唐 洵

(福建省福清第三中學)

新高考以來,以抽象函數(shù)性質為背景的問題屢見不鮮,此類問題大體上有兩種解法:一種是通過變換函數(shù)性質的表達式配合賦值法得到相應的結論,此方法雖為通法,但過程較為復雜,有時令人難以琢磨;另一種是根據(jù)題設的性質條件或所給表達式的結構特征構造相應的三角函數(shù)模型進行求解.那么如何選擇合適的三角函數(shù)模型?當題目中有多個函數(shù)時應當如何選擇?在構造的過程中有什么注意點?下面筆者結合此類問題的幾種題型進行講解.

1.預備知識,磨刀不誤砍柴工

1.1 奇偶性結論

(1)若f(ωx+φ)為奇函數(shù),則f(x)的圖象關于點(φ,0)中心對稱.

(2)若f(ωx+φ)為偶函數(shù),則f(x)的圖象關于直線x=φ對稱.

1.2 對稱性結論

1.3 周期性結論

(1)若f(x+a)=f(x+b),a≠b,則f(x)為周期函數(shù),且T=|b-a|;若f(x+a)+f(x+b)=c,a≠b,則f(x)為周期函數(shù),且T=2|b-a|.

1.4 導函數(shù)結論

(1)若函數(shù)f(x)可導且圖象關于直線x=a對稱,則其導函數(shù)圖象關于點(a,0)中心對稱;若函數(shù)f(x)可導且圖象關于點(a,0)中心對稱,則其導函數(shù)圖象關于直線x=a對稱.特別地,若偶函數(shù)可導,則其導函數(shù)是奇函數(shù);若奇函數(shù)可導,則其導函數(shù)是偶函數(shù).

(2)若某函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù),則該函數(shù)為偶函數(shù);若某函數(shù)的導函數(shù)為偶函數(shù),則該函數(shù)不一定是奇函數(shù),但其圖象一定有對稱中心.

(3)若周期函數(shù)可導,則其導函數(shù)仍是周期函數(shù)(周期不變),反之不成立.

1.5 三角函數(shù)和、差與積的關系式

(1)積化和差:

(2)和差化積:

2.題型剖析,吾將上下而求索

2.1 基于單函數(shù)性質的構造

【例1】(2021·全國新高考Ⅱ卷·8)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,f(x+2)為偶函數(shù),f(2x+1)為奇函數(shù),則( )

C.f(2)=0 D.f(4)=0

【答案】B

【點睛】若題設條件給出的是f(ax+b)的奇偶性(對稱性)、周期性、特殊值等相關性質時,可以此為契機,將f(ax+b)構造成滿足題設條件的三角函數(shù);若選擇將f(x)構造成三角函數(shù),則需先將f(ax+b)的性質還原為f(x)的性質后再構造,相對復雜,非必要時不采用.

【例2】(多選)(2023廈門二模)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2-x)=f(2+x)+4x,函數(shù)f(2x+1)的圖象關于點(0,2)對稱,則( )

A.f(x)的圖象關于點(1,2)對稱

B.4為f(x)的一個周期

C.f(2)=4

D.f(2 023)=-4 042

【答案】AD

【點睛】為了增加題目的難度,命題者有時會刻意隱藏函數(shù)的奇偶性或對稱性的信息,僅通過給出某個表達式讓該性質若隱若現(xiàn),如本題中給出“f(2-x)=f(2+x)+4x”,此時需要通過認真觀察、正確書寫、充分挖掘、適度聯(lián)想,找出奇偶性或對稱性后,構造合適的三角函數(shù)模型.

2.2 基于單函數(shù)及其導函數(shù)性質的構造

C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)

【答案】BC

【例4】(多選)(2023池州二模)已知函數(shù)f(x)及其導函數(shù)f′(x)的定義域均為R,且f(x)在R上單調遞增,記g(x)=f′(x),若f(3x-2)+f(4-3x)=f(3),g(x)+g(4-x)=4,則( )

A.f(-1)=0

B.f(f(1))>f(0)

C.g(f(-1))

【答案】ABD

【點睛】構造三角函數(shù)模型研究抽象函數(shù),目的是將抽象的性質形象化,但在多選題中,對于一些簡單的選項,可以通過直接賦值或者簡單的代數(shù)變換得到,如本題中的A,B選項,并且本題在構造出g(x)后,由于還原為原函數(shù)的未知量較多,還需借助f(-1)=0進行輔助,因此有時需要雙管齊下進行解題.

2.3 基于雙函數(shù)性質的構造

【例5】(多選)(2023安徽模擬)已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R,f(x+1)-1是奇函數(shù),g(x+2)是偶函數(shù),f(x)-g(x+2)=4,g(2)=3,則( )

A.f(x)為奇函數(shù)

B.4為f(x)的一個周期

C.f(2 023)=-1

【答案】BD

【點睛】雙抽象函數(shù)的問題特征是兩個函數(shù)時而分離,時而聚集,如本題中“f(x+1)-1是奇函數(shù),g(x+2)是偶函數(shù),g(2)=3”體現(xiàn)了兩個函數(shù)各自的性質,而“f(x)-g(2+x)=4”體現(xiàn)了兩個函數(shù)之間的聯(lián)系,因此只要能夠確定一個函數(shù)的模型,另外一個自然迎刃而解.由于本題中g(x+2)同時出現(xiàn)在“分離”與“聚集”中,因此對g(x+2)進行構造.

