戴擁春

(江蘇省鹽城市第一中學(xué) 224005)

1 基本情況分析

1.1 教材分析

球的體積是高中數(shù)學(xué)“立體幾何初步”中的傳統(tǒng)內(nèi)容．從結(jié)構(gòu)來(lái)看,是在學(xué)習(xí)了柱體、錐體和臺(tái)體等基本幾何體的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步來(lái)研究球的相關(guān)問(wèn)題．從知識(shí)上來(lái)看,球是一種高度對(duì)稱的基本空間幾何體,同時(shí)它也是進(jìn)一步研究空間組合體結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)．從方法上來(lái)看,它為我們提供了另外一種求空間幾何體體積的思想方法．它從屬于“幾何與代數(shù)”主線,并處于這一主線中知識(shí)邏輯鏈條的末端,不會(huì)對(duì)其他內(nèi)容產(chǎn)生明顯的影響．因此,本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)通常不受重視．

但是新高考模式下,高考試卷加大了對(duì)球相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的考查,且加大了難度,這就要求我們以這部分內(nèi)容為載體,讓學(xué)生體會(huì)直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證等研究幾何對(duì)象的一般過(guò)程,并循序漸進(jìn)地安排推理訓(xùn)練,發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)．

1.2 學(xué)情分析

在球的表面積和體積公式都不知道的情況下,要想到合適的方法推出其中任何一個(gè)都比較困難．因此,高中數(shù)學(xué)課堂中球的體積的教學(xué)存在著對(duì)公式直接灌輸?shù)默F(xiàn)象,從而導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中缺乏思考空間,學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)匱乏,以及強(qiáng)行記憶知識(shí)點(diǎn)．本節(jié)課要讓學(xué)生厘清知識(shí)的來(lái)龍去脈,感悟到其中的數(shù)學(xué)思想,從而發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

本節(jié)課的授課對(duì)象是四星級(jí)高中的高一競(jìng)賽班學(xué)生,基礎(chǔ)良好,部分學(xué)生了解球的體積公式,但沒(méi)有經(jīng)歷過(guò)公式的推導(dǎo)過(guò)程．

1.3 教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)解析

結(jié)合數(shù)學(xué)史素材,激發(fā)學(xué)生的探索欲,讓學(xué)生在潛移默化中感知球的體積的發(fā)展歷程,體驗(yàn)數(shù)學(xué)文化的博大精深.同時(shí)結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平,將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定如下:(1)感知祖暅原理等數(shù)學(xué)史對(duì)球的體積發(fā)展的影響,經(jīng)歷球的體積的探究過(guò)程,并掌握球的體積公式,能用公式解決簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題;(2)在體驗(yàn)觀察、猜想、化歸、類比等方法中,體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)展和創(chuàng)造的過(guò)程,感受數(shù)學(xué)之美．

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)確定為:

教學(xué)重點(diǎn) 球的體積公式的推導(dǎo)及公式的掌握和應(yīng)用．

教學(xué)難點(diǎn) 利用祖暅原理的使用條件構(gòu)造出與球體成比例的幾何體來(lái)證明球的體積公式．

1.4 史料分析

公元前3世紀(jì),阿基米德利用窮竭法求得球體積的正確公式．公元1世紀(jì),《九章算術(shù)》認(rèn)為球體的外切圓柱體與球體積之比等于正方形與其內(nèi)切圓面積之比．公元1世紀(jì),劉徽在為《九章算術(shù)》作注時(shí)發(fā)現(xiàn)球體積公式的錯(cuò)誤,提出了“牟合方蓋”的理論．公元6世紀(jì)初,祖暅沿用劉徽的思想,研究出“祖暅原理”,并利用該原理巧妙地計(jì)算出球體積公式．在計(jì)算球體積時(shí)使用一個(gè)原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異”．“冪”是截面積,“勢(shì)”是立體的高．這是指所有等高處橫截面積相等的兩個(gè)同高立體,其體積也相等．上述原理在中國(guó)被稱為祖暅原理,國(guó)外則一般稱之為卡瓦列里原理(卡瓦列里在他的著作中記載到:祖暅原理的發(fā)現(xiàn)比卡瓦列里原理早1 000多年)．

本節(jié)課采用借助數(shù)學(xué)史的方式將以上歷史素材融入球的體積公式的推導(dǎo)教學(xué)．在新課伊始,借助“祖暅原理”引出如何計(jì)算球的體積,借助實(shí)驗(yàn)向?qū)W生介紹球的體積的推導(dǎo)過(guò)程,提升學(xué)生的文化涵養(yǎng)．

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 導(dǎo)入問(wèn)題,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

