潘 靜 胡震洪

(安徽省阜陽市紅旗中學(xué) 236032)(安徽省阜陽市第三中學(xué) 236031)

中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng),以培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”為核心,包括科學(xué)精神、學(xué)會學(xué)習(xí)等六大素養(yǎng),數(shù)學(xué)學(xué)科也承擔(dān)著相應(yīng)的育人任務(wù).數(shù)學(xué)閱讀教學(xué)就是數(shù)學(xué)學(xué)科育人的一種重要手段,數(shù)學(xué)教師可以利用數(shù)學(xué)史資料引導(dǎo)學(xué)生進行深度閱讀．

閱讀不僅僅是讀,還是動眼看、動口讀、動手記、動腦想的有機結(jié)合、統(tǒng)一協(xié)調(diào)的過程．?dāng)?shù)學(xué)閱讀跟一般的閱讀一樣,是一個完整的心理活動過程,是學(xué)生主動獲取信息、汲取知識,發(fā)展數(shù)學(xué)思維、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語言的重要途徑之一．?dāng)?shù)學(xué)史中有很多好的閱讀素材,教師可以結(jié)合教學(xué)需求,篩選出適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)史資料來引導(dǎo)學(xué)生閱讀,這樣不僅能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力、擴大學(xué)生的視野,還能激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)發(fā)展史奧秘的興趣．

1 讓學(xué)生在閱讀中有所感

1.1 讓學(xué)生在閱讀中感慨,感慨于數(shù)學(xué)發(fā)展的不易

函數(shù)的周期性是函數(shù)的一個重要性質(zhì),多數(shù)學(xué)生對周期函數(shù)概念的理解僅停留在對圖形的直觀認識和形式化定義的記憶中,而未關(guān)注“周期函數(shù)的定義是如何形成的”這樣的問題．

歷史上,周期函數(shù)的出現(xiàn)與周期現(xiàn)象息息相關(guān),而最早被描述的周期現(xiàn)象都與時間有關(guān),例如1810年基思對“一天”給出了明確的描述、1818年波尼卡斯特給出了“一月”的定義,這都是周期函數(shù)誕生的萌芽．在數(shù)學(xué)研究中,最先被發(fā)現(xiàn)具有周期性的函數(shù)是三角函數(shù).雖然1748年歐拉就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)會以2nπ為周期循環(huán)往復(fù),但直到19世紀(jì)末,數(shù)學(xué)家才明確使用了“周期函數(shù)”這一名稱,到20世紀(jì)初,才得到“三角函數(shù)是周期函數(shù)”的結(jié)論．而周期函數(shù)定義的形成,無論是描述性定義,還是形式化定義,都是數(shù)位數(shù)學(xué)家逐漸完善的結(jié)果．

引導(dǎo)學(xué)生圍繞這些內(nèi)容查找資料,認識到周期性起源于生活中的問題,感受到周期函數(shù)概念的形成不是一蹴而就的,而是經(jīng)歷數(shù)代科學(xué)家的努力才得以不斷完善的,感慨?dāng)?shù)學(xué)發(fā)展的不易．

1.2 讓學(xué)生在閱讀中感受,感受數(shù)學(xué)之間的內(nèi)在聯(lián)系

高中生都學(xué)習(xí)過和角公式、射影公式、余弦定理和正弦定理．但是學(xué)生關(guān)注的往往是每個公式和定理本身,而沒有關(guān)注它們之間的聯(lián)系．事實上這些公式和定理都可以利用托勒密定理來進行推導(dǎo),且它們之間也可以互相推導(dǎo)(圖1)．學(xué)生不難理解這些定理和公式之間互推的過程,并發(fā)現(xiàn)這些推導(dǎo)大都是借助圓來完成的．通過這些知識的閱讀,學(xué)生能感受到每個公式并不“孤單”,數(shù)學(xué)知識之間存在著千絲萬縷的聯(lián)系．

圖1 一些三角公式和定理之間的聯(lián)系

引導(dǎo)學(xué)生探尋知識間的聯(lián)系和公式(定理)推導(dǎo)方法之間的聯(lián)系,幫助學(xué)生將知識點串聯(lián)成知識網(wǎng)絡(luò),不僅可以加深學(xué)生對單個知識的記憶,還可以幫助學(xué)生做到觸類旁通．

2 讓學(xué)生在閱讀中有所悟

2.1 讓學(xué)生在閱讀中領(lǐng)悟,數(shù)學(xué)的簡潔也是有度的

人教版對棱柱是這樣定義的:“一般地,有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形,并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．”[1]北師大版教材中的棱柱定義是:“多面體有兩個面是邊數(shù)相同的多邊形,且他們所在平面平行;其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,像這樣的幾何體稱為棱柱．”[2]學(xué)生在棱柱的學(xué)習(xí)中覺得其定義繁瑣,希望用更為簡潔的語言來定義棱柱,教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn),確實有很多學(xué)生嘗試重新給棱柱下定義．

事實上,歷史上有很多數(shù)學(xué)家對棱柱下過定義．歐幾里得在《幾何原本》中對棱柱是這樣定義的:“一個棱柱是一個立體圖像,它是由一些平面構(gòu)成,其中有兩個面是相對的、相等的、相似且平行的,其余各面均為平行四邊形.”美國數(shù)學(xué)家舒伊勒等人也都對棱柱下過定義,那么這些定義是否嚴(yán)謹(jǐn)呢?引導(dǎo)學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源查找這些有關(guān)棱柱的定義,并引導(dǎo)學(xué)生從純粹性和完備性兩個角度去分析它們,并提出問題:“如果你是教材主編,你選擇哪個作為教材中棱柱的定義?”

