本領(lǐng)的，教數(shù)學(xué)得數(shù)學(xué)學(xué)得好（包括會(huì)做題）。所以，學(xué)習(xí)很重要：如果你本領(lǐng)不夠，就去學(xué)習(xí)。

這里，我還要特別感謝揚(yáng)州師范學(xué)院。那個(gè)時(shí)候，它剛從蘇北師范專科學(xué)校轉(zhuǎn)成師范學(xué)院，強(qiáng)調(diào)打好基礎(chǔ)，包括兩個(gè)方面的基礎(chǔ)。一個(gè)基礎(chǔ)是中學(xué)數(shù)學(xué)。當(dāng)中學(xué)數(shù)學(xué)教師，中學(xué)數(shù)學(xué)不行怎么行呢？我們很多課基本上是重新上了一遍的——當(dāng)然，是提高性質(zhì)的，不是簡(jiǎn)單重復(fù)。比如平面幾何，那個(gè)時(shí)候教的是梁紹鴻的《初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)及研究（平面幾何）》。這本書上的很多題，可能現(xiàn)在搞競(jìng)賽的人都不一定做得出來。至于代數(shù)，我記得是高古風(fēng)老師教的。1949年以前國內(nèi)出版的最好的代數(shù)教材是霍爾和奈特的《大代數(shù)》，后來又出版了一本蘇聯(lián)諾洼塞洛夫的《初等代數(shù)專門教程》，高老師把這兩本書里的精華都給我們講了。所以，我們的基礎(chǔ)打得很好。另一個(gè)基礎(chǔ)是大學(xué)的基礎(chǔ)課——數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)。有了這個(gè)基礎(chǔ)，我后來在中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)教一年級(jí)的微積分，就很輕松。我認(rèn)為，教大學(xué)（高等教育），重點(diǎn)在好的學(xué)生；教中學(xué)（基礎(chǔ)教育）則要注意照顧差的學(xué)生。所以，在中科大，我不大講書上的東西，更多地講我自己的想法。一開始，學(xué)生不怎么適應(yīng)，后來，學(xué)生也接受了，所以，第二年、第三年……一直由我教。

三、 自學(xué)進(jìn)修很重要

第三個(gè)故事，我研究生考到了中科大?！拔母铩逼陂g，高考中斷了。1976年開始，國家醞釀恢復(fù)高考。同時(shí)，很多學(xué)校也醞釀?wù)惺昭芯可?。首先是?fù)旦大學(xué)，于1977年年初開始招收研究生。當(dāng)時(shí)，我的同事建議我去。我一想，不能去。為什么？因?yàn)殄X。那個(gè)時(shí)候，我的月工資是51塊7毛，而且，上有老，下有小。去一趟復(fù)旦，來回路費(fèi)，加上住宿費(fèi)，估計(jì)要30塊錢。當(dāng)時(shí)，我們組里的趙傳芬老師說他幫我出錢。我非常感激，但是想想，還是不能去。為什么？一個(gè)是請(qǐng)假、找人代課，都要頗費(fèi)周折。還有一個(gè)原因是，我自己也沒有做什么準(zhǔn)備，10年也沒有好好讀書，突然就考，沒有把握。但是，趙老師非常好，他說：如果你覺得沒有把握，可以看看有沒有其他學(xué)校能考，再準(zhǔn)備一下。當(dāng)時(shí)，我并不知道哪個(gè)學(xué)校好，偶然發(fā)現(xiàn)中科大是年底考試，時(shí)間充裕多了。但是，最終也沒有很好地準(zhǔn)備：一方面有教學(xué)工作，另一方面有點(diǎn)得過且過的心理。到了下半年，9月份開學(xué)后的一個(gè)星期三，人事秘書突然把我喊出來，對(duì)我說：中科大有人找你。我一看，來了兩位老師：一位是常庚哲老師，一位是彭家貴老師。常老師說：“你是報(bào)考中科大的老師嗎？”我說：“是啊！”“那就明天考?！蔽覇枺骸安皇悄甑卓紗?？怎么明天就考？”“沒有關(guān)系。考得不好，不影響年底考；考得好，大有好處?！背＠蠋熡悬c(diǎn)結(jié)巴，說這句話的時(shí)候，“大”字重復(fù)了好幾遍。這讓我認(rèn)為，考得好，一定錄取我。所以，我就準(zhǔn)備第二天去考了。

