安愷凱　沈丹丹

2022年語文新高考Ⅰ卷以圍棋的三個(gè)術(shù)語“本手、妙手、俗手”為作文題目，其中本手是指合乎棋理的正規(guī)下法；妙手是指出人意料的精妙下法；俗手是指貌似合理，而從全局看通常會(huì)受損的下法.筆者由此想到，在數(shù)學(xué)的解題教學(xué)過程中，不也會(huì)經(jīng)常遇到的正規(guī)解法、精妙解法、以及貌似合理卻錯(cuò)誤的解法嗎？筆者便從“本手、俗手、妙手”三個(gè)角度分別入手，來探究一道對(duì)稱雙變量條件最值問題，現(xiàn)整理如下，以饗讀者.

1 問題呈現(xiàn)

問題1 設(shè)實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=6，則（a2+4）（b2+4）的最小值為＿＿＿.

這是一道題既簡潔又優(yōu)美的雙變量函數(shù)的條件最值問題，其優(yōu)美感來自于代數(shù)結(jié)構(gòu)中的對(duì)稱性，即在條件和結(jié)論中，任意交換兩個(gè)變量都不會(huì)改變條件和目標(biāo)函數(shù).然后在這道試題簡潔優(yōu)美的外表下，卻隱藏著有一個(gè)極具誘惑性的“俗手”，即通過令兩個(gè)對(duì)稱變量相等來求出最值，文獻(xiàn)［1］稱這種方法為對(duì)稱變量法.在一次測(cè)試中，不少學(xué)生便把a(bǔ)=b=3代入目標(biāo)函數(shù)求得最小值為169，測(cè)試情況反映出對(duì)稱變量法這招“俗手”具有明顯的普遍性，也反饋出該類型問題具有一定的深度探究價(jià)值.

文獻(xiàn)［1］針對(duì)此問題進(jìn)行了探討，但僅僅先由整體換元法來求得正確結(jié)果144（當(dāng)a=3+5，b=3-5或a=3-5，b=3+5時(shí)），再通過指出“144比169小”來否定對(duì)稱變量法.筆者認(rèn)為這并不能完全打消學(xué)生心中的疑惑：“答案為什么不是a=b=3這一對(duì)稱、優(yōu)美、合乎情理的數(shù)，而是3±5這一怪異、丑陋、匪夷所思的數(shù)？對(duì)稱變量法的錯(cuò)因到底在哪里？對(duì)稱變量法的適用條件又是什么？”筆者首先肯定學(xué)生的質(zhì)疑精神，繼而將問題1中的條件與結(jié)論推廣到一般形式，使其更有研究價(jià)值.

2 立足本手 風(fēng)光不與四時(shí)同

問題2 設(shè)實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=m（m＞0），則當(dāng)t＞0時(shí)，f（a，b）=（a2+t）（b2+t）的最小值為＿＿＿，此時(shí)實(shí)數(shù)a，b的值分別為＿＿＿.

5 結(jié)語

2022年語文新高考Ⅰ卷對(duì)“本手、妙手、俗手”有如下闡述：“本手是基礎(chǔ)，妙手是創(chuàng)造.一般來說，對(duì)本手理解深刻，才可能出現(xiàn)妙手；否則，難免下出俗手，水平也不易提升.”在數(shù)學(xué)的解題教學(xué)過程中也正是如此，教師首先應(yīng)當(dāng)立足于“本手”，即立足于“四基”，引導(dǎo)學(xué)生理解基礎(chǔ)知識(shí)、習(xí)得基本技能、感悟基本思想、積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)；其次應(yīng)注重在解題教學(xué)過程中合理體現(xiàn)幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算之間的相互融合，即通過形與數(shù)的結(jié)合，感悟數(shù)學(xué)之間的關(guān)聯(lián)，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)整體性的理解，從而實(shí)現(xiàn)解題教學(xué)由“知識(shí)立意”向“能力立意”的轉(zhuǎn)變，以此才能促使學(xué)生在解決具體問題時(shí)，從不同角度來巧施“妙手”.同時(shí)“俗手”亦有豐富的思維價(jià)值，通過對(duì)“俗手”的錯(cuò)因與成因的深度探究，可養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神，也有利于提高學(xué)生的獨(dú)立思考能力.

參考文獻(xiàn)

［1］孫承輝.從學(xué)生的三個(gè)疑問反思基本不等式復(fù)習(xí)［J］.數(shù)學(xué)通訊（下半月），2018（6）：48-50.

本文是江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十四期立項(xiàng)課題《高中數(shù)學(xué)拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)策略研究》（課題編號(hào)：2021JY14-XK16）的階段性成果.）