導(dǎo)入語(yǔ):在生活中,存在著各式各樣的球體,大到地球、小到微觀粒子,球體無(wú)處不在．公元6世紀(jì)時(shí)祖暅沿用劉徽的思想,研究出“祖暅原理”,并利用該原理巧妙地計(jì)算出球體積公式.今天就讓我們跟隨歷史上數(shù)學(xué)家的足跡,一起來(lái)研究球的體積．

問(wèn)題1如何測(cè)量出一個(gè)實(shí)心球的體積?根據(jù)課前布置任務(wù),請(qǐng)各小組推薦代表交流展示研學(xué)成果．

生:利用“排水法”,將球放進(jìn)有水的圓柱形杯子中(圖1),通過(guò)前后水位高度差可求出球的體積．

圖1

生:利用日常生活中常見(jiàn)的球形物體,通過(guò)量筒、直尺等工具所得到的數(shù)據(jù)(圖2),發(fā)現(xiàn)半徑和體積之間的關(guān)系可用冪函數(shù)去擬合(圖3),我認(rèn)為球的體積公式應(yīng)該是一個(gè)冪函數(shù)模型．

圖2

圖3

師:用“排水法”求球的體積是可行的,它是偉大的數(shù)學(xué)家阿基米德發(fā)現(xiàn)的．但是當(dāng)球的大小變化時(shí),每次都用“排水法”測(cè)量還是比較費(fèi)事,同時(shí)通過(guò)分析數(shù)據(jù)建立球體積公式的模型是存在一定誤差的．我們需要尋求一個(gè)更一般的體積公式．這就是我們今天要探討的主要問(wèn)題．

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)課前的研學(xué)方案、課堂上的集中展示,培養(yǎng)學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)動(dòng)手操作、主動(dòng)思考的好習(xí)慣,以及敢于質(zhì)疑、敢于創(chuàng)新的探究精神,為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好鋪墊．

2.2 自主探究,研究公式生成

問(wèn)題2根據(jù)前面的學(xué)習(xí),我們知道同底等高的柱體體積是錐體體積的3倍.觀察以下三個(gè)幾何體(圖4),請(qǐng)問(wèn)V圓柱,V半球,V圓錐這三個(gè)量大小關(guān)系如何?

圖4

生:根據(jù)圖形外觀來(lái)看,半球是介于圓柱和圓錐之間的一個(gè)幾何體,得V圓錐

生:還可猜想到V半球=V圓柱-V圓錐．

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)三個(gè)幾何體的比較,可有效地引發(fā)學(xué)生進(jìn)行猜想,學(xué)生的思維在問(wèn)題的引導(dǎo)下逐漸趨于明朗,雖然目前還不能確定猜想是否正確,但是為接下來(lái)的公式探究做好了鋪墊．

師:我們不妨做一個(gè)試驗(yàn),用以驗(yàn)證V半球=V圓柱-V圓錐這個(gè)猜想．

生:把圓錐放入圓柱中,然后將半球中的沙子倒入圓柱后我發(fā)現(xiàn)沙子剛好填滿．

師:通過(guò)前面的實(shí)驗(yàn)探究發(fā)現(xiàn),半球的體積等于從圓柱里面挖去一個(gè)同底等高的圓錐之后形成的幾何體的體積．但是數(shù)學(xué)是建立在推理的基礎(chǔ)上的,實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否可靠?我們還要從理論層面對(duì)球的體積進(jìn)行論證才行．

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)設(shè)置探究問(wèn)題,讓學(xué)生通過(guò)直觀感知和操作確認(rèn),建構(gòu)對(duì)球的體積的認(rèn)知．鼓勵(lì)學(xué)生猜想,從猜想入手,先猜后證,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并體驗(yàn)數(shù)學(xué)的美．

問(wèn)題3祖暅原理是什么?

播放祖暅生平和主要成就的微視頻(圖5)．

圖5

祖暅在6世紀(jì)初提出了“祖暅原理”,比意大利數(shù)學(xué)家提出的“卡瓦列里原理”早了1 000多年,由此可見(jiàn),他對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展作出了卓越的貢獻(xiàn)．

問(wèn)題4根據(jù)祖暅原理的使用條件,如何才能構(gòu)造出兩個(gè)符合祖暅原理的幾何體來(lái)證明球的體積?

生:設(shè)法找到與半球“同底等高,截面積相同”的等積幾何體．

問(wèn)題5如何構(gòu)造幾何體?若把圓錐正放在圓柱內(nèi)(圖6),這種構(gòu)造方式是否滿足祖暅原理的條件呢?

圖6

生:從圖6中截面的特殊位置就可以看出不滿足祖暅原理,當(dāng)截面處于最上方時(shí),平面截半球的截面面積為0,此時(shí)幾何體的截面積為一個(gè)圓．

問(wèn)題6應(yīng)如何構(gòu)造幾何體,才能讓它們滿足祖暅原理的條件呢?