定義首先需要考慮的是嚴(yán)謹(jǐn),其次才是簡潔．簡潔美是數(shù)學(xué)美的一種,經(jīng)歷了小學(xué)和初中的學(xué)習(xí),學(xué)生學(xué)習(xí)的定義大都是很簡潔的,當(dāng)學(xué)生看到用大段文字描述的定義時,質(zhì)疑其簡潔性是無可厚非的,只有讓學(xué)生查閱史料,對不同時期數(shù)學(xué)家對同一概念給出的定義進行辨析,他們才能真正領(lǐng)悟到簡潔性是相對的,是有度的．

2.2 讓學(xué)生在閱讀中感悟,感悟數(shù)學(xué)思想方法

高中教材中關(guān)于雙曲線部分的知識,大都采用“第一定義”“兩次平方法”推導(dǎo)雙曲線方程,這是延續(xù)了教材中橢圓方程的推導(dǎo)過程．實際上這并不是推導(dǎo)雙曲線方程的唯一方法,也不是最簡方法．

基于第一定義的雙曲線方程推導(dǎo),比較有代表性的有17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家洛必達用“和差術(shù)”推導(dǎo)雙曲線方程,通過引入?yún)?shù)、消去參數(shù)達到化簡的目的;18世紀(jì)英國數(shù)學(xué)家楊格采用了平方差法,借助平方差公式推導(dǎo)雙曲線方程;18世紀(jì)美國數(shù)學(xué)家皮爾斯利用余弦定理,通過設(shè)角,將長度問題轉(zhuǎn)化為三角形中邊角關(guān)系問題,繼而得到雙曲線方程．這些推導(dǎo)過程雖然各異,但目的都是一致的——將由第一定義得到的方程進行化簡．而其方法中有相似點,如洛必達和皮爾斯的方法都涉及“引入?yún)?shù)、消去參數(shù)”,楊格和皮爾斯的方法都涉及化歸與轉(zhuǎn)化思想．

雙曲線方程的推導(dǎo)過程本身就是教學(xué)過程,推導(dǎo)過程中滲透的思想方法自然屬于教學(xué)內(nèi)容．閱讀這些資料,能讓學(xué)生不再拘泥于課本中的證明方法,在開闊學(xué)生眼界的同時,可以拓寬學(xué)生的思維,激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識．

3 讓學(xué)生在閱讀中有所思

3.1 讓學(xué)生在閱讀中思理,培養(yǎng)學(xué)生的推理意識

學(xué)生知道“周長確定的矩形,當(dāng)其為正方形時面積最大”．但學(xué)生不知道的是,對于平面圖形的周長和面積的關(guān)系,古人曾有很多誤解,如古希臘歷史學(xué)家修昔底德通過繞島航行來估算島嶼的大小,博物館學(xué)家老普林尼根據(jù)周長來估算面積,到了公元5世紀(jì),還有人認為“周長大的土地面積大”．這些我們現(xiàn)在認為不可思議的事,曾經(jīng)都真真切切地發(fā)生過．

將這些資料進行整理、充實,引導(dǎo)學(xué)生閱讀,讓學(xué)生意識到推理的重要性,并提出問題“你能找到幾種方法來證明‘周長確定的矩形,當(dāng)其為正方形時面積最大’”,激趣的同時,也鞏固了數(shù)學(xué)知識．

數(shù)學(xué)不是“想當(dāng)然”的,經(jīng)過邏輯推理判斷為正確的命題才是真命題．對于我們在生活中遇到的問題,當(dāng)我們用數(shù)學(xué)的眼光看待它并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題時,只有對其進行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?才能判斷結(jié)論是否正確．

3.2 讓學(xué)生在閱讀中思疑,明晰知識的演變過程

學(xué)生學(xué)習(xí)了三角函數(shù)后容易產(chǎn)生疑問:“正弦這個名稱是怎么得來的?符號sin又是怎么得來的?”事實上,三角函數(shù)于明代傳入中國,德國傳教士鄧玉函(Johann Schreck)在其編譯的中國第一部三角學(xué)著作《大測》中給出了“正弦”“余弦”等名詞．清初數(shù)學(xué)家梅文鼎《平三角舉要》中給出“割圓直線,如弓之弦,謂之通弦,通弦半之,古謂之半弧弦,今曰正弦”,余弦是“余角之正弦”．而符號sin的由來,歷經(jīng)了jya(梵語,半弦)—jiba(阿拉伯語,無實際意義)—jaib(阿拉伯語,海灣)—sinus(拉丁文,彎曲的)—sine(英文),直到17世紀(jì)才演變?yōu)閟in,這是一個漫長的過程．

事實上,學(xué)生對很多概念、公式、定理的名稱都只知道“是什么”,而不知道“為什么”,引導(dǎo)其閱讀相應(yīng)的數(shù)學(xué)史資料,不僅有助于學(xué)生了解這些名稱的演變過程,也能更好地激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣．

4 結(jié)語

數(shù)學(xué)閱讀能力是中學(xué)生必備的關(guān)鍵能力之一,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀能力是中學(xué)數(shù)學(xué)教師的職責(zé)．?dāng)?shù)學(xué)史不僅是數(shù)學(xué)發(fā)展史,也是數(shù)學(xué)教育史,篩選與教學(xué)內(nèi)容關(guān)聯(lián)度高的數(shù)學(xué)史資料,并有目的地指導(dǎo)學(xué)生閱讀,在擴大學(xué)生知識面的同時也能培養(yǎng)學(xué)生的理性精神,這也是數(shù)學(xué)學(xué)科育人的重要組成部分．