為什么會(huì)發(fā)生提前來找我去考這個(gè)事情呢？這就要講到另外兩個(gè)人。一個(gè)是肖剛，無錫人。他“文革”前讀到初一，后來插隊(duì)了，之后被當(dāng)時(shí)的江蘇師范學(xué)院（現(xiàn)在的蘇州大學(xué)）招到外語系，學(xué)外語。但他的外語好得不得了，根本不用學(xué)。他就利用外語的優(yōu)勢(shì)看數(shù)學(xué)，學(xué)了同調(diào)代數(shù)、代數(shù)幾何等——那個(gè)時(shí)候，只有外文書店才有這些書的外文版。然后，他就給中科大寫自薦信：我學(xué)了這些東西，我覺得我學(xué)科上沒問題，你們不信，可以派個(gè)人來考我。結(jié)果，中科大就派人來考他，發(fā)現(xiàn)果然很厲害，就招去了。另一個(gè)是李克正，南京人。他在南京師范大學(xué)附屬中學(xué)讀的高中，高一的時(shí)候就自學(xué)了范德瓦爾登的《代數(shù)學(xué)》，我想現(xiàn)在大學(xué)四年級(jí)的學(xué)生也不一定能看?？上В拔母铩卑l(fā)生了，他就去插隊(duì)了；插隊(duì)幾年后，就調(diào)回城里當(dāng)了工人。到了1977年，他就去考復(fù)旦大學(xué)的研究生。一考，不滿意：成績不太理想。他又去參加高考。高考，也不滿意：題目太容易了。他也給中科大寫自薦信：我讀過哪些書（報(bào)了幾本很專門的書），我覺得我可以讀研究生，你們可以來考我。中科大一看：前一個(gè)肖剛考得很好，這又來一個(gè)。所以，又派人去了。想著既然到了南京，可以順便看一下其他人。然后，就來找我了。同時(shí)，還找了另外一個(gè)人，一共三個(gè)人。

學(xué)校提供了一個(gè)會(huì)議室，布置一下作為考場(chǎng)。第二天就考。上午考數(shù)學(xué)分析，6道題，5道正式題、1道附加題。我10年沒考過試了，有點(diǎn)緊張，趕緊埋頭做。差不多快做完兩題的時(shí)候，稍微歇一口氣，就看看動(dòng)靜。第三個(gè)人是學(xué)工科的，覺得理科的題太難，就放棄了；李克正也沒動(dòng)靜，我想他是不是也不會(huì)做??！又過了一會(huì)兒，常老師講話了。他看李克正動(dòng)了一下筆，就說：你這一步做得很好。我當(dāng)時(shí)就有點(diǎn)奇怪：監(jiān)考員能和考生講話嗎？但我還是趕緊做，雖然知識(shí)忘了不少，但是做題還行。結(jié)果5道題都做完了，就松了一口氣。一松氣就不行了，附加題做不出來了，總是走到死胡同里。后來，我就交卷了。結(jié)果，李克正也做了5道題。但李克正比我強(qiáng)，他一開始就做附加題，而且做出來了?？傊?，兩位老師對(duì)我和李克正都很滿意。