活動(dòng) 小組合作探究,并邀請(qǐng)小組推薦代表展示成果．

生:根據(jù)平面截半球的截面面積的代數(shù)式S=π(R2-h2)=πR2-πh2(0≤h≤R)(圖7),分析可知,關(guān)鍵是要找到一個(gè)可計(jì)算體積的替代幾何體,使其任意截面是一個(gè)面積為πR2的截面挖去一個(gè)面積為πh2的截面.可以考慮截面為圓環(huán)的情況,當(dāng)h從0變化到R時(shí),可以發(fā)現(xiàn),變化規(guī)律與在底面半徑和高均為R的圓柱內(nèi)挖去一個(gè)同底等高的倒立圓錐吻合(圖8)．

圖7 圖8

師:同學(xué)們觀察得比較到位,我們可以構(gòu)造以下的圓錐和圓柱的組合體(圖9)．

圖9

問(wèn)題7請(qǐng)同學(xué)們推導(dǎo)球的體積公式,小組展示．

教師利用多媒體展示動(dòng)圖,增強(qiáng)結(jié)論的可視性．

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生對(duì)代數(shù)式進(jìn)行變形,根據(jù)代數(shù)式結(jié)構(gòu),可聯(lián)想構(gòu)造出圓環(huán),從而進(jìn)一步構(gòu)造出“等積體”．引導(dǎo)學(xué)生從理論層面探索新知,滲透轉(zhuǎn)化祖暅原理思想．既培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力,又滲透數(shù)學(xué)文化,增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感和文化自信．

2.3 遷移創(chuàng)新,解決問(wèn)題

例1設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2a,a,a,其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,求該球的體積．

變式1 正方體的內(nèi)切球．

變式2 球與正方體的各條棱相切．

圖10 圖11 圖12

變式3 長(zhǎng)方體的外接球．

設(shè)計(jì)意圖進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)不同幾何體之間的關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)．

2.4 回標(biāo)鞏固,生成問(wèn)題

一個(gè)球內(nèi)切于一個(gè)圓柱,這個(gè)球的面積、體積與圓柱的表面積、體積之間具備怎樣的關(guān)系?

設(shè)計(jì)意圖此題答案在阿基米德的墓碑上能清晰地看到．將數(shù)學(xué)史料滲透到練習(xí)中,能有效推動(dòng)學(xué)生探索、求知的欲望．

2.5 課堂小結(jié)

本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)和思想方法(圖13)?

圖13

3 教學(xué)啟示

3.1 課前探索,培養(yǎng)創(chuàng)新能力

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》的課程基本理念第三條指出:“提倡獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式”[1]．本節(jié)課在課前給學(xué)生提供了相關(guān)的學(xué)習(xí)材料和探究方向,讓學(xué)生經(jīng)歷探索、操作和思考,自主發(fā)現(xiàn)知識(shí),通過(guò)排水法、函數(shù)擬合等探究方式理解并掌握球體積公式的推導(dǎo)原理,增強(qiáng)了學(xué)生的自學(xué)能力,培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力．

3.2 實(shí)驗(yàn)探究,提升核心素養(yǎng)

美國(guó)教育心理學(xué)家?jiàn)W蘇貝爾認(rèn)為,有意義的學(xué)習(xí)過(guò)程就是將新知識(shí)納入學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程,并使原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)不斷得到改組．在課堂中融入數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果,鼓勵(lì)大膽猜想,為問(wèn)題探究和結(jié)論推導(dǎo)提供了平臺(tái),同時(shí)也促進(jìn)了學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的吸收掌握以及核心素養(yǎng)的培育．本節(jié)課通過(guò)小組推薦代表展示實(shí)驗(yàn)的過(guò)程和結(jié)果匯報(bào),產(chǎn)生并解決了學(xué)生的疑惑(“如何將圓錐置于圓柱中,以符合祖暅原理的條件”),從而提高了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性．

3.3 重塑歷史,浸潤(rùn)數(shù)學(xué)文化

本節(jié)課從引導(dǎo)學(xué)生回顧柱體、錐體和臺(tái)體的體積問(wèn)題解決方案的過(guò)程中,比較得出球體美的結(jié)構(gòu)中蘊(yùn)含著其體積問(wèn)題的高難度．導(dǎo)入球體積簡(jiǎn)史,讓學(xué)生感知古代數(shù)學(xué)家在解決實(shí)際問(wèn)題中所遇到的困難,提出“用祖暅原理解決球體積問(wèn)題應(yīng)如何構(gòu)造與半球體積相等的幾何體”這個(gè)問(wèn)題．球的體積公式的推導(dǎo)方法凝聚了幾千年數(shù)學(xué)發(fā)展中的創(chuàng)新精神和理性精神,閃耀著人類智慧的光芒．讓學(xué)生了解知識(shí)的歷史發(fā)生過(guò)程,讓文化浸潤(rùn)課堂．