A.-21 B.-22 C.-23 D.-24

【答案】D

【點睛】由于題設給出的函數(shù)性質均涉及g(x),因此本題選擇g(x)構造三角函數(shù).值得注意的是,在構造的過程中,可以先由g(x)圖象的對稱性得到g(x+2)為偶函數(shù),再利用待定系數(shù)法確定相應的數(shù)據(jù),最后通過f(x)+g(2-x)=5得出f(x).

2.4 基于雙函數(shù)及其導函數(shù)性質的構造

【例7】(多選)(2023棗莊一模)已知函數(shù)f(x)和g(x)及其導函數(shù)f′(x)與g′(x)的定義域均為R,若f(x+2)-g(1-x)=2,f′(x)=g′(1+x),且g(x+1)為奇函數(shù),則( )

A.函數(shù)y=g(x)的圖象關于直線x=2對稱

C.函數(shù)y=g′(x)的圖象關于點(2,0)對稱

【答案】ACD

【點睛】在求解本題時,也可以根據(jù)g′(x+1)是偶函數(shù),構造g′(x+1)=Acosωx+b(ω>0)進行求解,要注意導函數(shù)為偶函數(shù),原函數(shù)未必為奇函數(shù);此外,此構造在還原為原函數(shù)時所帶系數(shù)相對復雜一些,但也能正確解題.

【例8】(多選)(2023湖北八市3月聯(lián)考)設定義在R上的函數(shù)f(x)與g(x)的導函數(shù)分別為f′(x) 和g′(x),若g(x)=f(2x-1)-2x,且f(x) 與g(x+1)均為偶函數(shù),則下列說法一定正確的是( )

A.f′(1)=1

B.f′(2 023)=2 023

【答案】ABD

【點睛】本題若直接根據(jù)f(x)與g(x+1)均為偶函數(shù)或者f′(x)與g′(x+1)均為奇函數(shù)進行構造,容易陷入構造誤區(qū),無法使得題設條件同時成立;此時應當對題設條件先分析,再構造;另外本題的函數(shù)并非單純的三角型函數(shù),在構造時應當結合題設數(shù)據(jù)作出分析.

2.5 基于聯(lián)想公式的構造

A.-3 B.-2 C.0 D.1

【答案】A

【點睛】本題解題的難點在于需要通過題設表達式的結構特征,聯(lián)想出對應的三角函數(shù)公式,進而得到相關的三角函數(shù)后,再利用待定系數(shù)法進行求解;考慮到問題為求值,還可以使用賦值法進行求解,具體如下:令x=1,y=0,得f(0)=2,令x=1,y=1,得f(2)=-1,令x=2,y=1,得f(3)=-2,令x=3,y=1,得f(4)=-1,令x=4,y=1,得f(5)=1,令x=5,y=1,得f(6)=2=f(0);令x=6,y=1,得f(7)=1=f(1),以此得到一個周期的值,進而得到答案.

則( )

A.f(0)=0

B.f(x)為偶函數(shù)

C.f(3+x)=-f(3-x)

【答案】ACD

3.歸納小結,為有源頭活水來

【問題1】構造三角函數(shù)模型求解問題的題目特征是什么?

【答案】當題設條件呈現(xiàn)函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性等性質,或是給出一個類似于三角函數(shù)公式的表達式時,考慮構造三角函數(shù)求解,常見的設問為求值或者研究函數(shù)的對稱性與周期性.

【問題2】如何合理地構造三角函數(shù)模型?

【答案】若題設給出的是函數(shù)的相關性質,則需在分析性質的基礎上進行構造,最好能夠基于一個奇函數(shù)或者偶函數(shù)進行構造;若題設給出的是某個三角函數(shù)的公式,需要結合公式中的三角函數(shù)進行構造.

【問題3】在確定大致的三角函數(shù)模型后,仍然有很多未知的參數(shù),此時應當如何進一步得到更加精確的三角函數(shù)?

【答案】在確定大致的三角函數(shù)模型后,需進一步根據(jù)題設中的條件,利用待定系數(shù)法得到其他的系數(shù),但并不能保證所有的系數(shù)都能被求出.

【問題4】當題設中既有原函數(shù)又有導函數(shù)的性質時,應當如何作出選擇?

【答案】當二者同時出現(xiàn)時,應優(yōu)先選擇原函數(shù)構造三角函數(shù)模型,此時要注意將導函數(shù)的性質還原成原函數(shù)性質時的一些易錯點,如導函數(shù)為偶函數(shù)時,原函數(shù)不一定是奇函數(shù).

【問題5】當題設和問題比較簡單時,應當如何作出選擇?

【答案】直接利用函數(shù)的性質進行變換處理或者直接構造簡單的三角函數(shù)進行求解即可.