四、 終身學(xué)習(xí)，長期備課

第四個(gè)故事，要從蘇聯(lián)教育家蘇霍姆林斯基講起。嚴(yán)格來講，蘇霍姆林斯基是烏克蘭人。他生在烏克蘭，長在烏克蘭，原來在烏克蘭當(dāng)兵，復(fù)員回來當(dāng)了老師，后來當(dāng)了校長，寫了很多教育方面的著作。有一次，他去聽課，聽一節(jié)歷史課。聽完以后，他就問上課老師：“你這節(jié)課，備課花了多長時(shí)間？”上課老師回答了一句很有名的話：“我這一生都在備這節(jié)課。”這句話讓他非常佩服。這句話好，說出了長期備課和短期備課的關(guān)系。一個(gè)人一生都在學(xué)習(xí)、在讀書，水平很高，維度很高，上一節(jié)課，就是“降維打擊”了。長期備課了，短期備課就不是那么必要了。我再舉一個(gè)例子。有一年，南師附中開會(huì)，研討馬明老師的教育思想。當(dāng)時(shí)，馬老師還健在。會(huì)上，很多老師講話，講了馬老師怎么認(rèn)真?zhèn)湔n，講了很多。后來，要我講。我就說，馬老師肯定是認(rèn)真?zhèn)湔n的，但是，馬老師不備課，也可以把課上得很好：第一，他字寫得好，粉筆字是一流的，硬筆書法也是一流的；第二，他的文字功底、語言表達(dá)好；第三，他的數(shù)學(xué)好，他“文革”前就出過一本書——《圓和二次方程》；第四，他對(duì)教材的理解很好，因?yàn)榻塘撕芏嗄?，?duì)課堂的掌控、駕馭游刃有余。

五、 好的數(shù)學(xué)課，要教關(guān)鍵點(diǎn)

第五個(gè)故事，叫“15分鐘”?，F(xiàn)在，教師寫備課筆記，花的時(shí)間很多，很辛苦，有的半夜還在寫。但是，我當(dāng)學(xué)生的時(shí)候，不是這樣的。我們的數(shù)學(xué)老師沒有人帶備課筆記，只帶一本教材。有一位語文老師，會(huì)帶一本備課筆記。一上課，把備課筆記往桌上一放，文言文中的一個(gè)字能講一節(jié)課，講得滔滔不絕。他的語文課有時(shí)連上兩節(jié)。中間休息的時(shí)間，我們偷看他的備課筆記，發(fā)現(xiàn)上面只有五行字：第一行，課題；第二行，作者；第三行，主題思想；還有兩行，再寫點(diǎn)其他的（有時(shí)下面兩行也沒有）。很簡(jiǎn)單！那些上課講的東西，都是平時(shí)積累的，不需要備課。我認(rèn)識(shí)一個(gè)人，他從當(dāng)老師開始到正式退休，有45年的教齡，從來沒有備過課，從來沒有寫過教案。這個(gè)人是誰呢？就是我本人！實(shí)際上，長期備課以后，有了一定的水平，就會(huì)發(fā)現(xiàn)上課很簡(jiǎn)單。

我們說代數(shù)課，說穿了，就是“一個(gè)法則、兩個(gè)例題”?！耙粋€(gè)法則”我當(dāng)然知道，推導(dǎo)我也會(huì)。就是不會(huì)，或者“卡殼”了，拿教材來看一下，也沒有問題?！皟蓚€(gè)例題”當(dāng)然更會(huì)做，例題一般都不難。如果是面對(duì)面的培訓(xùn)，5分鐘就行了。如果是一個(gè)班里有四五十個(gè)學(xué)生的情況，可能時(shí)間要多一點(diǎn)，但是，至多不應(yīng)該超過15分鐘。為什么？因?yàn)閷W(xué)生注意力高度集中的時(shí)間不會(huì)超過15分鐘。時(shí)間一長，思想就分散開去了，效果就很差。所以，課盡量要在15分鐘之內(nèi)講完。我第一次在初三上課，就講15分鐘，講完了就讓學(xué)生做作業(yè)。學(xué)生很疑惑：怎么就做作業(yè)了？我說：是做作業(yè)了，把作業(yè)本拿出來。后來，學(xué)生就知道了，我只講15分鐘，所以，有學(xué)生一上課就把作業(yè)本擺在邊上。學(xué)生做作業(yè)，我就在課桌之間轉(zhuǎn)來轉(zhuǎn)去，看哪些學(xué)生不會(huì)。第一次，我也不知道哪些學(xué)生好，哪些學(xué)生差。后來，我就熟悉了。我特別關(guān)心差的學(xué)生，看他們會(huì)不會(huì)做。差的學(xué)生，常常拿作業(yè)本都比別人慢。有一次，一個(gè)學(xué)生不拿作業(yè)本，我對(duì)他就說：“作業(yè)本拿出來做作業(yè)?！薄拔也粫?huì)?！薄皠傊v過就不會(huì)了？”“不會(huì)?！薄澳囊活}不會(huì)？”第一題不會(huì)，我就講第一題……也有時(shí)不會(huì)的原因是我講得不好。這時(shí)，我會(huì)再講一下（頂多5分鐘）：大家注意啊，有個(gè)地方我講得不清楚……我結(jié)合例題再講，學(xué)生就算不會(huì)，抄也抄下來了。所以，大部分學(xué)生在下課之前，作業(yè)都做完了。對(duì)好的學(xué)生，我就出幾道思考題給他們。比如，后面要講韋達(dá)定理了，我就讓他們思考：一個(gè)一元二次方程如果有兩個(gè)根x1、x2，那么，x1+x2會(huì)等于什么？x1x2又等于什么？

我現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)，一些數(shù)學(xué)老師不像是教數(shù)學(xué)的，更像是教語文的。一黑板漢字，再一黑板還是漢字。最近在網(wǎng)上看到一位數(shù)學(xué)老師的課，他40分鐘講完后還要總結(jié)一下——一節(jié)課有什么好總結(jié)的呢？一個(gè)單元還差不多?？偨Y(jié)時(shí)，又寫了幾黑板，全是漢字。沒用?。∵@里，我再插入一個(gè)典型的故事，也算笑話吧。我在中科大的時(shí)候，有一個(gè)縣城的老師，想調(diào)到中科大附中。他試講時(shí)，我也去聽了。他一上講臺(tái)，就在黑板上寫幾個(gè)大字：“我今天的教學(xué)計(jì)劃：1. 組織教學(xué)，3分鐘。”我心想：組織教學(xué)就組織教學(xué)，寫在黑板上干什么呢？你不需要讓學(xué)生知道，組織就是了。接下去，他又寫：“2. 引入新課，5分鐘?！薄恢睂懙健安贾米鳂I(yè)”為止。浪費(fèi)了很多時(shí)間，講課也啰里啰唆。講到還有10分鐘的時(shí)候，才開始講正題。那天講的題目是，復(fù)數(shù)用三角式表示時(shí)怎么乘。這正是符合“一個(gè)法則、兩個(gè)例題”的內(nèi)容。法則就是“模相乘，輻角相加”，推導(dǎo)用到三角函數(shù)的恒等變換。這時(shí)，他發(fā)現(xiàn)時(shí)間不夠了，可能有點(diǎn)慌，第一個(gè)例題竟然講錯(cuò)了。第二個(gè)例題剛講完，就打下課鈴了，作業(yè)也來不及布置。

一節(jié)課，應(yīng)當(dāng)著重教真正的數(shù)學(xué)。我認(rèn)為，15分鐘就可以講完了，就那一點(diǎn)關(guān)鍵的東西，不多。如果多了，學(xué)生肯定接受不了。

最后，說一點(diǎn)很高興的事：桃李芬芳。一輩子教書，教過中學(xué)，教過大學(xué)；教了數(shù)學(xué)，也教了點(diǎn)數(shù)學(xué)教育。學(xué)生很多，很多都比我強(qiáng)、比我好。我在中科大教過的一個(gè)學(xué)生，一個(gè)很厲害的學(xué)生，叫陳秀雄，他得到了數(shù)學(xué)界的兩個(gè)大獎(jiǎng)：維布倫獎(jiǎng)和西蒙斯獎(jiǎng)。而且，他不但自己做得很好，帶的團(tuán)隊(duì)（包括他的學(xué)生以及學(xué)生的學(xué)生）也做得很出色。但是，沒有人宣傳他。我覺得這是很不可思議的事，我們對(duì)數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)家乃至科學(xué)、科學(xué)家的宣傳太少了。

（單 墫，南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)系原系主任，教授，博士生導(dǎo)師。中國首批18名博士之一。曾帶領(lǐng)我國中學(xué)生首次取得國際數(shù)學(xué)奧林匹克總分第一名。主要著作有《解題研究》《數(shù)學(xué)競(jìng)賽研究教程》等。）